D344. La table du jardin
Les extrémités des pieds d’une table de jardin sont les sommets d’un carré. Démontrer qu’il est possible d’installer la table sur un sol inégal fait de creux et de bosses de sorte que ses quatre pieds touchent le sol.
Nota : on admet que la cote du sol est une fonction continue des coordonnées horizontales.
Solution proposée par Gaston Parrour
La solution proposée est en grande partie qualitative, décrivant une suite d'opérations réalisables si la surface du sol ne présente pas de singularités notables (trous ou pics sur des domaines de définition très petits, ou encore brusque rupture de pente, …).
Je n'ai pas tenté de formaliser les diverses opérations élémentaires évoquées ...
Les pieds sont supposés assez longs pour permettre d'éventuelles inclinaisons de la table sans heurter le relief.
(Petit clin d'œil (par soucis de réalisme !): le sol est aussi supposé parfaitement meuble, afin d'autoriser toute intrusion temporaire d'un ou de plusieurs pieds lors des mouvements intermédiaires décrits dans la suite ...) Les bouts des pieds sont numérotés 1 2 3 4
Dans le plan qui les contient, le cercle circonscrit à ce carré est désigné par C
O centre de la table , axe Z' O Z fixe selon la verticale Le repère OXYZ est un repère fixe lié au terrain
Position initiale (pieds verticaux) (figure ci-contre) : Supposons le pied 1 le plus proche du sol, on le pose au sol.
Les pieds 2 et 4 sont à h2 et h4 du sol (le 3 à h3)
1 - Position 1 (POS1) : A partir de la position initiale, on positionne la table de façon à ce que : (a) les deux pieds 1 et 3 reposent sur le sol Cela peut se réaliser :
par une rotation autour de l'axe 2-4 passant par O ==> pieds 1 et 3 équidistants du sol
puis une translation du centre O le long de l'axe fixe Z' O Z pour obtenir ==> pieds 1 et 3 au sol (b) la distance verticale au sol des pieds 2 et 4 est rendue égale (par une rotation autour du nouvel axe 1-3 ) h2 → h'2 et h4 → h'4 avec h'2 = h'4 = h0
N.B. Pour préciser si l'extrémité du pied est au-dessus du sol par exemple, il faut d'attribuer un signe à h0 :voir ci-dessous les notations utilisées.
Notations utilisées :
(a) ''cote du pied'' ou simplement ''cote'', désignera dans la suite la distance verticale séparant l'extrémité du pied de la surface du sol
L'énoncé mentionne la cote du sol par rapport à un plan l'horizontal de référence.
Pour un pied on pourrait définir sa cote par rapport à ce même plan horizontal.
Il est clair que ces 3 grandeurs : cote du pied par rapport à un plan horizontal, cote du sol par rapport à ce même plan horizontal et ''cote du pied'' comme définie ci-dessus, sont directement liées.
→ Pour des raisons de commodité, on utilise ici cette dernière grandeur : '' cote (du pied) ''(i.e. distance verticale le séparant de la surface du sol ).
Convention de signe : on peut convenir de compter positivement la cote du pied, si le pied est au-dessus du sol → Sans perdre de généralité pour la suite, on peut supposer par exemple que dans (POS1) , h0 > 0
C 3
4 1
2
h4 O h2
Z
Z'
X Y
x h3
(b) l'angle de rotation dans le plan de l'extrémité des pieds de la table (angles mentionnés dans la suite), est défini en prenant pour origine un axe local Ox fixe dans ce plan. Il sera noté alpha
Ox peut être par exemple le demi-axe issu de O et passant par l'extrémité du pied 1 avant toute rotation des pieds dans leur plan
Ox (qui appartient au plan des pieds) est alors, pour la position initiale (table pieds verticaux), superposé à OX ( en position initiale, Ox est indiqué sur la figure en pointillés rouge).
2 - Position 2 (POS2) :
A partir de (POS1), supposons qu'on enfonce la table verticalement : son centre O glisse le long de l'axe vertical Z'OZ fixe.
→ Après un enfoncement de h0, cela conduit à la position 2 (POS2) suivante:
les pieds 2 et 4 touchent le sol
les pieds 1 et 3 sont enfoncés de - h0 dans le sol Remarque importante :
→ Puisque une configuration quelconque des extrémités des pieds est invariante par rotation de 90° dans le plan des pieds, on peut dire aussi bien que cette (POS2) peut être considérée comme une (POS2bis) dans laquelle :
les pieds 1 et 3 touchent le sol (là où actuellement il y 2 et 4)
les pieds 2 et 4 sont enfoncés de -h0 (là où il y a actuellement 1 et 3)
3 - Passage continu de (POS1) à (POS2bis) : A partir de (POS1), on effectue dans l'ordre
a - une rotation (positive par exemple) très petite d(alpha) des pieds de la table dans leur plan autour du centre O
b - une rotation autour de l'axe 2-4 pour que les pieds 1 et 3 aient la même cote (i. e. par rapport au sol) c - une éventuelle translation (positive ou négative) le long de Z'OZ pour que ces pieds 1 et 3 soient au sol d - enfin une rotation du plan de la table autour de l'axe 1-3 pour que les pieds 2 et 4 aient même côte (positive ou négative)
→ Un enchaînement de ces mouvements élémentaires qui suivent les règles a , b , c , d ci-dessus, conduit nécessairement à la position (POS2bis) où les pieds 1 et 3 (qui restent ainsi en permanence en contact avec le sol) sont au sol et les pieds 2 et 4 se retrouvent à la côte -h0.
Cela se produit donc après une rotation totale dans le plan des pieds de alpha = 90° autour de O (en laissant en permanence les pieds 1 et 3 en contact avec le sol)
Autrement dit : au cours de ce passage continu de (POS1) à (POS2bis), la cote du pied 2 (ou 4) est passée de h0 à - h0
L'énoncé précise que la cote du sol est une fonction continue des coordonnées horizontales.
→ Admettons que lors des transformations élémentaires définies en 3 ne s'introduisent pas des discontinuités brutales. Alors, compte tenu de la définition de la cote d'un pied par rapport au sol, cette cote d'un pied est aussi une fonction continue des coordonnées dans le plan des pieds.
Par choix des variables dans le plan des pieds, la cote d'un point est par exemple une fonction continue des coordonnées polaires rho et alpha dans ce plan.
→ Le long du cercle C (rho fixé), la cote h d'un pied est une fonction continue F de son angle polaire alpha h = F(alpha)
Avec cela on peut évoquer le Théorème de la valeur intermédiaire :
Puisque pour le pied 2 (et 4) F(alpha(POS1)) = - F(alpha(POS2bis)), il existe au moins une valeur
intermédiaire alpha0 de alpha (ou un nombre impair de valeurs intermédiaires) , avec 0 < alpha0 < 90° , et telle(s) que
h(pied 2 et 4) = F (alpha0) = 0
==> Cela prouve que pour ce(s) alpha0 , la table repose sur le sol sur ses 4 pieds (en général non verticaux!)
