A2840-Récréations de première nécessité
A la sortie du collège à midi, Zig et ses camarades décident de se rendre au Salon des Récréations
Mathématiques. Estimées de première nécessité, elles échappent par bonheur au sinistre confinement. Zig estime qu’avec sa trottinette électrique il pourrait directement se rendre sur place en un quart d’heure. Tous ses camarades sont à pied. Que Zig soit seul ou avec un (seul) passager à bord, sa trottinette lui permet d’aller en moyenne sept fois plus vite que le marcheur à pied. Un rapide calcul lui montre que tout le monde peut arriver en même temps au Salon à treize heures. Combien sont-ils au maximum?
Solution proposée par Gaston Parrour
Combien sont-ils au maximum?
Il est clair qu'avec les données de l'énoncé, Zig utilise sa trottinette pour ''avancer'' un à un chacun de ses camarades. Et cela de façon à ce que tous arrivent en même temps à 13h.
Soit n le nombre de camarades de Zig → Il y a donc en tout n + 1 enfants Ils se mettent en mouvement tous à 12h,
Pour optimiser (transporter le maximum de camarades) :
- Dans ce qui suit :à chaque instant,( n-1) marchent continument, sauf 1 sur la trottinette de Zig En partant du premier pris en charge :
- il est pris en charge par Zig pendant un certain parcours ''aller'' dz1 ; puis il continuera à pied - Zig revient ensuite prendre en charge un second, après un certain parcours dzk2, amené à la hauteur du premier à cet instant là.
…...
- L'avancée se continue ainsi jusqu'au n ième enfant pris en charge ; les autres ayant continué à pied.
- Ce n-ième enfant arrive avec Zig au Salon à 13h et les (n-1) autres enfants aussi.
Montrons :
→ Tous les parcours de Zig dzk (k de 1 à n) sont égaux
Soit d0 la distance entre le collège et le Salon. Vt la vitesse de la trottinette et Vp la vitesse à pied Tous les enfants arrivent au bout d'une heure :
pour le k-ième enfant, on a dzk/Vt + (d0 – dzk)/Vp = 1 heure d'où dzk(1/Vp – 1/Vt) = d0/Vp – 1 ==> dzk = constante Ce parcours (''aller'') constant de Zig est noté dz dans la suite.
L'unité de temps est (par exemple l'heure) Un cycle élémentaire
En raisonnant sur les 2 premiers camarades pris en charge par Zig :
Pendant que Zig parcourt dz avec le premier camarade → l'autre parcourt la distance p en piéton On pose x = dz/Vz
→ p est parcourue en un temps x = dz/Vt d'où p = x Vp (1) Zig dépose le premier. Quand il revient vers le second,qui avance toujours,
ces deux sont initialement séparés de (dz – p) et cette distance est alors couverte à la vitesse (Vt+Vp) Il en résulte une distance supplémentaire p' parcourue par ce second à la rencontre de Zig
→ p' parcourue en un temps (dz – p)/(Vz+Vt) = (x – x/7) /(1+1/7) = 3x/4 d'où p' = 3x/4 Vp (2) ( p' chemin parcouru par les piétons quand Zig est seul sur sa trottinette )
Zig fait alors le trajet dz afin de déposer ce second passager au niveau actuel du premier (qui depuis le moment où Zig l'a déposé, aura donc parcouru p)
En résumé :
→ quand les 2 premiers se retrouvent au même point pour continuer ensuite à pied, les parcours déjà effectués sont
passager 1 dz + p'+ p passager 2 p + p' + dz
N.B. Au delà de ce qui est indiqué ici, ces 2 enfants marchent ensemble à la vitesse Vp jusqu'au Salon Avec n camarades à prendre en charge par Zig :
→ chaque enfant aura parcouru ainsi dz + (n-1) (p+p') pour atteindre le Salon distant de d0 = (1/4) Vt D'où l'égalité ( avec Vp/Vt = 1/7 )
(1/4) Vt = dz + (n-1) x(1 + 3/4) Vp → 1 = x [4 + (n-1)] (3) → le temps de parcours est exactement 1h pour tous
Par exemple dans le cas de Zig : il a fait (n-1) fois un aller-retour (pour emmener le k--ième camarade et revenir prendre le (k+1)-ième ) . Cela jusqu'à k+1 = n
Pour ce dernier : il le prend en charge et s'arrête avec lui au Salon (au même moment les (n-1) autres enfants atteignent le Salon)
Puisque
temps de p = temps aller simple à deux (cf. (1)) et temps de p' = temps retour seul vers le suivant (cf. (2)) Le temps correspondant à ces (n-1) aller-retours, augmenté du temps du dernier aller simple est donc → nx + (n-1)3x/4 = 1 (4) A partir de (3) et (4), l'élimination de x immédiate conduit à
4 + (n-1) = n + 3(n-1)/4 soit donc → n = 5 Conclusion :
==> Zig compris (et grâce à sa trottinette!), il sont 6 enfants à pouvoir aller au Salon en 1 heure
