ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 5 - durée : 4h 1 mars 2017
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'une application bijective.
2. Enoncer la formule donnant la somme d'une série géométrique dérivée d'ordre 2.
Exercice I.
1. Etudier la convergence des séries suivantes : a. X
n≥3
1 n2ln(n) b. X
n≥2
(−1)n+ 2 n−√
n
2. Calculer les sommes suivantes, après avoir brièvement justié la convergence des séries associées.
a. S=
+∞
X
n=0
−2n 5n b. T =
+∞
X
n=2
2
n! +4(n+ 1)n (−3)n
3. Créer un programme Scilab qui calcule la somme partielle d'indice 100 associée àS.
Exercice II.
1. On considère la fonction f dénie sur R par f(x) = x2−3. a. Déterminer l'image par f de l'intervalle I =]1; 5[.
b. Déterminer l'image réciproque parf de l'intervalle J = [1; 7[. 2. On considère l'application f dénie par f : R4[X] −→ R4[X]
P 7−→ (X 7−→XP0(X)) oùR4[X] désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 4.
a. Est-elle surjective ? Justier.
b. Est-elle Injective ? Justier.
3. Déterminer toutes les fonctions f continues surR telles que f◦f =−IdR.
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Exercice III.
On considère la matrice A=
3 −2
−2 3
. 1. Vérier que A2 = 6A−5I4.
2. Montrer par récurrence sur n∈N qu'il existe un etvn tels que An =unA+vnI. (On veillera à obtenir au passage les relations un+1 = 6un+vn et vn+1 =−5un.) 3. Que valent u0, v0, u1 etv1?
4. Montrer que ∀n∈N, un+2 = 6un+1−5un. 5. Comment appelle-t-on ce type de suite ? 6. Montrer que ∀n∈N, un= 1
4(5n−1). 7. En déduire que ∀n ∈N, vn= 1
4(5−5n). 8. Expliciter alors la matrice An.
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Exercice IV.
Les parties A. et B. peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A.
Deux joueurs A et B se partagent un capital deM e, où M ∈N.
Le capital de départ de A est den e, avec n ∈N (et donc celui de B deM −n e).
Ils jouent au jeu du Pile ou Face (ou à tout autre jeu pouvant être modélisé ainsi), et à chaque partie, le perdant donne 1 eau gagnant.
Le jeu se poursuit jusqu'à ce que l'un des deux joueurs soit ruiné.
On suppose que sur une partie donnée : A gagne avec probabilité p∈1
2; 1
(si le lancer donne Pile) B avec probabilité q = 1−p (si le lancer donne Face) On pose :
Pour n∈N, An="A ruine B, en partant avec un capital initial den e", et an=P(An). Pour k∈N∗, Pk ="Le ke lancer donne Pile" et Fk =Pk.
1. Expliquer brièvement pourquoi a0 = 0 et aM = 1.
2. En décomposant suivant le résultat du premier lancer, et en utilisant la formule des probabilités totales, exprimer an en fonction de an+1 etan−1, pour n ∈[[1;M −1]]. 3. En déduire que ∀n ∈[[0;M −2]], an+2− 1
pan+1+ q
pan= 0. 4. Quelle est la nature de la suite (an)0≤n≤M ?
5. Montrer qu'il existe deux réels α etβ tels que ∀n∈[[0;M]], an=α+β q
p n
. 6. Déterminer α et β à l'aide des conditions aux limites a0 etaM, et en déduire que
an =
1−
q p
n
1−
q p
M.
7. Sans refaire tous les calculs, mais en expliquant votre raisonnement, donner la probabilité bn queB ruine A.
(A partant toujours d'un capital de n e, etb de M −n e.) 8. Le jeu se termine-t-il ? Justier.
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Partie B.
Le joueur A, disposant toujours d'un capital de n e, joue cette fois-ci contre un casino, dont on supposera pour simplier que le capital est inniment grand (ce qui n'est pas une hypothèse tellement surréaliste).
On suppose toujours que la probabilité de gagner du joueur A sur une partie est p > 1
2, et que q= 1−p.
1. Montrer que 0< q p <1.
2. Déterminer, en justiant, lim
M→+∞
q p
n
−
q p
M
1−
q p
M .
On admet pour la suite de l'exercice que le joueur A nit ruiné avec la probabilité : rn=
1−p p
n
. 3. Calculer lim
n→+∞rn.
4. Interpréter le résultat précédent.
5. Application numérique :
On donne ln(10)'2.3, ln(11)'2.4 et ln(14)'2.64 On suppose que le joueur gagne56% des parties qu'il dispute.
Quel est le capital minimalndont il doit disposer pour jouer, an que son risque de ruine rn soit inférieur à 1%?
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