La fonction de densité au carrefour entre probabilités et analyse en terminale S. Etude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d’introduction articulant lois à densité et calcul intégral.

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analyse en terminale S. Etude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d’introduction articulant lois à

densité et calcul intégral.

Charlotte Derouet

To cite this version:

Charlotte Derouet. La fonction de densité au carrefour entre probabilités et analyse en terminale S.

Etude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d’introduction articulant lois à densité et calcul intégral. . Histoire et perspectives sur les mathématiques [math.HO]. Université Paris Diderot (Paris 7) Sorbonne Paris Cité, 2016. Français. �tel-01431913�

École Doctorale : Savoirs scientifiques

Épistémologie, histoire des sciences et didactique des disciplines

Laboratoire de Didactique André Revuz

Thèse de doctorat

Didactique des disciplines – Mathématiques

présentée par

Charlotte

La fonction de densité au carrefour entre probabilités et analyse en terminale S

Étude de la conception et de la mise en œuvre de tâches d’introduction articulant lois à densité et calcul intégral

Sous la direction de Alain Kuzniak et Fabrice Vandebrouck

Soutenue publiquement à Paris le 25 novembre 2016 devant le jury composé de :

M. Jean-Claude Régnier Université Lumière Lyon 2 Président, rapporteur M^me Maria AlessandraMariotti Université de Sienne Rapporteure

M. Giambattista Giacomin Université Paris Diderot Examinateur

M^me Corinne Hahn ESCP Europe Examinatrice

M. Alain Kuzniak Université Paris Diderot Directeur M. Fabrice Vandebrouck Université Paris Diderot Co-directeur

Laboratoire de Didactique André Revuz (LDAR)

Université Paris Diderot Bâtiment Sophie Germain Case 7018

8 place Aurélie Nemours 75 205 Paris Cedex 13

ED 400

Université Paris Diderot CAPE

Case 7078

5 rue Thomas Mann 75 205 Paris Cedex 13

Avant tout, je voudrais remercier mes deux directeurs de thèse. Merci à eux pour leur soutien et leur confiance tout au long de ces trois années de thèse. Merci d’avoir passé l’été avec les différents chapitres de ma thèse sur leur chevet. Merci à Alain de m’avoir intégrée à plusieurs projets, notamment au projet Ecos. J’en garderai un très bon souvenir. Merci à Fabrice de m’avoir acceptée comme doctorante pour son premier encadrement de thèse.

Je souhaite aussi remercier les membres de mon jury. Merci à Maria Alessandra Mariotti et Jean-Claude Régnier d’avoir accepté de rapporter ma thèse. Merci pour leurs relectures attentives et les remarques et commentaires constructifs qu’ils ont su faire sur mon manuscrit. Je voudrais tout particulièrement remercier Maria Alessandra Mariotti pour cette discussion que nous avons eu à la Summer School YESS 7 à Kassel, il y a deux ans, sans laquelle je n’aurais peut-être jamais eu cette idée d’ingénierie. Je suis très heureuse qu’elle ait pu découvrir l’aboutissement de mon travail de thèse en tant que rapporteure. Merci à Corinne Hahn et Giambattista Giacomin d’avoir accepté de faire partie de mon jury et d’avoir porté de l’intérêt à mon travail.

Je voudrais ensuite remercier tout particulièrement trois chercheurs qui m’ont énormément soutenue dans mon travail de thèse. Merci à Aline Robert. Merci d’avoir passé des après-midis à m’aider à trouver des façons d’analyser mes séances. Merci d’avoir été à l’écoute et de m’avoir donné énormément d’idées et de conseils. Ces mo- ments particuliers ont été très importants pour moi. Merci aussi à Bernard Parzysz d’avoir accepté d’écrire un article (puis une communication) avec moi. J’ai appris énormément dans cette collaboration. Ce fût un véritable plaisir de travailler avec lui. Enfin, merci à Michel Henry, qui a accepté de me rencontrer en septembre 2015 pour discuter de l’Histoire des probabilités et qui, cet été, a passé énormément de temps à relire ma thèse et à me faire des retours et des commentaires, toujours constructifs. Le chapitre 3 lui doit beaucoup.

Je voudrais aussi remercier ceux sans qui ce travail n’existerait pas (en tout cas, pas comme tel) : les enseignants qui ont accepté d’échanger, de travailler avec moi.

Je commence par celle à qui je dois le plus : merci à Sylvie, qui m’a fait confiance.

La séquence conçue a vraiment été un travail collaboratif qui a été au-delà de mes espérances. J’ai adoré nos échanges, nos discussions. Merci à elle de s’être empressée de discuter avec son collègue Vincent après notre première « réunion » sur le projet et de le lui avoir tellement bien « vendu » qu’il s’en est aussitôt emparé. Merci à

Vincent de s’être laissé embarquer (malgré lui) dans l’aventure. Merci d’avoir testé la séquence et d’avoir ensuite accepté de tout me raconter. Merci à tous les deux pour leur enthousiasme, leur investissement et leur bonne humeur.

Merci à mes anciens collègues du lycée Touchard et du lycée Darius Milhaud et à mes amis profs qui ont accepté d’être interviewés et de faire passer les questionnaires dans leur classe. Merci à Valérie, à Ali, à Olivier, à Virginie, à Robert, à François, à Nicolas. Merci aussi à Laurent, à Pierre.

Je voudrais remercier les chercheurs et jeunes chercheurs que j’ai pu côtoyer tout au long de ma thèse. Tout d’abord, je voudrais remercier les chercheurs du labora- toire, toujours ouverts aux doctorants pour échanger. Le LDAR est un laboratoire de recherche où il fait bon vivre et où les doctorants ont leur place à part entière.

Merci d’abord à Cécile de Hosson qui contribue en tant que directrice à ce climat.

Merci d’être à l’écoute des doctorants et toujours de bon conseil. J’en profite pour la remercier d’avoir en-chanté mes vendredis midis (et ceux des autres choristes) depuis 3 ans, Ô huitième.

Merci à Christophe, à Julie, à Julia, à Joris, à Maha... et tous ceux avec qui j’ai pu partager des déjeuners sympathiques à la conviv’, autour de discussions scientifiques mais pas que. Merci à Michèle Artigue et Laurent Vivier de m’avoir suivie pendant mon mémoire de M2. C’est finalement là le commencement du chemin vers le doctorat.

Je voudrais aussi remercier les jeunes chercheurs du LDAR (qui pour certains sont devenus « vieux »). Merci à tous les jeunes chercheurs avec qui j’ai pu discuter, échanger et rigoler. Ces moments partagés ont été essentiels pendant ces trois années.

Merci aux jeunes chercheurs qui sont devenus « vieux » : Zoé, Lynn, Valentin, Robin, Edith, Cécile... Merci aux doctorants qui ont passé ces trois années avec moi : Assia (ma co-bureau pendant ces trois années, merci pour les discussions, les fous rires et les chambres d’hôtels partagées), Dominique, Robin, Sophie, Sophie, Soraya. Merci à ceux qui sont arrivés en cours de route : Alice, Blandine, Ines, Jorge, Léonard, Stéphane, Zakaria...

Merci à Monica d’être venue passer trois mois de son doctorat en France tout au début de ma thèse. Ce fût ma première co-auteure et elle est en même temps devenue une amie.

Merci à l’équipe chilienne de l’IMA qui m’a accueillie à bras ouverts lors de mon séjour d’un mois à Valparaíso dans le cadre du projet ECOS. Je pense en particulier à Elizabeth Montoya qui m’a totalement intégrée à l’équipe et qui m’a aussi fait visiter des superbes endroits. Merci à Jaime, Soledad... Merci aussi aux doctorantes chiliennes qui ont rendu mon séjour inoubliable. Merci à Paula, aux deux Carolina, à Isabel... Merci à Monica, Carolina et Romina, nous avons formé une bonne équipe internationale de doctorantes pour nos études comparatives. Muchas gracias a mi familia chilena Andrea, Marcelo y Pia.

Merci aussi aux chercheurs que j’ai pu rencontrer au sein de l’ARDM et notam- ment à ceux qui m’ont fait confiance dans le comité scientifique et d’organisation de l’École d’été à Brest, en me donnant des responsabilités. Merci à Ghislaine Gueudet,

à Yves Matheron, à Valentina Celi...

Merci aux jeunes chercheurs de l’ARDM qu’il est toujours plaisant de retrouver lors des WEJCH annuels : Anne, Céline, Laetitia, Maud, Valérie...

Merci aussi à Philippe Richard, Denis Tanguay et au regretté Jean-Philippe Drouhard avec qui j’ai pu échanger à plusieurs reprises pendant ces trois années.

Merci à Karine Chemla pour la direction de l’ED et la reconnaissance qu’elle a du travail des délégués représentants des doctorants de l’ED. Merci aux délégués de SPHERE avec qui j’ai apprécié organiser les journées des doctorants.

Merci à tous ceux qui rendent la vie du doctorant plus facile. Merci à Sandrine d’avoir toujours une solution en cas de problème administratif. Merci à Jérôme d’être capable de trouver n’importe quel article les yeux fermés (presque !). Merci à Éve- lyne d’avoir toujours le sourire. Merci à Laetitia de m’avoir aidée à régler tous mes problèmes informatiques. Merci à Martine et à Nadine.

Merci aux doctorants du 6ème qui ont partagé mon quotidien de ces trois an- nées. Merci à Baptiste d’être mon plus fidèle co-bureau, à Marco pour toutes nos discussions (et pour son superbe accent anglais), à Victoria pour les belles flèches dans mes tableaux, à Kévin d’avoir été là pour m’entendre crier de joie après l’envoi de ma thèse, à Élie pour sa pyramide de boîtes de bonbons, à Julie d’avoir apporté un peu de Québec à l’étage... Merci à tous ceux avec qui j’ai pu prendre des goûters durant ces trois années.

Merci à mes nouveaux collègues de l’ESPE de Paris qui m’ont très bien accueillie au sein de l’équipe. Merci en particulier à Anne qui m’a proposé et a relu un chapitre de ma thèse. Merci au groupe IREM Analyse, nos rencontres ont ponctué ces trois années.

Je voudrais aussi remercier les enseignants, que j’ai eus lors de mon parcours scolaire et universitaire, qui m’ont inconsciemment conduite vers la didactique des maths. Je pense tout d’abord à Alain Lagrais, mon prof de maths du lycée, qui m’a (encore plus !) donné envie d’enseigner les mathématiques. Puis, merci à Jean Julo de m’avoir passionnée dans l’UE Didactique de la licence de maths de l’Université de Rennes 1. Enfin, merci à Mihaï Gradinaru de m’avoir encouragée, pendant la préparation à l’agrégation, à m’inscrire au M2 de Didactique des Mathématiques de Paris 7 pour l’année suivante. Ces rencontres, ainsi que le M2 à Paris 7, ont fait que trois ans après l’agreg, je démarrais une thèse (au grand désarroi de ma maman ! ;) ).

Je voudrais enfin remercier mes amies de toujours : Cycy, Lily, Lulu et Mélan.

Merci à mes copains de LSDM et les « changéens » pour nos soirées, nos week-ends annuels à Saint-Maixent... Merci à la loi des 5. Merci à Aurelia, de me rappeler de mettre la musique à fond et de danser en cas de stress, à Marie, de m’avoir inspiré le prénom le plus présent dans ma thèse, à Maud, d’avoir été ma coach de thèse, à Virginie, de m’avoir donné le meilleur conseil de ma thèse « se donner de petits

objectifs atteignables chaque jour ». Merci aux visannais, pour les bons moments qu’on passe encore et toujours. Merci à Julie, Rodolphe, Anaël et Ludo. Merci à Myrtille et Béatrice d’avoir illuminé mes mercredis après-midis pendant ces trois années.

Merci à ma maman pour ses relectures consciencieuses. Désolée de l’avoir rendue malade avec mes 350 pages (mais elle l’a fait !). Promis, maintenant c’est fini, je ne compte pas inventer une nouvelle thèse. Merci à mon papa de toujours être fier de ses filles. Merci à ma sœur d’avoir aussi relu des bouts de ma thèse et surtout de m’avoir assistée dans les dernières corrections, notamment la veille d’envoyer la thèse aux rapporteurs.

Merci à Thibault d’avoir toujours trouvé des solutions à mes problèmes de L^ATEX, merci de m’avoir supportée pendant mes gros moments de stress, merci pour les vacances en Grèce, merci pour les petits plats... La liste serait trop longue, tout simplement merci.

Pour conclure, ces trois années de thèse ont été une expérience scientifique mais avant tout une aventure humaine que je n’oublierai pas. Merci à tous.

Résumé

Cette thèse porte sur les articulations entre les probabilités et l’analyse en classe de terminale scientifique. Nous avons exploré comment se créent et sont ex- ploités les liens entre les sous-domaines mathématiques des probabilités des lois à densité et du calcul intégral, à travers une recherche centrée sur la notion de fonction de densité. En adoptant le modèle des Espaces de Travail Mathématique et des éléments de la théorie de l’activité, nous nous sommes demandé quelles tâches permettent d’introduire cette notion et de construire la relation sémiotique P(aX b) =

_b

a

f(x) dx. Pour aborder cette question, nous avons commencé par faire une étude épistémologique et historique de la naissance de la notion de lois à densité, qui nous a notamment permis de dégager la place importante de la sta- tistique dans cette genèse. Puis, nous avons effectué une analyse des documents institutionnels et des manuels. Cette analyse a montré que l’articulation entre pro- babilités à densité et calcul intégral est imposée aux élèves et peu exploitée dans les différentes tâches qui leur sont proposées. Enfin, nous avons étudié la conception et la mise en place de tâches d’introduction originales grâce à une méthodologie de recherche que nous qualifions d’ingénierie didactique collaborative. Ces tâches ont pour objectif de faire construire, par le « collectif » classe, la notion de fonction de densité et d’amener le besoin du calcul d’aire sous une courbe. Nous avons mis en évidence les activités de ce collectif classe, dans la construction de cette notion, en analysant les circulations entre trois sous-domaines : les probabilités à densité, la statistique descriptive et le calcul intégral.

Mots-clefs

Didactique des mathématiques, Probabilités, Statistique, Calcul intégral, Fonc- tion de densité, Espace de Travail Mathématique, Théorie de l’activité.

The density function at the crossroads between probability and calculus in the scientific track of the Grade 12.

Studying of the design and implementation of introductory tasks articulating continuous probability distribution and integral calculus.

Abstract

This thesis focuses on the connections between probability and analysis (calcu- lus) in the scientific track of Grade 12 (French baccalaureate program). We explored the ways in which links between the mathematics subfields of continuous probability and integral calculus are created and explored, through a research focused on the concept of density function. Using the Mathematical Working Space model and some

elements of Activity Theory, we sought to identify tasks that would allow introduc- ing this concept and building the semiotic relationshipP(aX b) =

_b

a

f(x) dx.

In order to address this issue, we began with an epistemological and historical study of the birth of the concept of density function, which enabled us to identify the important role of statistics in this genesis. Then, an analysis of institutional doc- uments and textbooks showed that the link between continuous probability and integral calculus is imposed on students and rarely exploited in the different tasks given to them. Finally, we studied the design and implementation of original intro- ductory tasks through a research methodology that we call “collaborative didactic engineering”. The goal of these tasks is to get the class “collective” to construct the concept of density function and trigger the need for calculating areas under a curve.

We highlighted the activities of the class “collective” in the construction of this no- tion by analyzing articulations between the three subfields: continuous probability, descriptive statistics and integral calculus.

Keywords

Mathematics education, Probability, Statistics, Integral calculus, Density func- tion, Mathematical Working Space, Activity Theory.

Introduction générale 17

1 Préliminaires 21

1.1 Évolution de l’enseignement des probabilités et de la statistique . . . 21

1.2 Place actuelle des probabilités et de la statistique . . . 23

1.3 Rappels mathématiques sur les probabilités . . . 24

1.3.1 Généralités . . . 24

1.3.2 Probabilités discrètes . . . 28

1.3.3 Probabilités à densité . . . 29

1.3.4 Loi faible des grands nombres . . . 34

1.3.5 Théorème limite central . . . 34

2 Problématique, cadre théorique et méthodologie 37 2.1 Problématique . . . 37

2.1.1 Des polémiques . . . 37

2.1.2 Les liens entre lois de probabilités à densité et calcul intégral . 38 2.1.3 Vers nos questions de recherche . . . 41

2.2 Les travaux en didactique portant sur les lois à densité . . . 41

2.2.1 Travaux sur les lois à densité . . . 42

2.2.2 Des brochures pour la formation des enseignants . . . 45

2.2.3 Quelques difficultés observées chez les élèves en probabilités . 46 2.2.4 Le manque de formation des enseignants en probabilités et statistique . . . 46

2.2.5 Le lien entre statistique et probabilités ou entre réalité et modèle 47 2.3 Principaux choix théoriques . . . 47

2.3.1 Le modèle des Espaces de Travail Mathématique : cadre qui guide notre étude . . . 48

2.3.2 Quelques éléments de théories de l’activité qui complètent notre cadre théorique . . . 54

2.4 Questions de recherche et méthodologie générale . . . 57

2.4.1 Nos questions de recherche . . . 58

2.4.2 Objectifs et méthodologie générale de la recherche . . . 59

Partie I Approche épistémologique et historique 63

3 Étude historico-épistémologique 67

3.1 Méthodologie . . . 67

3.2 Émergence historique du calcul intégral : absence des probabilités . . 68

3.3 La naissance des lois de probabilité à densité . . . 70

3.3.1 Les débuts des probabilités : les jeux de hasard . . . 70

3.3.2 Le problème de Bernoulli : apparition d’intégrales . . . 70

3.3.3 Buffon et le Franc-carreau : première rencontre avec la loi uniforme continue . . . 72

3.3.4 Les travaux de Bayes : présence d’une courbe de densité . . . 73

3.3.5 La théorie des erreurs : naissance des lois à densité . . . 73

3.3.6 La théorie moderne des probabilités . . . 82

3.4 Conclusion de l’étude historico-épistémoloqique . . . 83

Partie II Un regard sur les articulations entre probabi- lités à densité et calcul intégral dans l’enseignement en terminale S 87

4.1.1 Le choix des documents . . . 91

4.1.2 Méthode d’analyse des documents . . . 92

4.2 Analyse du programme . . . 93

4.2.1 Présentation du programme . . . 93

4.2.2 Des articulations apparentes ou possibles . . . 98

4.2.3 Un programme avec des « incohérences » entre probabilités et analyse . . . 99

4.2.4 Conclusion sur le programme . . . 100

4.3 Analyse du document Ressources . . . 101

4.3.1 Présentation du document . . . 102

4.3.2 Premiers éclaircissements et apparition de nouvelles ambiguïtés 103 4.3.3 L’introduction des différentes lois . . . 104

4.3.4 Autres articulations . . . 109

4.3.5 Des tâches qui n’exploitent pas l’articulation entre probabilités à densité et calcul intégral . . . 111

4.3.6 Conclusion sur le document Ressources . . . 113

4.4 Analyse des sujets de baccalauréat . . . 114

4.4.1 Présentation des sujets de baccalauréat . . . 114

4.4.2 Répartition des exercices de baccalauréat portant sur les pro- babilités à densité et le calcul intégral . . . 115

4.4.3 Différences repérées entre les deux sous-domaines . . . 117

4.4.4 Des types de tâches caractérisant les deux sous-domaines . . . 118

4.4.5 Des tâches qui exploitent les liens entre les deux sous-domaines ou pouvant en créer . . . 120

4.4.6 Conclusion sur les exercices du baccalauréat . . . 124

4.5 Conclusion sur les dynamiques entre les ETM de référence . . . 124

5 Étude des manuels de terminale S 127

5.1 Méthodologie de l’étude des manuels . . . 128

5.1.1 Justification du choix de l’étude des manuels . . . 128

5.1.2 Présentation générale des manuels . . . 129

5.1.3 Outils méthodologiques pour l’analyse a priori des activités d’introduction de la notion de fonction de densité . . . 131

5.1.4 Méthodologie pour l’observation des tâches exploitant les connexions entre les deux sous-domaines . . . 132

5.2 Analyse des activités d’introduction . . . 133

5.2.1 Avant de commencer . . . 133

5.2.2 Introduction de la notion de fonction de densité : les différentes approches rencontrées dans les manuels . . . 136

5.2.3 Analysea priori des activitésintroductives utilisant la notion d’histogramme . . . 139

5.2.4 Résultats . . . 166

5.2.5 Compléments sur la notion d’histogramme . . . 169

5.2.6 Conclusion . . . 174

5.3 Des connexions au niveau du calcul d’aires . . . 174

5.3.1 Mise en évidence de différents niveaux de calculs d’aires . . . . 175

5.3.2 Le niveau A1 . . . 176

5.3.3 Le niveau A2 . . . 178

5.3.4 Le niveau A3 . . . 180

5.3.5 Récapitulatif . . . 183

5.4 Un point de vue sur les choix des enseignants . . . 185

5.4.1 Méthodologie relative aux entretiens . . . 185

5.4.2 Élements des entretiens . . . 186

5.5 Conclusion sur les ETM idoines . . . 188

Partie III Élaboration d’une ingénierie didactique colla- borative. Des problèmes de modélisation articulant l’intro- duction des probabilités à densité et du calcul intégral 195

6.1.1 La méthodologie de type ingénierie didactique . . . 200

6.1.2 Une recherche collaborative . . . 200

6.1.3 Vers une méthodologie de type ingénierie didactique collabo- rative . . . 203

6.1.4 La mise en œuvre de la méthodologie . . . 204

6.2 Description de la phase de conception . . . 208

6.2.1 Des contraintes à respecter . . . 208

6.2.2 Prise en compte des pratiques habituelles de Marie . . . 209

6.2.3 Une première proposition : une réorganisation et quelques mo- difications . . . 211

6.2.4 Principaux choix retenus pour la conception des tâches et jus-

tification de ces choix . . . 213

6.3 Présentation du scénario de la séquence . . . 215

6.3.1 Avant la séquence . . . 215

6.3.2 Introduction de la notion de fonction de densité (1) : le pro- blème de la rencontre . . . 217

6.3.3 Introduction de la notion de fonction de densité (2) et du calcul intégral : le problème du volcan Aso . . . 218

6.3.4 Un cours et des exercices articulant calcul intégral et proba- bilités à densité . . . 219

6.3.5 Un autre devoir maison . . . 219

6.4 Précisions sur la question de recherche . . . 220

6.4.1 Éléments théoriques complémentaires . . . 220

6.4.2 Nos nouvelles questions de recherche . . . 221

7 Analyses des scénarios et des déroulements 223 7.1 Méthodologie des analyses . . . 224

7.1.1 Précisions sur l’expérimentation . . . 224

7.1.2 Base de notre méthodologie . . . 226

7.1.3 Prise en compte de la démarche de modélisation en probabilités227 7.1.4 Adaptation de la méthodologie aux tâches de modélisation . . 233

7.1.5 Grilles d’analyses globales des deux problèmes . . . 234

7.1.6 Grilles d’analyses locales . . . 237

7.1.7 Dernier niveau d’analyse : l’institutionnalisation . . . 240

7.2 Le problème de la rencontre . . . 241

7.2.1 Éléments de contexte . . . 241

7.2.2 Analyse a priori du problème de la rencontre . . . 242

7.2.3 Analyse du déroulement . . . 254

7.2.4 Analyse de la première institutionnalisation . . . 274

7.2.5 Conclusion sur le problème de la rencontre . . . 283

7.3 Le problème du volcan Aso . . . 285

7.3.1 Analyse a priori du problème du volcan Aso . . . 286

7.3.2 Analyse du déroulement . . . 296

7.3.3 Analyse de la deuxième institutionnalisation . . . 318

7.3.4 Conclusion sur le problème du volcan Aso . . . 323

7.3.5 Éléments sur le cours associé à la séquence . . . 326

7.4 Validation interne . . . 327

7.5 Discussion sur les choix méthodologiques . . . 329

7.5.1 Prise en compte de la démarche de modélisation . . . 329

7.5.2 Alliance entre les méthodologies des théories de l’activité et des ETM . . . 330

7.5.3 Prise en compte des changements de domaine dans les ETM et retour sur l’articulation entre probabilités à densité et calcul intégral . . . 332

7.5.4 Analyse du collectif classe . . . 332

8 Sur la portée de nos résultats 335

8.1 Validation de l’enseignante . . . 335

8.1.1 Respect des contraintes . . . 336

8.1.2 Son ressenti d’enseignante . . . 336

8.2 Limites de l’analyse du collectif . . . 337

8.3 Validation complémentaire : questionnaire de fin d’année . . . 339

8.3.1 Méthodologie relative au questionnaire . . . 340

8.3.2 Résultats de ce questionnaire . . . 341

8.3.3 Conclusion sur le questionnaire . . . 348

8.4 La question de la reproductibilité . . . 349

8.4.1 Le cas de Laurent . . . 349

8.4.2 Des conditions à la reproductibilité . . . 351

8.5 Impacts et portée sur nos résultats . . . 352

Conclusion générale 353 9.1 Synthèse des résultats . . . 353

9.2 Limites de cette recherche . . . 356

9.3 Apports de ce travail . . . 357

9.4 Prolongements et perspectives . . . 358

9.4.1 Autour de l’ingénierie . . . 358

9.4.2 Sur les connaissances des élèves . . . 359

9.4.3 Vers de nouvelles notions à étudier . . . 359

9.4.4 Un questionnement plus théorique . . . 359

Bibliographie 361

Liste des manuels de terminale S 373

Liste des manuels de seconde 375

Annexes 379

A Documents historiques 383

B Le programme de terminale S 389

C Le document Ressources 393

D Les sujets de baccalauréat 396

E Les manuels 428

F Les entretiens 444

G La séquence conçue 495

H Planning de la séquence 524

I Les données relatives à la séquence 526

J Compléments 651

Depuis quelques dizaines d’années, les probabilités et la statistique ont fait leur apparition dans l’enseignement secondaire de nombreux pays. Les raisons de l’in- troduction de ces deux domaines mathématiques dans l’enseignement ont été mises en évidence dans de nombreuses recherches (Holmes, 1980 ; Hawkins, Jolliffe & Gli- ckman, 1991 ; Vere-Jones, 1995 ; Wild & Pfannkuch, 1999 ; Gal, 2002). Batanero, Godino et Roa (2004) en reprennent les principales, qui sont l’utilité des probabilités et de la statistique dans la vie quotidienne, leur rôle d’outil dans d’autres disciplines (physique, économie, biologie...), leur rôle dans le développement du raisonnement critique et la nécessité de connaissances statistiques dans de nombreuses professions.

Nous pouvons remarquer un choix de l’enseignement de se rapprocher des pratiques de la vie professionnelle et sociale. De nos jours, en plus d’être considérées comme utiles à la formation du citoyen (comme on peut le retrouver explicitement dans les programmes français), les probabilités et la statistique offrent de nouvelles possi- bilités d’exploitation des outils technologiques à la disposition des élèves (logiciels, calculatrice...).

En France, au fur et à mesure des réformes, une place grandissante est laissée à l’enseignement des probabilités et de la statistique. En probabilités, les premières notions sont abordées en classe de troisième, puis elles sont enrichies tout au long du lycée, dans les différentes filières. Actuellement, les différentes lois étudiées ne se limitent plus aux lois de probabilité discrètes. Depuis la rentrée 2012, certaines lois de probabilité à densité sont apparues dans les programmes de la classe de terminale de nombreuses filières (et pas seulement des filières générales) ; les premières lois à densité (uniforme et exponentielle) sont apparues dès la réforme des années 2000 en terminale scientifique.

D’un point de vue épistémologique, le calcul de probabilités de lois à densité marque un véritable changement par rapport au calcul de probabilités de lois dis- crètes. En effet, dans le premier cas, il ne s’agit plus de définir une loi en décrivant la probabilité associée à chaque issue possible, mais de la définir par la probabilité de tout intervalle. Pour une variable aléatoire X suivant une loi à densité, on va avoir :

P(aX b) =

_b

a

f(x) dx, (∗)

oùf est la fonction de densité de probabilité associée à la loi deX. On voit ici appa- raître une écriture sémiotique qui a la particularité d’établir une relation entre deux domaines mathématiques, les probabilités et l’analyse. Cette écriture sémiotique est un macro-signe qui représente une égalité entre deux signes, l’un associé aux proba- bilités et l’autre à l’analyse, plus précisément au calcul intégral. Plus qu’une simple

écriture sémiotique, nous appellerons ce signe une relation sémiotique, du fait de la relation entre domaines qu’elle induit.

La question est alors de savoir quelle véritable relation ce macro-signe établit entre les deux domaines. Nous pouvons d’abord nous poser la question de la rela- tion entre probabilités et analyse d’un point de vue historique et épistémologique.

Quelle est l’origine de la relation qui se traduit par ce signe ? Ensuite, d’un point de vue didactique, nous pouvons chercher à comprendre quel sens est donné à cette relation sémiotique dans les classes et quel sens lui donnent les élèves. Cette relation sémiotique s’arrête-t-elle simplement à ce macro-signe ou est-ce que cela va au-delà ? Une véritable relation entre les deux domaines existe-elle ?

Les probabilités à l’université

En licence de mathématiques à l’université, la théorie des probabilités de Kol- mogorov est introduite en troisième année, sans prendre en compte ce qui a pu être vu antérieurement par les étudiants sur ce thème. D’une université à l’autre, le dé- roulement est sensiblement le même. Les étudiants rencontrent d’abord la théorie de la mesure puis la théorie de l’intégration de Lebesgue. Ensuite, la théorie des probabilités arrive en s’appuyant essentiellement sur les deux précédentes. L’ensei- gnement des probabilités, à ce niveau, s’appuie sur l’axiomatique de Kolmogorov.

Les mesures de probabilités sont un cas particulier de mesure et il en découle que le calcul de probabilités est une application de l’intégration de Lebesgue. Au sein de cette théorie, les mesures de probabilités discrètes et continues sont étudiées dans le même cadre. À l’université, avec cet enseignement des probabilités, intégration et probabilités sont donc liées par construction même des objets mathématiques.

À ce niveau universitaire, des difficultés peuvent tout de même émerger. Garet et Kurtzmann (2011), dans leur livre de cours de probabilités à destination des étu- diants de L3-M1, disent que «l’expérience montre que les difficultés [des étudiants]

sont bien plus souvent liées à une défaillance du lien entre le cours d’intégration et ses applications en probabilités, qu’à un défaut de compréhension des probabilités elles-mêmes » (p. i). Ces enseignants mettent le doigt sur les difficultés des étu- diants à faire des liens entre intégration et probabilités, malgré cette construction des probabilités.

Le choix de la classe

Au lycée, la problématique est différente. Les théories de la mesure et de l’inté- gration de Lebesgue ne sont évidemment pas au programme. Cela n’empêche pas pour autant l’introduction de certaines lois à densité. Nous allons nous intéresser à ce niveau d’enseignement car il s’agit de la première rencontre avec ces lois de probabilités, c’est donc un moyen pour nous de comprendre la genèse de la relation sémiotique (∗) dans l’enseignement et de voir le sens qui lui est donné.

Dans beaucoup de filières du lycée, l’enseignement des lois à densité se limite à l’étude des lois normales. Dans ces classes, le calcul intégral n’est pas abordé. La relation sémiotique (∗) n’apparaît donc pas explicitement (bien qu’elle soit présente implicitement). Le travail sur les lois normales se restreint souvent à une utilisation

de la calculatrice. Pour notre recherche, nous avons donc voulu choisir une classe dans laquelle le calcul intégral est au programme et l’enseignement des lois à densité plus développé que simplement l’étude des lois normales. Pour cette raison nous avons choisi la classe de terminale scientifique (terminale S). C’est dans cette section du lycée que ces deux parties du programme sont les plus conséquentes.

Nous faisons l’hypothèse que peu de sens est donné à cette relation sémiotique dans les classes.

Objectif de la thèse

Nous avons commencé à introduire le contexte général de notre questionnement.

La question principale qui va guider notre travail de recherche est la suivante : Est-il possible de concevoir et de mettre en œuvre des problèmes d’introduction aux lois à densité qui permettent aux élèves de terminale

scientifique de construire conceptuellement la relation sémiotique (∗)? Les objectifs de cette thèse vont être d’ordre épistémologique et didactique. Il s’agira de mieux comprendre la relation induite par le signe (∗), c’est-à-dire sa ge- nèse historique et épistémologique, son rôle dans l’enseignement en terminale S, pour ensuite se poser la question de son introduction dans la classe de terminale et de la possibilité de lui faire prendre tout son sens.

Plan de l’étude

Avant de préciser notre problématique de recherche, lechapitre 1présentera des éléments préliminaires. Nous commencerons par donner des précisions sur le contexte de l’enseignement des probabilités et de la statistique en France. Nous ferons aussi des rappels mathématiques sur les probabilités et nous commenterons l’adaptation qui en est faite au lycée. Dans lechapitre 2, nous détaillerons notre problématique, ainsi que notre cadre théorique et notre méthodologie générale. Notre étude sera ensuite structurée en trois parties.

La Partie I est constituée d’un seul chapitre (chapitre 3). Nous proposerons, dans cette partie, une analyse historique et épistémologique de la genèse des lois à densité et de la notion de fonction de densité, afin de mieux comprendre la construc- tion historique de la relation entre les probabilités et l’analyse.

LaPartie IIest dédiée à un état des lieux de l’enseignement des lois à densité et sa mise en relation avec le calcul intégral dans la classe de terminale S. Cette partie est composée de deux chapitres (chapitres 4 et 5). Dans le chapitre 4, nous présenterons une analyse des documents institutionnels, à savoir le programme, le document Ressources ainsi que les sujets du baccalauréat. Dans le chapitre 5, il s’agira d’étudier l’introduction de la fonction de densité dans les manuels et dans les classes, à partir d’entretiens d’enseignants.

La Partie III (chapitres 6, 7 et 8) est consacrée à l’ingénierie didactique collaborative que nous avons mise en place. Dans le chapitre 6, nous décrirons la méthodologie de type ingénierie didactique, prenant en compte une dimension colla- borative, qui a guidé notre travail. En prenant appui sur les résultats des deux parties

précédentes, nous exposerons les choix que nous avons retenus dans la conception des problèmes d’introduction. Dans le chapitre 7, nous analyserons dans le détail les mises en œuvre des problèmes d’introduction dans le cadre d’une expérimenta- tion dans une classe de terminale S et nous proposerons, dans le chapitre 8, une ouverture sur nos résultats pour essayer d’élargir la portée de nos résultats.

Nous terminerons par uneconclusion généraledans laquelle nous reviendrons sur nos questions de recherche en essayant de dégager ce que ce travail nous a appris sur l’introduction des lois à densité en classe de terminale S. Nous présenterons les apports de cette thèse et nous proposerons des prolongements possibles à notre travail.

Préliminaires : l’enseignement des probabilités et de la statistique en France et quelques rappels

mathématiques

Avant de présenter notre problématique et les questions de recherche de notre travail, nous allons resituer l’enseignement des probabilités et de la statistique dans l’enseignement secondaire en France. Ce chapitre a pour but de « contextualiser » cet enseignement, moins étudié que celui de l’algèbre ou de la géométrie, par exemple.

Nous présenterons tout d’abord, dans la section 1.1, l’évolution des programmes en probabilités et en statistique au cours des différentes réformes (à partir de 1954).

Dans la section 1.2, nous insisterons plus particulièrement sur la place actuelle des probabilités et de la statistique dans l’enseignement secondaire. Nous parlerons des programmes avant la réforme des cycles 2, 3 et 4, mise en vigueur à la rentrée 2016.

Cependant, nous tenons à préciser que la réforme n’influence que peu les contenus en probabilités et statistique. Nous ferons ensuite, dans la section 1.3, quelques rappels sur les notions probabilistes du niveau de deuxième année d’université (L2) pour prendre un peu de hauteur sur les mathématiques en jeu dans la thèse, sans pour autant entrer dans la théorie de Kolmogorov. En parallèle, nous ajouterons des remarques pour préciser si ces notions sont abordées dans l’enseignement secondaire et nous préciserons les éventuelles transpositions didactiques qui en sont faites.

1.1 Évolution de la place des probabilités et de la statistique dans l’enseignement secondaire

Les probabilités et la statistique font leur apparition tardivement dans l’ensei- gnement secondaire. Ceci est à mettre en lien avec le développement assez récent des domaines mathématiques des probabilités et de la statistique. Nous allons présenter ici quelques éléments d’une étude de Parzysz (2003) sur l’évolution des programmes en probabilités et en statistique entre 1965 et 2002.

Il faut attendre 1954 pour voir apparaître pour la première fois l’enseignement de

la statistique dans l’enseignement secondaire et seulement dans une seule section, la section économique (B). La statistique entre véritablement dans les programmes en 1965, en classe de première des sections A (littéraire), B (économique) et D (scien- tifique option sciences naturelles). Les probabilités sont quant à elles introduites l’année suivante, en classe de terminale des mêmes sections. Nous pouvons signaler qu’aucun enseignement des probabilités et statistique n’est donné dans la section C (scientifique option mathématiques et physique). Dans les sections A et B, plu- sieurs lois de probabilités sont au programme, entre autres, la loi binomiale, la loi de Poisson ainsi que la loi normale, comme loi limite de la loi binomiale.

En 1970, le programme de la réforme des « mathématiques modernes » est mis en place. C’est seulement à ce moment-là que les probabilités et la statistique arrivent dans toutes les filières scientifiques (C, D et E). La présentation des probabilités est alors axiomatique. Nous trouvons les notions d’espace probabilisable et d’espace probabilisé¹ (fini) en classes de première et de terminale. Certaines notions, comme la loi normale, sont enlevées. Seules la loi binomiale et quelques autres lois dis- crètes finies restent étudiées. L’étude des probabilités illustre l’intérêt des structures ensemblistes qui sont alors au cœur des programmes de la réforme des « mathéma- tiques modernes ». En effet, les probabilités et la statistique permettent aux élèves de réinvestir leurs connaissances sur les ensembles (réunion, intersection,...). À cette époque, les probabilités et la statistique ne sont à aucun moment connectées.

Cette séparation entre les deux domaines est renforcée pendant la période de 1981 à 1986. L’enseignement des probabilités est alors moins ambitieux : l’aspect axiomatique a disparu et les probabilités sont présentées comme un « sous-produit » du dénombrement. Seule la loi binomiale reste étudiée. À partir de 1986, l’enseigne- ment de la statistique descriptive est avancé à la classe de sixième et se poursuit jusqu’à la classe de première. Les calculs de probabilités et la loi binomiale sont introduits seulement en terminale.

La réforme des années 1990 maintient l’enseignement de la statistique (descrip- tive) à partir du début du collège. En revanche, un grand changement marque l’enseignement des probabilités : l’approche recommandée est alors une approche

« fréquentiste » (Henry, 2010). La probabilité est définie par l’observation de la sta- bilisation de la fréquence dans la répétition d’une expérience aléatoire. Il s’agit d’une approche expérimentale. La liaison probabilités-statistique est présente, avec cepen- dant un risque didactique que les élèves assimilent fréquence observée et probabilité (Girard, 2004).

La réforme suivante (dans les années 2000-2002) est celle que Girard (ibid.) ap- pelle la « révolution statistique ». Un volume horaire plus conséquent est consacré à la statistique en classe de seconde. De plus, le programme introduit de nouveaux aspects comme les fluctuations d’échantillonnage et la simulation. En classe de pre- mière, la probabilité est ensuite définie comme une distribution de fréquences théo- riques intervenant dans la modélisation d’une situation aléatoire. Enfin, les lois de probabilités continues (loi uniforme sur [0; 1] et lois exponentielles) font leur appari- tion dans le programme de terminale S. Il en est de même pour les tests statistiques avec la vérification de l’adéquation d’une distribution observée à une loi équirépartie grâce à un test. Dans ce programme, il y a une volonté de lier statistique et pro-

1. Nous préciserons ces notions dans la section 1.3.

babilités, notamment à travers la loi des grands nombres (énoncée sous une forme

« vulgarisée »).

Au fur et à mesure des réformes, l’enseignement de la statistique et des probabi- lités s’est étoffé et a pris une place de plus en plus importante dans les programmes.

Des approches différentes se sont succédées, avec une tendance récente à relier les domaines de la statistique et des probabilités. En ce qui concerne les probabilités à densité, nous remarquons que la loi normale est au programme entre 1966 et 1970, mais elle est ensuite retirée ce qui limite l’enseignement des probabilités à l’étude de lois discrètes. Il faut attendre 2002 pour que réapparaissent des lois à densité. Il s’agit alors de la loi uniforme sur [0; 1] et des lois exponentielles. Intéressons-nous maintenant aux programmes actuels.

1.2 Place actuelle des probabilités et de la statis- tique dans l’enseignement secondaire

Dans le cadre de la réforme des collèges de 2008 et celle des lycées, les années suivantes, nous retrouvons la statistique descriptive à partir de la classe de sixième jusqu’en terminale. La statistique inférentielle, avec les intervalles de fluctuation et de confiance, est maintenant au programme de la seconde à la terminale. Le début de l’enseignement des probabilités est quant à lui avancé à la classe de troisième.

Au collège, « seule la statistique exploratoire est abordée et l’aspect descriptif constitue l’essentiel de l’apprentissage» (MEN, 2008, p. 5) autour de « quelques no- tions fondamentales de statistique descriptive » (ibid., p. 10). Ensuite, en troisième, les élèves doivent « se familiariser avec les notions de chance et de probabilité » (ibid., p. 10). Il s’agit d’initier les élèves à la probabilité sur des exemples simples.

En seconde, ce sont les situations d’équiprobabilité qui sont privilégiées, suivies en première par des exemples de variables aléatoires suivant des lois binomiales (dans la filière scientifique, en particulier). Jusqu’en classe de terminale, seules les probabili- tés discrètes sur un ensemble fini sont au programme. En terminale scientifique (mais pas seulement), depuis la rentrée 2012, la partie sur les lois de probabilité à densité est une partie non négligeable du programme. Trois exemples sont abordés : les lois uniformes sur un intervalle [a;b], les lois exponentielles et les lois normales. Dans les différents niveaux, il est précisé que statistique et probabilités sont en relation étroite et qu’il est souhaité de faire des allers-retours entre ces deux domaines.

Nous pouvons repérer dans les programmes actuels, une forte augmentation de la place des probabilités et c’est notamment le cas pour les lois à densité. En 2002, cette partie représentait trois lignes du programme et maintenant trois pages. L’en- seignement des probabilités qui pouvait être « négligé » par certains enseignants auparavant ne peut actuellement plus l’être, vu son importance en ce qui concerne la proportion dans le programme (un huitième du programme de terminale S) et sa présence constante au baccalauréat.

1.3 Rappels mathématiques sur les probabilités et commentaires

Dans cette section, nous allons présenter des rappels théoriques sur les probabi- lités. Pour rester dans le cadre qui nous intéresse dans la thèse, nous n’allons pas présenter les notions dans le cadre de la théorie de Kolmogorov. Nous allons nous limiter à un niveau L2 (deuxième année d’université). Il ne s’agit pas ici de présen- ter un cours de probabilités, mais bien de s’appuyer sur les définitions et propriétés rigoureuses, dans un langage probabiliste, pour mettre en évidence les adaptations qui en sont faites en terminale S ou dans les classes antérieures. Nous ajouterons des compléments en langage naturel quand cela nous paraîtra nécessaire. Nous ne ferons pas de rappels en statistique bien que les lois normales, par exemple, puissent être utilisées dans ce domaine dans le programme de terminale. Nous rappelons que les intégrales sont étudiées pour la première fois par les élèves en classe de terminale.

Les rappels théoriques sont inspirés de plusieurs livres sur la théorie des proba- bilités (Jacob & Protter, 2003, Escoffier, 2010) et des notes de cours d’Alain Troesch (2007, 2012) disponibles sur internet.

1.3.1 Généralités

La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui fournit des modèles mathématiques pour décrire le « hasard » ou plus spécifiquement les phé- nomènes aléatoires.

a) Expérience aléatoire et univers

En probabilités, uneexpérience aléatoireest une expérience dont le résultat n’est pas connu d’avance et peut varier si l’on répète cette expérience. Le résultat de l’expérience dépend du « hasard ».

Définition. On appelleunivers un ensemble représentatif des résultats possibles de l’expérience aléatoire. Ses élémentsω sont aussi appelésissues. L’univers est souvent noté Ω.

Exemples. 1. Jeter une pièce de monnaie : Ω ={P;F}. 2. Lancer de dés : Ω ={1; 2; 3; 4; 5; 6}.

3. Durée de vie d’une ampoule : Ω =R⁺.

4. Mesure d’une longueurLavec une erreur de mesure.w∈Ω désigne le résultat de la mesure : Ω =R⁺. w−L∈Ω est l’erreur de la mesure : Ω =R.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Les premiers exemples simples d’expériences aléatoires sont étudiés en classe de troi- sième. Ils peuvent notamment être abordés en procédant à des expérimentations. La notion d’univers est explicitée en seconde. Les univers rencontrés sont des ensembles discrets finis jusqu’en première. C’est en terminale qu’apparaissent des univers sous forme d’intervalles. Cependant, ceci n’est pas nécessairement explicité avec ce voca- bulaire.

b) Événements

Définition. On dit que A est une tribu sur l’ensemble Ω si A est une famille de parties de Ω telle que :

– ∅∈ A,

– ∀A∈ A, A∈ A,

– ∀i∈I ⊂N, A_i ∈ A ⇒

i∈I

A_i ∈ A.

Définition. On appelle espace probabilisable un couple (Ω,A), où A est une tribu de Ω. Les éléments deA sont appelés événements.

Exemples. 1. Si Ω est fini ou dénombrable, on considère le plus souventA = P(Ω).

2. Si Ω = R, on ne considère jamais A = P(Ω). Généralement, on considère la tribu des boréliens B(R) (il s’agit de la tribu engendrée par l’ensemble des intervalles ouverts ]a;b[, avec a etb ∈R).

En pratique, on appelle aussi événement une propriété dont on peut dire si elle est vraie ou fausse, en fonction du résultat de l’expérience une fois réalisée. Un événement (propriété)Aest représenté, dans le modèle probabiliste, par l’évènement (partie de Ω) suivant :

A={w∈Ω|A est vraie lorsque w est l’issue de l’expérience}. Définition. On représente :

– un événement élémentaire par un singleton {w} ⊂Ω – l’événement certain par l’ensemble Ω,

– l’événement impossible par la partie ∅,

– l’événement contraire de l’événement A (non A) par la partie A= Ω\A, – la disjonction des événements A etB (A ou B) par la partieA∪B, – la conjonction des événementsA et B (A et B) par la partie A∩B.

On dit que les événementsA et B sont incompatibles si A∩B =∅. Adaptation dans l’enseignement secondaire

La notion d’événement est rencontrée à partir de la classe de seconde. On trouve en particulier les définitions d’événement certain, contraire... Cependant, la notion d’événement est traitée au lycée sous forme d’exemples sans être rigoureusement définie. Cela est la même chose sur la plupart des notions qui vont suivre. En effet, la définition d’événement que nous avons donnée nécessiterait un niveau d’abstraction trop élevé pour les élèves de lycée.

c) Probabilité

Définition. Étant donné un espace probabilisable (Ω,A), on appelleprobabilité sur (Ω,A) toute application P :A →R telle que :

– ∀A∈ A, P(A)0, – P(Ω) = 1,

– pour toute famille dénombrable (A_n)_n∈N d’événements deux à deux incompa- tibles, on a : P(

n∈N

A_n) =

n0

P(A_n) (propriété de σ-additivité).

En théorie de la mesure, on dit que P est une mesure positive finie, de masse totale égale à 1.

Définition. On appelle le triplet (Ω,A, P) un espace probabilisé.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

La probabilité n’est pas définie comme une application dans l’enseignement secon- daire. On parle plutôt de probabilité pour désigner l’image d’un événement par cette application, sans que cela soit explicité en ces termes. En revanche, les différentes propriétés sont utilisées par les élèves dès la classe de troisième (sur des ensembles finis), avec une restriction à la propriété d’additivité.

Définition. Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé et soit A etB deux éléments ap- partenant à A.

On dit que les événementsA et B sont indépendants si P(A∩B) =P(A)P(B).

Définition. Soit (Ω,A, P) un espace probabilisé et soit A etB deux éléments ap- partenant àA. SiP(B)= 0, on définit laprobabilité conditionnelle de A sachant B, notéeP_B(A), par la relation :

P_B(A) = P(A∩B) P(B) .

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Les notions d’indépendance et de probabilités conditionnelles sont étudiées en classe de terminale S, avant le cours sur les lois de probabilité à densité.

d) Variable aléatoire

Définition. On appelle variable aléatoire réelle sur (Ω,A) toute application X : Ω → R

telle que

∀B ∈ B(R), X⁻¹(B)∈ A.

Exemple. Jet de deux dés. Ω = 1; 6². On peut considérer la variable aléatoire représentant la somme des deux dés :

X :w= (a;b)→a+b.

Définition. On appelle loi de probabilité (ou distribution de probabilité) d’une va- riable aléatoire réelleX, définie sur un espace probabilisé (Ω,A, P), l’application :

μ : B(R) → [0; 1]

B → P(X⁻¹(B)).

Remarque. X⁻¹(B) = {w ∈ Ω|X(w) ∈ B}. On note souvent cet événement

«X ∈ B » (par abus d’écriture).

Proposition. L’application μ ainsi définie est une probabilité sur l’espace probabi- lisable(R,B(R)). Elle est appelée probabilité image de P par X. On la note souvent P_X.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Dès la classe de troisième, les élèves rencontrent des exemples de variables aléatoires.

Elles restent cependant implicites. Le vocabulaire apparaît en seconde mais les pro- grammes précisent qu’aucune théorie ne doit être faite sur les variables aléatoires.

Des variables aléatoires sont donc étudiées mais jamais explicitement définies. Il s’agit d’une application

X : Ω → R

w → X(w).

Mais cette « définition » non plus n’est pas donnée. Il est clair que définir rigoureu- sement cette notion nécessite des concepts hors de portée des élèves (tribu, applica- tion réciproque...). Cela ne les empêche pas pour autant de s’intéresser aux lois que peuvent suivre les différentes variables aléatoires qu’ils rencontrent. Nous verrons plus loin comment définir les lois de probabilités discrètes et continues.

e) Fonction de répartition

Définition. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω,A, P) . On appellefonction de répartition de X l’application :

F : R → [0; 1]

x → P(X x).

Proposition. Toute fonction de répartition possède les propriétés suivantes : 1. F est croissante.

2. lim

x→−∞F(x) = 0 et lim

x→+∞F(x) = 1.

3. F est continue à droite en tout point x de R. 4. F a une limite à gauche en tout point x de R et

∀x∈R, F(x)− lim

t→x⁻F(t) =P(X =x).

Théorème. Toute fonction F :R→[0; 1] telle que : – F est croissante,

– lim

x→−∞F(x) = 0 et lim

x→+∞F(x) = 1,

– F est continue à droite en tout point x de R,

est la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelleX.

Proposition. La donnée de F caractérise la loi de probabilité μ.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

La fonction de répartition n’est pas une notion abordée au lycée. Elle n’est effecti- vement pas indispensable pour définir les différentes lois rencontrées au programme.

Cette fonction apparaît tout de même implicitement en terminale S, notamment dans différentes démonstrations de cours.

1.3.2 Probabilités discrètes

a) Généralités

Définition. Une variable aléatoire réelle X est dite discrète si X(Ω) est finie ou dénombrable.

Définition. Pour une variable aléatoire discrèteX, donner la loi de X c’est donner X(Ω) et la valeur P(X =x_i), pour tout x_i ∈X(Ω).

Soit I ⊂ N. Soit X une variable aléatoire réelle discrète prenant les valeurs distinctes x_i (i∈I).

Définition. On définit l’espérance E(X) par : E(X) =

i∈I

x_iP(X =x_i).

L’espérance est une estimation du comportement moyen observé du caractère représenté parX.

Définition. On définit la variance V(X) par : V(X) =E((X−E(X))²).

On a donc :V(X) =

i∈I

(x_i−E(X))²P(X =x_i).

La variance décrit la dispersion du caractère représenté par X.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Les définitions et les propriétés de l’espérance et de la variance de lois de probabilités discrètes sont travaillées en classe de première S.

b) Lois discrètes usuelles Loi uniforme discrète

Définition. Soit n ∈ N. Une variable aléatoire réelle X suit une loi uniforme sur 1;n si :X(Ω) =1;n et

P(X =k) = 1

n, k ∈1;n.

Exemple. Le résultat d’un dé équilibré suit une loi uniforme sur 1; 6.

Proposition. Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur 1;n. Alors E(X) = n+ 1

2 et V(X) = n²−1 12 . Loi de Bernoulli

Définition. Soit X une variable aléatoire réelle et p ∈]0; 1[. X suit une loi de Bernoulli de paramètre psi :X(Ω) ={0; 1}etP(X = 1) =petP(X = 0) = 1−p.

Remarque. La loi de Bernoulli décrit une expérience aléatoire à deux issues : succès (de probabilité p) et échec (de probabilité 1−p).

Exemple. Le résultat du lancer d’une pièce (Pile ou Face) équilibrée suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.

Proposition. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de para- mètre p, notée B(1, p). Alors E(X) =p et V(X) = p(1−p).

Loi binomiale

Soitn∈N^∗. On répètenfois une expérience de Bernoulli et on noteX le nombre de succès obtenus.

Définition. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notéeB(n, p), c’est-à-dire que X(Ω) =0;n et

P(X =k) =

n k

p^k(1−p)^n−k, k ∈0;n.

Proposition. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de binomiale B(n, p).

Alors E(X) =np et V(X) = np(1−p).

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Ces trois lois sont rencontrées au lycée. Les lois de Bernoulli et binomiales sont travaillées à partir de la classe de première et reprises en terminale.

1.3.3 Probabilités à densité

a) Généralités

Définition. Une variable aléatoire réelle X est dite continue si X(Ω) est un inter- valle deR.

Définition. X est une variable aléatoire. On dit que X admet une fonction de densitéf si sa fonction de répartition est continue et peut s’écrire sous la forme :

F(x) =

_x

−∞f(t) dt, x∈R,

avecf une fonction positive, qui possède un nombre fini de points de discontinuité et telle que

_+∞

−∞ f(t) dt = 1.

Toutes les variables aléatoires continues n’admettent pas de fonction de den- sité. Une variable aléatoire continue peut posséder une fonction de répartition non dérivable presque partout. Les variables aléatoires discrètes possèdent une fonction de répartition qui n’est pas continue surR, donc ne peuvent pas admettre de densité.

On suppose maintenant que la variable X admet une fonction de densitéf. Proposition. En tout point x₀ où f est continue, sa fonction de répartition F est dérivable etF(x0) = f(x0).

Proposition. – Sa fonction de répartition F est la primitive def qui tend vers 0 en −∞.

– Si f est continue, la dérivée de la fonction de répartition F est la fonction f elle-même.

Dans le cas d’une variable aléatoire à densité,F est continue mais f ne l’est pas nécessairement : elle peut posséder des points de discontinuité. Pour cette raison,f n’est pas unique.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

En terminale S, les variables aléatoires continues étudiées admettent toutes une fonc- tion de densité. Les différentes lois de probabilité considérées sont définies par leur fonction de densité et non par leur fonction de répartition. Cela s’explique notam- ment par le fait que les intégrales impropres ne sont pas au programme en calcul intégral. Les fonctions de densité rencontrées sont continues surX(Ω) (qui n’est pas toujoursR).

Proposition. SoitX une variable aléatoire de fonction de répartitionF, admettant f pour densité. Alors pour tout a et b réels tels que ab,

P(aX b) =

_b

a

f(t) dt.

Pour tout x réel, P(X =a) = 0.

Remarque. Il s’agit de la relation sémiotique (∗) qui nous intéresse tout particu- lièrement.

Définition. SoitX une variable aléatoire réelle à densité. Sous réserve d’existence, on définit l’espérance E(X) par :

E(X) =

_+∞

−∞ tf(t) dt.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Cette définition ne peut être donnée comme telle en terminale S du fait que les intégrales impropres ne sont pas au programme. L’espérance est définie au cas par cas pour les différentes lois étudiées. Par exemple, dans le cas d’une variable aléatoire à valeurs sur R, comme pour la loi normale centrée réduite par exemple (cf. plus loin), on ne considère pas E(X) =

_+∞

−∞ tf(t) dt mais E(X) = lim

x→−∞

₀

x

tf(t) dt+ lim

y→+∞

_y

0

tf(t) dt.

C’est le moyen proposé dans le programme pour contourner le problème de l’exis- tence de ce type d’intégrale.

Définition. SoitX une variable aléatoire réelle à densité. Sous réserve d’existence, on définit la variance V(X) par :

V(X) =E((X−E(X))²) =

_+∞

−∞ (t−E(X))²f(t) dt.

Adaptation dans l’enseignement secondaire

Le calcul de la variance des variables aléatoires à densité considérées en terminale S n’est pas un attendu du programme. Il est seulement mentionné que l’«on admet que la variance [d’une loi normale centrée réduite], définie par E((X−E(X))²), vaut 1 ». On peut remarquer que (X−E(X))² est bien une variable aléatoire, cependant il n’y a pas de raison qu’elle suive une loi uniforme, exponentielle ou normale, qui sont les trois seuls cas pour lesquels est définie l’espérance dans le programme.

b) Lois à densité usuelles Loi uniforme sur [a;b]

Proposition. Soit a < b et f la fonction définie sur R par : f(x) =

⎧⎪

⎨

⎪⎩

1

b−a si x∈[a;b],

0 sinon.

Alors f est une densité de probabilité.

Définition. Si X est une variable aléatoire dont f est une densité, on dit que X suit une loi uniforme sur [a;b], notéeU[a;b].

Figure 1.1 – Fonction de densité associée à la loi uniforme sur [a;b]

Exemple. Choisir un nombre réel au hasard entre 0 et 1 peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur [0; 1].

Proposition. SoitX une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur[a;b]. Alors pour tous réels c et d∈[a;b] tels que c < d, P(cX d) = d−c

b−a.

Proposition. SoitX une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur[a;b]. Alors X admet une espérance : E(X) = a+b

2 .

Proposition. X admet une variance : V(X) = (b−a)² 12 . Adaptation dans l’enseignement secondaire

En terminale S, la fonction de densité de la loi uniforme est définie sur [a;b] (dans ce cas, la fonction f est continue sur son ensemble de définition). Le calcul de l’espérance fait partie des démonstrations exigibles au baccalauréat. La variance n’est quant à elle pas au programme.