activités d’introduction de la notion de fonction de densité
5.2 Analyse des activités d’introduction de la no- no-tion de foncno-tion de densité dans les manuelsno-tion de foncno-tion de densité dans les manuels
5.2.1 Avant de commencer
Dans tous les manuels, le chapitre sur le calcul intégral est toujours proposé en amont de celui sur les probabilités à densité. Cela ne veut, à première vue, rien dire car les manuels font le choix d’ordonner leurs chapitres par domaines du programme et non pas comme une progression envisageable. Cependant, dans tous les manuels qui explicitent les prérequis pour aborder le chapitre des lois à densité, il est fait référence au calcul intégral.
Nous pouvons le voir par exemple dans les manuels Hyperbole etTransmath (cf. figures 5.1 et 5.2).
Figure 5.1 – Extrait de la partie Vérifier les acquis du chapitre Notion de loi à densité du manuel Hyperbole (p. 376)
Figure 5.2 – Extrait de la partieRappels du chapitre Lois de probabilités à densité du manuel Transmath (p. 377)
Les sous-domainesCalcul intégral etProbabilités à densitésont donc deux parties du programme bien séparées, dont le premier est clairement un prérequis pour le second.
Passons maintenant aux chapitres relatifs aux probabilités à densité. Comme nous l’avons laissé entendre dans l’introduction de ce chapitre, dans tous les ma-nuels de terminale S, le début du cours sur les lois à densité propose une partie de généralités, non limitée aux trois lois au programme. Cette partie peut être plus ou moins longue suivant les manuels.
En annexe E.1 se trouve la partie générale des débuts de cours de chaque manuel. Ces généralités peuvent se limiter à la simple définition de la fonction de densité et parfois s’étendre aux propriétés sur les probabilités, ainsi qu’à la définition de l’espérance.
Cependant, des choix de formulation et/ou de restriction apparaissent dans les définitions choisies. Certains manuels définissent la fonction de densité seulement dans le cas borné et ensuite, seulement en temps voulu, précisent que la définition peut être étendue au cas non borné. C’est le cas du manuel Déclic (cf. figure 5.3).
Figure 5.3 – Extrait du cours du manuel Déclic (p. 366)
Ce choix est sans doute fait dans un souci de simplicité de formulation. Certains autres manuels, dans un souci de rigueur sûrement, précisent les différents cas de figure, comme le manuelSymbole qui utilise la formulation du programme ou encore les manuelsHyperbole (cf. figure 5.4) etRepères qui utilisent l’intégrale mais parlent bien du cas borné et du cas borné à gauche (mais pas du cas non borné).
Figure 5.4 – Extrait du cours du manuelHyperbole (p. 378)
Le fait de parler en termes d’aire plutôt que d’intégrale permet d’alléger les formulations. C’est souvent le choix qui est fait.
En revanche, dans aucun cours des manuels, il n’est fait référence au fait que ces intégrales « impropres » existent bien, et sont finies, et qu’il est effectivement possible que l’aire d’un domaine infini soit égale à 1. On peut alors se demander s’il y est fait référence à un autre endroit. Dans le chapitre sur les lois à densité, des calculs de limites d’intégrales sont faits, pour l’espérance notamment, sans être questionné. On peut mentionner le manuelSymbole qui écrit tout de même dans le cours que les définitions de l’espérance ne valent que si les limites existent. Dans le chapitre dédié au calcul intégral, on peut repérer comme dans le baccalauréat, quelques exercices sur la limite d’une suite d’intégrales de typeIn=
n
a
f (qui correspond à l’aire d’un domaine infini) mais vraiment peu (de 0 à 2 par manuel) et ils ne sont pas toujours interprétés en termes d’aires.
Les propriétés de la fonction de densité qui reviennent le plus souvent dans les manuels (6 cas sur 8), à quelques formulations près, sont les suivantes :
f est une fonction de densité associée à une variable aléatoire à valeurs sur I si : 1. f est définie et continue sur I,
2. f est positive surI,
3. l’aire sous la courbe def sur l’intervalle I vaut 1.
Les manuelsSymbole et Déclic sont les seuls à ne pas mettre la continuité de la fonction de densité dans les propriétés. Cependant, pour le manuelDéclic (cf. figure 5.3), il est mentionné que l’intégrale sur [a;b] est égale à 1, or une intégrale n’a été définie en calcul intégral seulement dans le cas d’une fonction continue, donc cette propriété est sous-entendue (pour les auteurs). Le manuel Odyssée, lui, demande la continuité sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points. Ces deux ma-nuels proposent des exemples de fonctions de densité avec un point de non continuité. Ici nous pouvons donc entrevoir une prise de position des manuels quant au degré de généralité qu’ils souhaitent proposer dans ce chapitre. Bien que les trois lois soient les lois majoritairement traitées, le travail n’est tout de même pas limité à
cela. Elles ne sont pas vues dans les manuels comme des études de cas mais comme des exemples particuliers de lois, ce qui est différent. On part ici du général pour nous intéresser ensuite à trois cas particuliers.
Le manuel Odyssée peut paraître quelque peu hors programme avec tout un paragraphe de cours dédié à la fonction de répartition. On voit dans ce manuel une volonté de présenter des résultats généraux sur les lois à densité pour ensuite les utiliser sur les trois exemples. La partie de « généralités » sur les probabilités à densité est composé de cinq pages contre entre une demi-page et une page dans les autres manuels.