activités d’introduction de la notion de fonction de densité
5.2 Analyse des activités d’introduction de la no- no-tion de foncno-tion de densité dans les manuelsno-tion de foncno-tion de densité dans les manuels
5.2.2 Introduction de la notion de fonction de densité : les différentes approches rencontrées dans les manuelsdifférentes approches rencontrées dans les manuels
Mis à part dans le manuelOdyssée, qui ne propose pas d’activité pour introduire la notion de densité et définit directement la fonction de densité dans le cours, les sept autres manuels offrent au moins une activité introductive. Dans ces activités d’introduction, cinq (voire six) manuels présentent des courbes de densité qui ne sont pas l’une des trois au programme.
L’introduction de la fonction de densité n’est pas traitée de la même manière dans tous. Nous distinguons quatre approches différentes :
– Un manuel ne propose aucune activité d’introduction et impose la définition directement sans poser le problème.
– Un autre manuel utilise un exemple avec des cibles de tir de fléchettes. – Un troisième manuel propose d’utiliser le polygone des fréquences cumulées,
pour introduire dans un premier temps la fonction de répartition, et ensuite l’histogramme de fréquences, en le considérant comme la « dérivée » du poly-gone des fréquences cumulées, pour introduire la fonction de densité.
– Les cinq autres manuels ont une approche commune, basée sur l’histogramme de fréquences avec des classes de même amplitude approché par une courbe. On peut retrouver ces différentes approches en fonction des manuels dans le tableau 5.2.
Type Sans activité Jeu de Via le polygone des Via d’approche d’introduction fléchettes fréquences cumulées l’histogramme
Hyperbole Indice
Manuels Odyssée Déclic Symbole Math’x
Repères Transmath
Nombre 1 1 1 5
Table5.2 – Les différentes approches de la notion de fonction de densité dans les manuels de terminale S
a) La fonction de densité : un objet imposé
Le manuelOdyssée ne propose pas d’activité introductive pour la notion de fonc-tion de densité et passe directement à la partieCours (cf. Annexe E.1.5). Après avoir défini une variable aléatoire continue et rappelé comment définir une loi de probabi-lité discrète, les auteurs écrivent directement : «Dans le cas d’une variable aléatoire continue, on a recours à une fonction définie sur R appelée densité » (p. 395). Cette fonction est imposée. Ceci est assumé car aucune tentative d’explication n’est donnée dans le manuel.
b) Le jeu de fléchettes
L’activité 1 page 364 (cf. figure 5.5), proposée par le manuel Déclic, utilise un exemple de jeu de fléchettes.
Figure 5.5 – Activité 1 p. 364 (Déclic)
On considère une expérience aléatoire qui est le lancer d’une fléchette sur une cible particulière, constituée d’une partie du plan euclidien d’aire 1 comprise entre une courbe et l’axe des abscisses. On suppose que la fléchette atteint toujours la cible et, bien que cela ne soit pas mentionné, que toutes les positions sur cette cible sont équiprobables (c’est d’ailleurs cela qui va servir ensuite). On introduit alors implicitement la variable aléatoire qui correspond à l’abscisse, comprise entre 0 et 1, de la position de la fléchette lors d’un tir sur la cible. Trois cibles différentes sont successivement envisagées.
On demande ensuite la probabilité d’événements de la forme {x ∈ J}, avec J
inclus dans [0; 1]. Implicitement, comme nous l’avons précisé au-dessus, la position de la fléchette suit une loi uniforme sur l’ensemble des points de la cible, ce qui implique
que la loi de son abscisse va dépendre de la forme de la cible. Cetteactivité conduit le manuel à introduire la notion de fonction de densité comme étant la fonction représentée par la courbe rouge et à conclure que «la fonction dont la courbe est le bord supérieur de la cible est appelée densité de probabilité de la loi ainsi définie sur [0; 1] » (p. 364). Nous sommes bien d’accord que, pour cette variable aléatoire, le bord de la cible « représente » bien la fonction de densité associée. Cependant, cette démarche n’est pas satisfaisante pour une variable aléatoire autre que celle-ci. Et donc, comment dans d’autres cas, définir la fonction de densité ? Cette idée de bord de cible, très contextualisée, ne permet pas de s’approprier cette notion de fonction de densité car toute variable aléatoire ne peut pas se voir comme l’abscisse d’une fléchette lors d’un lancer de fléchette sur une cible. On peut aussi se demander s’il est nécessaire que l’aire de la surface sous la courbe soit égale à 1.
c) Une introduction via le polygone des fréquences cumulées
Le manuelSymbole, dans l’activité2 pp. 386-387 (cf. Annexe E.2.1), a fait le choix de partir de la statistique descriptive, mais d’introduire un polygone de fréquences cumulées croissantes (cf. figure 5.6).
Figure 5.6 – Polygone des fréquences cumulées croissantes de l’Activité 2 p. 386-387 (Symbole)
À partir des fréquences cumulées croissantes Fk, il est défini la densité dk, pour chaque classek, par le quotient de la fréquence (cumulée croissante) de la classe par son amplitude. Il s’agit de la « dérivée » de la fonction représentée par la courbe des fréquences cumulées croissantes. Comme le précise l’objectif de cetteactivité, il s’agit ici de «découvrir la fonction de densité et la fonction de répartition dans le cas d’une variable aléatoire non discrète ». Le polygone des fréquences cumulées croissantes et donc la fonction de répartition sont ici les moyens d’introduire l’histogramme et par la même occasion la fonction de densité.
Cependant, la fonction de répartition n’étant pas un attendu du programme, il ne nous semble pas judicieux de passer par le polygone de fréquences pour amener l’histogramme. De plus, la notion de polygone des fréquences cumulées ajoute une difficulté pour les élèves, qui n’est pas nécessaire pour l’introduction de la fonction de densité.
Cette activité, en revanche, a le mérite de définir la densité d’une classe et donc d’essayer de donner du sens au terme « densité » (il en est de même dans lesactivités suivantes du manuel centrées sur la loi uniforme, puis la loi exponentielle), ce qui
n’est pas le cas dans les autres manuels.
Les trois introductions que nous venons de décrire succinctement présentent des inconvénients et ne nous semblent pas les plus adaptées pour l’introduction de la notion de densité. C’est la raison pour laquelle nous allons maintenant nous attarder plus longuement sur les cinq autres manuels, ayant tous proposés une ou deux acti-vitésd’introduction mettant en jeu un histogramme (sans le polygone des fréquences cumulées).