Mise en évidence de différents niveaux de calculs d’aires

Dans les manuels, le choix est fait de ne pas se cantonner à l’étude des trois lois au programme, mais de commencer par une partie plus générale. Excepté le manuel Math’x, tous les autres proposent des tâches en début de chapitre (sur les lois à densité) avec des fonctions de densité différentes des trois au programme. La figure 5.26 est un exemple des tâches que l’on peut trouver. Nous tenons tout de même à préciser que ces tâches sont peu nombreuses et que très vite, les exercices proposés se focalisent sur les lois uniformes, exponentielles et normales.

Figure 5.26 – Exercice résolu 1 p. 379 du manuel Hyperbole

Les différentes fonctions de densité rencontrées sont toujours définies sur un intervalle borné, jamais sur un intervalle non borné. Les tâches proposées demandent des calculs d’aires sous une courbe, comme l’on peut retrouver en calcul intégral. En regardant de plus près, il apparait que les différents calculs d’aires qui apparaissent sont similaires à ceux rencontrés en calcul intégral.

Nous pouvons classer les calculs d’aires en trois niveaux :

– Les calculs d’aires élémentaires (niveau A1). Ces types d’exemples peuvent être repérés au tout début du chapitre sur le calcul intégral avec l’intégrale de fonctions affines par morceaux où il s’agit alors de calculer des aires de figures élémentaires (rectangles, triangles, trapèzes).

– Les calculs d’aires par « primitivation » (niveau A2). Il s’agit des exemples où la connaissance des primitives est indispensable, pour déterminer l’intégrale (ou l’aire).

– Les calculs approchés d’aires (niveau A3). Il s’agit des calculs approchés d’aires, dans les cas où aucune primitive n’est connue (tout du moins au moment de la résolution de l’exercice).

Niveau

A1 Calcul d’aires élémentaires A2 Calcul d’aires par « primitivation » A3 Calcul approché d’aires

Table 5.9 – Les trois niveaux de calcul d’aire

Bien entendu les tâches relevant des probabilités à densité et celles du calcul intégral ne sont pas identiques. Les tâches sont données dans des registres différents : le registre symbolique probabiliste pour les probabilités et le registre symbolique de l’intégrale pour le calcul intégral. Cependant, après une adaptation, qui est d’opérer un changement de domaine des probabilités à l’analyse accompagné d’un changement de registres, les activités attendues pourraienta priori être les mêmes.

La question est alors : restent-elles vraiment les mêmes ? Le changement de domaines n’est pas à négliger, mais ces tâches ont, à première vue, un potentiel pour relier effectivement les deux sous-domaines. Pour avoir une idée des activités attendues, nous nous sommes attardée sur les exercices corrigés des manuels.

5.3.2 Le niveau A1

Nous rappelons que le niveau A1 désigne des calculs d’aires élémentaires, où seules les formules d’aires telles que celles du triangle, du rectangle ou du trapèze sont nécessaires. Pour illustrer, nous proposons ici deux exemples, un premier extrait du chapitre sur le calcul intégral (cf. figure 5.27), l’autre du chapitre sur les lois à densité (cf. figure 5.28), du manuel Hyperbole. À travers ces exercices corrigés, proposant des études avec des lois autres que celles du programme, on peut effectivement voir que les activités attendues des élèves, après un changement de domaines, sont bien les mêmes en probabilités à densité et en calcul intégral : il s’agit, comme il est écrit dans l’encadré de la figure 5.27, d’utiliser les formules classiques de calcul d’aire (de rectangles, triangles...).

Figure 5.28 – Exercice résolu 1 p. 379 du manuel Hyperbole

Bien entendu les registres utilisés dans un domaine ou dans l’autre ne sont pas les mêmes au départ, cependant les techniques à utiliser ensuite sont identiques. D’un côté, il s’agit du registre symbolique probabiliste, de l’autre, du registre symbolique de l’intégrale, mais dans tous les cas, nous sommes ramenés à un calcul d’aires élé-mentaires.

Dans ce niveau, nous retrouvons aussi le cas particulier des lois uniformes. Dans ce cas, il s’agit alors du calcul d’aires de rectangles. Suivant les manuels, on peut cependant trouver des méthodes différentes pour déterminer les probabilités :

– Soit, effectivement, par le calcul d’aire de rectangles (figure 5.29),

– Soit en calculant une intégrale par « primitivation » (figure 5.30).

Figure 5.30 – Exercice résolu 1 p. 403 du manuel Math’x

– Soit, encore, en appliquant directement la formule du cours ^d−c

b−a (figure 5.31).

Figure 5.31 – Exercice résolu 7 p. 381 du manuel Hyperbole

La deuxième méthode relève du niveau A2. Cependant, ce basculement vers le niveau A2 se retrouve aussi dans le chapitre sur le calcul intégral, une fois que les primitives sont connues. La dernière démarche quant à elle ne se retrouve pas en calcul intégral, car, justement dans ce chapitre c’est la démarche pour arriver au résultat qui importe et non le résultat. D’ailleurs, ce n’est jamais exactement les mêmes fonctions qui sont à intégrer donc aucune formule de ce type n’est connue.

5.3.3 Le niveau A2

Les calculs d’aires de niveau A2 correspondent aux calculs d’aires (et d’intégrales) par « primitivation ». Nous présentons ici deux exemples, le premier (à gauche) issu du chapitre sur les lois à densité et le second (à droite) issu du chapitre sur le calcul intégral du manuel Repères (cf. figure 5.32).

Figure 5.32 – Application p. 337 (calcul intégral) et Application p. 175 (lois à densité) du manuelRepères

Dans les deux, nous retrouvons le même type de démarche.

Dans la figure 5.32, la méthode encadrée précise que pour montrer qu’une fonc-tion est une foncfonc-tion de densité, il faut calculer une intégrale. Cela illustre bien la connexion entre les deux sous-domaines.

Pour les lois exponentielles aussi, nous sommes dans le cas où nous avons be-soin de primitives pour déterminer les probabilités. Deux méthodes seulement sont envisageables dans ce cas :

– Le calcul de l’intégrale par « primitivation » (cf. figure 5.33) :

Figure 5.33 – Exercice résolu 3 p. 405 du manuel Math’x – L’utilisation directe de la formule du cours (cf. figure 5.34) :

Figure 5.34 – Savoir-faire 3 p. 327 du manuel Indice

La loi exponentielle a, cependant, la particularité (par rapport aux autres fonc-tions rencontrées en calcul intégral ou aux autres exemples de foncfonc-tions de densité du niveau A2) d’être définie sur un intervalle non borné. À ce sujet, nous pouvons dire que, comme pour le baccalauréat, nous retrouvons quelques exercices sur des calculs de limites de fonctions ou de suites définies par une intégrale. Cependant, le fait qu’il est possible d’avoir une aire finie d’un domaine infini est peu questionné. Le manuelMath’x dans la partie Travaux pratiques p. 244 (cf. figure 5.35) du chapitre sur le calcul intégral est l’un des rares manuels à essayer de mettre en avant cette spécificité. Ce TP a pour objectif de «rencontrer des calculs et des raisonnements sur les aires qui seront utilisés en probabilités ».

Figure 5.35 – Partie A du TP1 p. 244 du manuel Math’x

5.3.4 Le niveau A3

Le niveau A3, rappelons-le, se rapporte aux calculs approchés d’aires, qui sont présents dans le cas où aucune primitive explicite n’est connue (des élèves tout du moins) et donc aucun calcul exact n’est possible. Nous pouvons tout de même remarquer que même si les primitives sont connues, un calcul approché, par les méthodes que nous allons expliciter, reste tout de même possible.

En probabilités, le seul exemple présent dans les manuels relevant de ce niveau est celui des lois normales. Nous sommes bien dans le cas où nous ne connaissons pas de primitives explicites bien qu’elles existent. Nous voyons l’intérêt (conformé-ment au programme) de parler, dans le chapitre sur le calcul intégral, de l’existence

de fonctions continues qui admettent des primitives mais que l’on ne connait pas explicitement (en réalité, fait que dans deux manuels).

Dans le cas de la loi normale, la technique préconisée pour déterminer des proba-bilités associées est l’utilisation de la calculatrice ou de logiciels, comme le présente clairement le manuelMath’x (cf. figure 5.36).

Figure 5.36 – Exercice résolu 5 p. 407 du manuel Math’x

Dans le chapitre dédié au calcul intégral, il est aussi possible d’utiliser des logiciels ou la calculatrice pour calculer des aires du niveau A3, mais ce ne sont pas les mêmes commandes qui sont utilisées (cf. figure 5.37).

Figure 5.37 – Exercice résolu 7 p. 237 du manuel Math’x

Mis à part la calculatrice ou autre logiciel, la méthode la plus souvent utilisée en calcul intégral est la méthode des rectangles, et exceptionnellement la méthode des trapèzes.

On voit ici une rupture entre probabilités à densité et calcul intégral, dans les activités à mettre en œuvre dans le niveau A3. Cependant, pour nuancer cela, nous pouvons trouver dans différents manuels des tâches, en calcul intégral, sur la fonction

x → e⁻ x2

2 . Par exemple, dans le manuel Math’x dans le même TP que cité au-dessus, la fonctionx→e⁻

x2

de déterminer que lim t→+∞ _t O e⁻ −x2 2 dx = π

2 ^{et de calculer des aires en jouant sur} les symétries de la courbe (cf. Annexe E.3). Ici, nous pouvons voir un vrai travail pour créer du lien entre calcul intégral et probabilités à densité sur lequel le manuel pourrait s’appuyer lors du chapitre dédié aux lois à densité. Cependant, ce retour n’est pas fait dans le manuel. Cet exemple de tâche avec pour objectif explicite de rencontrer des notions qui serviront en probabilités à densité est une exception dans les manuels.

Nous remarquons que le calcul approché d’aire (niveau A3) n’est pas traité de la même manière dans les deux sous-domaines. Nous pouvons même voir ici que les outils technologiques à utiliser, tels que la calculatrice ou les logiciels, peuvent être les mêmes mais avec des commandes différentes s’il s’agit de probabilités ou d’analyse. Nous avons, dans la figure 5.38, représenté trois façons d’obtenir l’aire avec le logiciel GeoGebra. Les TICE, dans ce cas, sont responsables d’une rupture entre les deux sous-domaines.

Figure 5.38 – Trois commandes pour calculer une probabilité ou une intégrale avec GeoGebra

5.3.5 Récapitulatif

Pour conclure cette section, cette étude a laissé apparaître trois niveaux différents de calculs d’aires qui se retrouvent dans les deux sous-domaines. La figure 5.39 rappelle les trois niveaux ainsi que la loi de probabilité associée à chaque d’eux. Chaque niveau se rattache à une des trois lois au programme.

Figure 5.39 – Les trois niveaux de calculs d’aires en calcul intégral et en probabilités à densité

Dans le tableau 5.10, nous avons, pour chaque niveau, précisé les types de fonc-tions en jeu. Ensuite, nous avons rappelé les différents méthodes de calcul d’intégrale ou de probabilité (suivant le sous-domaine) possibles mises en évidence dans les sec-tions précédentes. Cela nous a permis de repérer les articulasec-tions ou les ruptures existantes entre probabilités à densité et calcul intégral.

Nous pouvons remarquer que des articulations existent dans les niveaux A1 et A2, tandis qu’une rupture claire est présente dans le niveau A3.

Pour les lois uniformes et exponentielles, on peut retrouver les mêmes activités attendues des élèves (après adaptation : changement de domaines) qu’en calcul inté-gral, mais d’autres activités sont aussi possibles telles que l’application directe d’une formule, s’agissant toujours du même calcul.

Pour les lois normales, l’activité attendue en majorité est l’utilisation de la cal-culatrice. Cette activité est différente de celle attendue en calcul intégral, lorsqu’il s’agit de déterminer l’intégrale d’une fonction dont l’on ne connait pas de primitive.

Niveau Type de fonctions

CI - Calcul d’in-tégrales (de fonc-tions positives) PaD - Calcul de probabilités A1 Affines par morceaux Application des formules d’aires Application des formules d’aires Articulation Passage par le

ni-veau A2

Passage par le ni-veau A2 Articulation Application de la formule : P(cXd) = d−c b−a (dans le cas de la loi uniforme) Rupture A2 Fonctions de référence ou com-posées de fonction de référence Application du théorème fondamental de l’analyse F(b)−F(a) Application du théorème fondamental de l’analyse F(b)−F(a) Articulation Application de la formule : P(aXb) =e^−λa−e^−λb (dans le cas de la loi exponentielle) Rupture A3 Fonctions dont les élèves ne connaissent pas de primitives

Méthode des rec-tangles Rupture Calculatrice ou logiciels (pour le calcul intégral) Rupture Calculatrice ou logiciel (pour la loi normale) Rupture

5.4 Un point de vue sur les choix des enseignants