Vortex ou uctuations de densité ?

Les arguments avancés plus haut peuvent être justiés de façon plus quantitative en s'ap-puyant sur des simulations numériques. Nous verrons que les ordres de grandeur fournis pré-cédemment pour la taille des vortex in situ et après expansion libre sont corrects. De plus, en comparant l'évolution de vortex avec celle de simples trous de densité pendant une expansion nous verrons que l'hypothèse des vortex est tout à fait raisonnable.

Taille d'un vortex in situ

Nous nous intéressons dans un premier temps à la taille prévue d'un vortex in situ que nous attendons pour nos paramètres expérimentaux. Pour répondre à cette question, nous déterminons l'état fondamental d'un gaz 2D en interaction en résolvant numériquement l'équation de Gross Pitaevskii dépendant du temps6. Nous considérons un ensemble de N particules de masse m évoluant dans un piège harmonique bi-dimensionnel7. Le potentiel est pris isotrope de pulsation ω et le vortex placé au centre du piège pour simplier. L'existence d'un vortex est assurée par une contrainte sur la phase du système qui varie continûment de 0 à 2π autour de l'origine du repère. Pour une fonction d'onde ψ(r) normalisée, l'équation de GrossPitaevskii dépendant du temps s'écrit alors :

i~^∂ψ ∂t ⁼  −^~ 2 2m4 + ¹₂mω²r²+ gN|ψ|²  ψ , (6.2) où g = ~²

mg˜est le paramètre de couplage. An d'étudier la dépendance de la taille du vortex avec la densité8, nous varions le paramètre gN (ce qui revient à varier la densité centrale du nuage simulé à g xé). En ce qui nous concerne, nous nous intéressons à deux valeurs de ce paramètre : gN = v_max et gN = vmin (9), qui correspondent respectivement à la densité spatiale n(r = 0) et n(r = r_c)de nos nuages et donc aux valeurs extrêmes de taille de vortex in situ.

La gure 6.4a présente le résultat obtenu pour gN = vmin qui correspond à nos plus gros vortex. Sur la gure 6.4b, nous avons représenté le prol associé au vortex seul. Pour produire un tel prol, nous normalisons le prol total (gure 6.4a en ligne continue) par les variations

5. Nous verrons plus loin que cet argument est un peu naïf mais qu'il donne néanmoins le bon ordre de grandeur et que la conclusion reste valable.

6. Ces simulations ont été réalisées par Lauriane Chomaz.

7. Notons que la présence d'un potentiel harmonique n'est pas obligatoire et qu'un potentiel uniforme aurait aussi pu être utilisé. La raison de ce choix n'est pas essentielle, et celui-ci n'a qu'une inuence mineure sur le résultat qui nous intéresse.

8. Notons bien que dans ces simulations le vortex est toujours placé en r = 0.

9. Nous préférons l'usage des notations vmax et vmin qui facilite notre argumentation à celle des valeurs nu-mériques. Ces valeurs numériques n'apporteraient aucune information nécessaire à la compréhension de cette étude.

6.2 Détection de trous de densité durant l'expansion libre d'un gaz 2D 139 0 1 2 3 -12 -8 -4 0 4 8 12 densité (u.a) x en µm

Profil de l’état fondamental

a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -4 -2 0 2 4 x en µm

Profil normalisé du vortex

2 ˜ξ

b)

Figure 6.4  (a) Solution de l'équation de GrossPitaevskii dépendant du temps pour gN = v_min (ligne continue rose) et ajustement ThomasFermi sur la partie parabolique (ligne tiretée noire). La densité au centre correspond à la densité n(rc) dans la région critique de nos nuages expérimentaux. (b) Variations de densité dues au vortex seul (ligne continue rose) et ajustement par la fonction tanh2(r/ ˜ξ)(ligne tiretée bleue). Ce prol est obtenu en divisant le prol total de la gure a) par le prol ThomasFermi. Dans ce cas le diamètre du vortex vaut 2˜ξ ≈ 2.4 µm.

connues de densité (prol ThomasFermi illustré sur la gure 6.4a en ligne pointillée). Pour les simulations que nous présenterons dans la section 6.4.2, nous avons choisi de modéliser ce prol par la fonction tanh2(r/ ˜ξ), par analogie avec la solution de l'équation de GrossPitaevskii stationnaire dans une boîte semi-innie à 1D10. Le paramètre ˜ξ est un paramètre d'ajustement par lequel nous caractériserons la taille du vortex tout au long de ce chapitre. Plus précisément, nous dénissons le rayon d'un vortex par ˜ξ, qui correspond à la demie-largeur à mi-hauteur du prol11.

Nous avons représenté sur la gure 6.4b un ajustement du prol du vortex par la fonction tanh²(r/ ˜ξ). L'ajustement optimal donne ˜ξ = 1.22 µm dans ce cas précis qui correspond aux vortex en r = rc. Pour gN = vmaxqui correspond à la densité au centre du nuage nous trouvons ˜

ξ = 0.41 µm. Le rayon de nos vortex in situ varie donc entre ∼ 0.4 µm et ∼ 1.2 µm. Notons que d'après ces simulations la longueur de cicatrisation ξ = 1/^√gn˜ tracée sur la gure 6.3a est inférieure au rayon ˜ξ. Nous pouvons donc être plus optimistes quant à la détection de vortex in situ, en particulier au voisinage de la région critique.

10. La solution de l'équation de GrossPitaevskii stationnaire dans une boîte 1D semi-innie (i.e. la fonction est telle que ψ(x < 0) = 0) est de la forme tanh(x/ξ) où ξ dénit la longueur de cicatrisation [89].

11. Pour être plus rigoureux, si l'on notre σ la demi-largeur à mi-hauteur de la fonction tanh2(r/ ˜ξ), alors ˜

Évolution de la taille d'un vortex durant l'expansion libre

Ayant déterminé l'état d'équilibre ψvx(r) d'un nuage piégé en présence d'un vortex, nous pouvons également simuler son évolution pendant un TdV 1D. Pour cela, nous résolvons numé-riquement l'équation de Schrödinger dépendant du temps :

i~^∂ψ ∂t ⁼  −^~ 2 2m4 +¹ 2^mω 2r²  ψ . (6.3)

Notons, à ce stade, que du fait de la position initiale du vortex qui est situé en r = 0 à t = 0, la position de celui-ci ne changera pas au cours de l'évolution du fait de la symétrie axiale du problème. Nous ne nous intéressons ici qu'à l'évolution de sa taille au cours du temps de vol. L'équation 6.3 est résolue en prenant ψ(r, t = 0) = ψvx(r)comme état initial pour une taille de vortex ˜ξ donnée. La gure 6.5a montre les prols de densité obtenus pour des TdV entre t = 0.5 et t = 3.5 ms, avec une taille initiale de vortex ˜ξ = 0.41 µm. Cette taille de vortex correspond à la plus petite valeur attendue dans un nuage à l'équilibre, et correspond aux c÷urs de vortex qui s'étendent le plus rapidement. Pour chaque durée de TdV simulée nous appliquons la procédure décrite plus haut pour déterminer la taille des vortex (i.e. normalisation par le prol Thomas Fermi et ajustement par tanh2(r/ ˜ξ)). Nous avons représenté sur la gure 6.5b l'évolution des tailles pour deux valeurs initiales de ˜ξ qui correspondent aux valeurs extrêmes du paramètre ˜gn de nos nuages in situ (entre r = 0 et r = rc).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -20 -10 0 10 20 densité (u.a) x en µm

Évolution d’un vortex

a) 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 t en ms Évolution de ˜ξ en µm b) en r = 0 en r = r_c

Figure 6.5  (a) Résultats numériques de l'évolution temporelle d'un vortex placé au centre du nuage pour t = 1,2 et 3 ms (resp. en noir, orange et bleu), la ligne rose correspond au prole à t = 0. (b) Évolution du rayon ˜ξ avec le temps de vol pour ˜ξ(t = 0) = 0.41 µm (boules noires) et

˜

ξ(t = 0) = 1.22 µm (cercles bleus) correspondant à r = 0 et r = rc respectivement.

Nous voyons donc qu'après seulement 1 ms d'expansion libre, le rayon des vortex vaut ˜ξ ≈ 1.1 à 1.6 µm et qu'il est de l'ordre de 2.2 µm pour les temps de vol les plus longs considérés ici. Le résultat obtenu à la n de section 6.2.1 par un raisonnement plus naïf était donc légèrement sur-estimé mais la conclusion reste inchangée. Ces simulations conrment que nous pouvons détecter

6.2 Détection de trous de densité durant l'expansion libre d'un gaz 2D 141

sans ambiguïté le trou de densité créé par des vortex après quelques millisecondes d'expansion 1D.

Évolution d'un faux vortex

Comme nous l'avons souligné plus haut, l'une des limitations de cette étude est le fait qu'on ne peut pas avoir accès à la distribution de phase dans les images. Ceci empêche de distinguer avec certitude les vortex de simples trous de densités. S'il paraît assez intuitif qu'un simple trou de densité se referme plus rapidement qu'un vortex (car il n'est pas protégé par un tour de phase), il n'est pas évident d'estimer cette échelle de temps. Dans ce qui suit nous allons nous appuyer à nouveau sur des simulations numériques pour distinguer les deux cas en caractérisant l'évolution temporelle d'un simple trou de densité.

Pour cela, nous procédons comme précédemment à la résolution de l'équation (6.3) décrivant l'évolution d'un condensat 2D piégé pendant un TdV 1D. Pour simuler la présence d'un trou de densité à l'instant initial, nous prenons ψ(r, t = 0) = ψtrou(r) où ψtrou(r) ne dière de ψ_vx(r) que par la distribution spatiale de phase qui est uniforme dans ce cas. La gure 6.6a représente l'évolution d'un trou de densité de taille initiale ˜ξ = 0.41 µm en fonction du temps. Nous constatons qu'après 1 ms d'expansion le trou s'est déjà refermé. Pour être plus quantitatif, nous allons introduire la notion de contraste que nous utiliserons à nouveau par la suite. Comme nous l'avons fait pour les prols de vortex, nous nous intéressons aux variations de densité dues au trou uniquement en normalisant les prols de densité obtenus (Fig. 6.6a) par le prol de ThomasFermi correspondant. Le contraste du trou Ctr est alors déni comme l'écart entre 1 et la profondeur du minimum. Nous avons représenté dans la gure 6.6b l'évolution du contraste en Ctr en fonction du temps d'expansion.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -20 -10 0 10 20 densité (u.a) x en µm

Évolution d’un trou

a) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 t en ms Évolution deCtr b)

Figure 6.6  (a) Résultats numériques de l'évolution temporelle d'un trou simple placé au centre du nuage pour t = 1, 2 et 3 ms (respectivement en noir, orange et bleu), la ligne rose correspond au prole à t = 0. (b) Évolution du contraste du trou Ctr avec un rayon initial de ˜ξ = 0.41 µm.

1 ms d'expansion. Nous verrons à la section 6.3 que les trous de densité observés sur nos nuages ont un contraste signicativement plus élevé.

Bilan des simulations.

À l'issu de cette étude nous retiendrons trois informations :

 le rayon de nos vortex in situ varie dans l'intervalle ˜ξ ∼ 0.41.2 µm.

 le rayon de nos vortex durant un TdV 1D varie entre ˜ξ ∼ 1.11.6 µm pour t = 1 ms et sature à ˜ξ ∼ 2.2 µm pour t = 3.5 ms.

 un simple trou de densité se referme en moins d'une milliseconde de temps de vol. Les trous de densité que nous observons après temps de vol sont donc vraisemblablement - du moins en partie - dus à la présence de vortex dans les nuages à l'équilibre12.

Nous allons à présent étudier de façon plus quantitative la répartition de ces vortex dans nos nuages en utilisant un algorithme de recherche systématique des minima sur nos images.

6.3 Répartition des vortex dans un gaz piégé

À la section précédente, nous avons vu qu'en vertu de l'approximation de densité locale appliquée à un nuage piégé à l'équilibre, nous nous attendons à trouver des vortex appariés dans la région centrale du nuage et des vortex individuels autour de r ≈ rc . Après une expansion libre, la situation est a priori plus complexe et il n'existe à notre connaissance aucun travail théorique publié permettant de décrire ce qui se passe durant une telle expansion. Dans cette section, nous allons présenter une recherche systématique de trous de densité sur un ensemble de nuages préparés de façons identiques et sondés in situ ou durant un TdV 1D. Nous chercherons en particulier à préciser la répartition de ces trous de densité en fonction de la distance au centre du nuage r dans ces deux cas.

6.3.1 Recherche systématique des minima

Nous nous intéressons à des images contenant typiquement 60 × 60 pixels centrées sur le nuage, le diamètre du nuage étant de l'ordre de 50 µm soit environ 52 pixels (1 pixel = 1.04 µm). Chaque pixel de l'image est désigné par un couple d'entiers (i, j), auquel on associe une distance au centre du nuage r = r(i, j) et une densité n(r) = n(i, j).

Densité normalisée et dénition du contraste

La première étape de la procédure consiste à normaliser la distribution de densité mesurée par la distribution n(pot)(r) qui correspond aux variations connues de la densité, i.e. les variations dues uniquement au potentiel dans le plan (xOy). Cette distribution de densité peut être obtenue :

12. Des simulations numériques, réalisées après la soumission de ce manuscrit au jury de thèse, ont montré que la présence de phonons dans un gaz 2D peut également générer un prol de densité chahuté après expansion libre. La présence de trous de densité après temps de vol devrait donc être interprétée plus généralement par la présence, à l'équilibre, de uctuations de phase, incluant phonons et vortex.