Le potentiel reconstruit montre eectivement des déviations au potentiel harmonique et con rme l'existence de rugosités le long de l'axe (Oy). Un ajustement parabolique (ligne pleine de la gure 4.10) permet de quanti er les écarts à un potentiel parfaitement harmonique, où l'on voit qu'il s'agit de petits eets, même s'ils peuvent causer l'amortissement des oscillations du centre de masse. Notons, de plus, que cet ajustement fournit une fréquence d'oscillation de 21.9± 0.04 Hz, en bon accord avec la valeur mesurée de 21.4 ± 0.02 Hz par les oscillations du centre de masse, l'erreur indiquée étant celle fournie par les ajustements respectifs.
Dans les faits, la forme du potentiel peut varier d'un jour sur l'autre puisque cela dépend de l'alignement du faisceau dipolaire qui est repris quotidiennement. Aussi, avons-nous reconstruit le potentiel U(y) pour chaque ensemble de données. L'exemple montré en gure 4.10 correspond en fait au cas le plus pathologique rencontré pour les données que nous présentons ici. Pro ls de densité
Bien que l'approximation harmonique dans le plan ne semble pas déraisonnable, nous avons renoncé à fabriquer des pro ls de densité par la méthode usuelle [103] de moyenne angulaire. En eet, comme nous le verrons, l'étude que nous allons présenter ici dépend de façon cruciale des ailes des pro ls de densité, à partir desquelles nous extrayons les paramètres thermodynamiques µ et T de chaque nuage. Pour ne pas introduire de biais, nous utilisons donc l'axe purement harmonique (Ox) pour produire les pro ls de densité à partir de coupes le long de cet axe. Dans la situation idéale d'un signal sur bruit in ni, la coupe passant par le centre du nuage su rait. Dans la pratique, nous utilisons l'ensemble des 31 coupes prises en compte pour la reconstruction du potentiel en tirant parti de la superposition des pro ls résultant de la procédure décrite ci-dessus. En moyennant les pro ls ainsi superposés nous obtenons des pro ls de densité avec un signal sur bruit tout à fait raisonnable, en particulier dans les ailes où toutes les coupes contribuent. Les pro ls de densité présentés et étudiés dans ce chapitre sont tous préparés de cette façon.
4.2 Acquisition et analyse des images
Imagerie haute et basse intensité
Nous avons vu au chapitre 3 que l'imagerie par absorption usuelle (non saturante) n'est pas adaptée à l'étude de nos nuages bi-dimensionnels. En eet, compte tenu des densités au centre de ces nuages, qui sont de l'ordre de 50 atomes par µm2, le processus d'interaction entre le faisceau sonde et les atomes met en jeu des eets collectifs qui rend l'interprétation du signal d'absorption complexe. L'analyse naïve des images consistant à utiliser la loi de Beer-Lambert (Eq. 3.10) donne lieu à un dé cit signi catif de la détectivité au centre des nuages atomiques [103]. Une solution à ce problème, qui a également été utilisée dans [59] pour des systèmes atomiques similaires, consiste à utiliser un faisceau sonde fortement saturant qui permet de limiter ces eets à l'échelle du bruit de la mesure expérimentale.
Cette imagerie fortement saturante que nous avons décrite et étudiée au chapitre 3 nécessite d'utiliser, dans notre cas, des intensités de l'ordre de 50 Isat pour mesurer de façon able la distribution de densité atomique de nos nuages bi-dimensionnels. Pour une intensité aussi élevée,
nous avons vu en section 3.2.3 que la densité atomique est proportionnelle à la quantité d(h) O = (Ii− If) /Isat, où If désigne l'intensité transmise par le nuage atomique et Iil'intensité incidente. Comme dans l'ensemble de ce manuscrit Isat = 1.6mW/cm2 désigne l'intensité de saturation associée à la transition cyclante | F = 2, mF = 2i → | F0 = 3, m0F = 3i. L'inconvénient de cette technique est qu'elle s'accompagne d'un bruit de grenaille photonique non négligeable qui se répercute directement sur la mesure de densité atomique, en particulier dans les régions de faible densité. Or, comme nous l'avons souligné précédemment, ces régions jouent un rôle important dans notre traitement.
a)
20 µm
b)
Figure 4.11 Images de deux nuage 2D préparés dans les mêmes conditions, l'un sondé à haute intensité (a) et l'autre à basse intensité (b). Nous voyons que la distribution de densité mesurée à haute intensité est plus piquée.
Pour remédier à cela, nous complétons l'acquisition de chaque image à intensité saturante par celle d'une image à intensité non saturante d'un nuage préparé exactement dans les mêmes conditions. Cette image, bien que présentant un dé cit de détectivité dans la partie dense du nuage, fournit une mesure able de la distribution de densité dans les ailes avec l'avantage d'un très bon signal sur bruit. Pour chaque préparation du nuage, nous enregistrons donc une paire d'image, l'une à haute intensité sur un premier nuage et l'autre à basse intensité sur un second nuage. La première image fournit la distribution de densité atomique et la seconde sera utilisée pour déterminer les paramètres µ et T du nuage. Un exemple de paire d'images haute intensité et basse intensité est représenté en 4.11a et 4.11b respectivement.
Pour les données que nous présentons ici, l'imagerie basse intensité est réalisée avec un faisceau d'intensité Ii∼ 0.5Isat en une impulsion lumineuse de 50 µs. Dans ces conditions, nous avons vu en section 3.1.2 que la densité atomique est donnée par n = dO/σ0 avec :
dO=−α∗ln If Ii
+Ii− If
Isat , (4.6)
et α∗ = 2.6± 3. En pratique, nous nous autorisons également un paramètre de calibration global β∗ tel que n = dO/(β∗σ0). Nous verrons que la calibration de β∗ est fournie par la procédure d'ajustement qui permet aussi de déterminer les paramètres thermodynamiques µ et T, en utilisant les ailes des pro ls basse intensité. La gure 4.12 montre les pro ls de densités correspondant aux images haute et basse intensités de la gure 4.11, obtenus par la méthode
4.2 Acquisition et analyse des images 97 0 20 40 60 80 0 20 40 60 Densité en atomes/ µ m 2 r en µm a)
Profil basse intensité Profil haute intensité ajustement H–F 0.01 0.1 1 10 100 0 20 40 60 r en µm b)
Figure 4.12 Comparaison des pro ls de densité obtenus à haute intensité (en rouge) et basse intensité (en noir). La ligne bleu est ajustement des ailes par le modèle de Hartree-Fock. (a) Échelle linéaire. (b) Échelle logarithmique.
décrite plus haut. La calibration de la densité atomique pour les pro ls haute intensité est réalisée en ajustant leurs ailes sur celles des pro ls basse intensité par un facteur multiplicatif18. Pour les données présentées ici ce facteur vaut typiquement 0.8 et est déterminé avec une erreur relative de l'ordre de 5%. La gure 4.12b illustre la diérence de qualité notable entre les ailes des pro ls basse intensité et celles des pro ls haute intensité.
Ajustement au modèle de HartreeFock
Dans la tradition de l'étude des nuages tri-dimensionnels, la température d'un nuage ato-mique piégé dans un potentiel harmonique est déterminée par un ajustement d'une fonction gaussienne à la distribution de densité dans les régions où le nuage est su samment dilué pour être décrit par la statistique classique de Boltzmann. Pour les gaz bi-dimensionnels, cette ap-proche, valable en théorie, n'est pas applicable en pratique car la région décrite par la physique classique correspond à des densités très faibles et habituellement noyées dans le bruit de mesure. Une approche moins naïve, consisterait à utiliser l'équation d'état D = g1(Z), Z = exp(µ/kBT ) étant la fugacité, qui décrit le gaz de Bose idéal 2D dans le cadre de la statistique quantique et appliquer l'approximation de densité locale Z → Z exp(−V (r)/kBT ). Cette description reste néanmoins insu sante pour décrire les régions avec un signal sur bruit su sant.
Pour une détermination able du couple (µ, T ) nous utilisons donc le modèle de Hartree Fock qui décrit le problème à N-corps en présence d'interactions atomiques à courte portée (cf. section 1.2.3). Dans ce régime, l'équation d'état du gaz homogène, pour un nuage n'occupant que le niveau fondamental de l'oscillateur selon selon (Oz), se met sous la forme implicite :
D0=− ln(1 − Ze−˜gD0/π) (4.7)
que nous pouvons résoudre numériquement. Pour attribuer un potentiel chimique central µ0 et une température T à un nuage piégé, la procédure que nous utilisons consiste à convertir les pro ls de densité n(r) sous la forme de pro ls redimensionnés :
n(r) −→ n µ0− V (r) kBT
λ2T, (4.8)
où µ0 et T sont des paramètres d'ajustement sur la prédiction théorique. L'intervalle de t est restreint à la région où les corrections à la théorie de champ moyen sont négligeables (et, s'agissant des images à basse intensité, dans la région où la réponse atomique au faisceau sonde n'est pas aectée par les eets collectifs).
Comme la fonction D(α) varie de façon non-linéaire avec la densité spatiale, cet ajustement peut également fournir une calibration de la densité atomique. Le coe cient β∗ intervenant dans l'expression de la densité (n = dO/(β∗σ0)) est donc également laissé comme paramètre libre. Comme tous les nuages sont sondés dans les mêmes conditions19 β∗ est contraint à prendre la même valeur pour l'ensemble des images d'une même série de données. Sur l'ensemble des données présentées ici, nous trouvons β∗ = 0.40± 0.02 comme valeur optimale, avec une erreur statistique de 5%.
Nous verrons plus loin que les températures de nos nuages bi-dimensionnels varient de 40 nK à 150 nK, alors que le quantum de vibration associé au mouvement selon (Oz) vaut ~ωz/kB ≈ 100nK. La condition kBT ~ωz n'est donc pas satisfaite et la population des niveaux excités n'est pas négligeable pour nos échantillons les plus chauds. Au paragraphe 1.2.5, nous avons vu qu'il était possible de déterminer la correction à l'équation d'état 4.7, par une méthode auto-cohérente prenant en compte la population des états excités. Cette méthode consiste à traiter tous les niveaux dans l'approximation HartreeFock de champ moyen en prenant en compte les interactions intra-niveaux et inter-niveaux. Les pro ls redimensionnés (Eq. 4.8) sont donc ajustés sur cette équation d'état corrigée pour la détermination des couples (µ0,T ).
Soustraction des niveaux excités
Ayant attribué les paramètres µ0 et T associés à chaque nuage à partir des pro ls basse intensité, nous passons à l'analyse des images haute intensité. Pour chaque image, nous déter-minons la contribution des diérents niveaux j à la distribution atomique mesurée en utilisant une approche similaire à la méthode auto-cohérente décrite en 1.2.5 et que nous avons utilisée pour l'ajustement des ailes. Ici, la procédure est sensiblement diérente. Elle consiste à ne trai-ter que les niveaux excités dans le régime HartreeFock et ajoutrai-ter la contrainte supplémentaire n0 = nmesure−P
jnj en utilisant la distribution atomique mesurée nmesure. Précisons qu'en pra-tique nous nous limitons aux 10 premiers niveaux (j =1 à 9). Cette procédure a également été appliquée dans [116] sur des nuages marginalement bi-dimensionnels avec kBT ∼ 2~ωz.
Notons que dans ce régime de température où kBT . ~ωz, la question importante n'est pas tant l'existence ou non d'une population dans les niveaux excités que l'in uence du poten-tiel d'interaction créé par ces atomes sur la distribution du niveau fondamental. La méthode