Mesure de l'énergie d'interaction

Au chapitre 4 nous avons mesuré l'équation d'état du gaz 2D homogène à partir de la dis-tribution de densité de nuages bi-dimensionnels piégés à l'équilibre thermodynamique. Ici, nous allons présenter une mesure de certaines propriétés statiques du gaz 2D piégé à partir d'un lm de la dynamique de ces gaz pendant un TdV 1D.

Pour l'étude de cette dynamique, nous commençons par préparer un gaz 2D suivant la pro-cédure que nous avons décrite au chapitre 4. Après quelques secondes où nous laissons le nuage atteindre l'équilibre thermodynamique, le faisceau dipolaire qui assure le connement vertical est éteint et les atomes évoluent librement dans le potentiel harmonique du TOP. Le nuage est alors sondé après un TdV 1D de durée variable entre 1 ms et 3.5 ms. Les distributions de densité sont mesurées à haute intensité18 avec Ii∼ 50Isat.

Pour chaque durée t de TdV 1D, nous pouvons calculer en principe l'énergie potentielle moyenne à partir de la distribution atomique n(r, t)

E_pot(t) = ¹ 2^mω

2^Z r²hn(r, t)id²r = πmω² Z

r³hn(r, t)idr , (5.36) où h...i correspond à une moyenne d'ensemble qui peut s'obtenir ici par intégration angulaire. En pratique, le calcul numérique de cette quantité à partir de nos prols ne converge pas. Ceci est dû au fait que les régions éloignées du centre sont très bruitées et ont un poids relatif important dans le calcul de l'intégrale en raison du terme en r3. Nous procédons donc à un lissage des prols de

17. La distribution en impulsion a aussi été mesurée directement sur des nuages très allongés [109] et des gaz quasi-1D [117] en combinant l'excitation d'un mode quadrupolaire suivant l'axe du nuage et une expansion libre du nuage.

18. Nous avons observé que la densité optique mesurée à basse intensité après un TdV de quelques ms soure toujours d'artefacts d'imagerie dans la région centrale des nuages.

densité en modélisant de façon heuristique la forme de nos prols par la somme d'une distribution gaussienne avec une parabole inversée. Ces formes fonctionnelles correspondent respectivement aux composantes diluée et dégénérée du nuage, comme cela est traditionnellement fait sur les condensats 3D avec une composante thermique.

À partir de chaque image, nous produisons donc un prol de densité par moyenne angulaire sur lequel nous pratiquons un ajustement par la fonction

n^(heur)(r) = A_Texp  − ^r 2 2σ2 T  + A₀  1− ^r 2 R2 0  Θ  1− ^r 2 R2 0  , (5.37)

où AT, σT,A0 et R0 sont les paramètres19 et Θ est la fonction de Heaviside qui assure que le second terme reste positif. Un exemple d'ajustement est représentée sur la gure 5.3.2. Comme nous pouvons le voir, la modélisation de ce prol par la fonction heuristique n(heur)(r) est très satisfaisante, hormis une légère déviation à l'endroit du raccordement entre la gaussienne et la parabole. Nous obtenons un accord de cette qualité sur l'ensemble de nos prols.

0 20 40 60 80 0 20 40 Densité en µ m − 2 r en µm

Figure 5.2  Prol de densité d'un nuage sondé après un TdV de 1.5 ms. La ligne continue est un ajustement bimodal : la somme d'une parabole et d'une gaussienne.

Comme la fonction n(heur)(r) qui modélise nos prols s'intègre analytiquement, le calcul de l'énergie potentielle au temps t (Eq. 5.36) est simplié et s'obtient directement des paramètres d'ajustement : Epot(t) = ¹ 2^mω 2  NTσ_T²(t) + ¹ 3^N0R 2 0(t)  , (5.38) où NT = 2πA_Tσ2 T et N0 = πA₀R2

0/2sont respectivement les nombres d'atomes des composantes diluée et dégénérée. NT et N0 sont des quantités constantes au cours du TdV alors que σT et R₀ dépendent a priori de t. Le résultat des ajustements indique que seules les valeurs de R0

varient signicativement avec le TdV et il n'apparaît pas de tendance claire pour la taille σT

de la composante diluée. Ceci s'interprète par le fait que les interactions sont négligeables dans

19. En pratique, il y a également une constante additionnelle qui permet de prendre en compte un éventuel décalage des ordonnées, mais nous ignorerons ce détail par souci de uidité.

5.3 Mise en ÷uvre expérimentale 125

cette composante et par conséquent son équilibre n'est quasiment pas perturbé par la coupure eective des interactions. L'évolution de Epot(t) est donc contenue dans celle des rayons R0(t) de la parabole.

La gure 5.3 représente l'évolution temporelle de Epot(t)obtenue20 pour un nuage très dé-généré. Les barres d'erreur correspondent à l'erreur statistique sur plusieurs répétitions (5 à 6 par conguration). Comme on peut le voir, aux premiers instants de l'évolution libre l'extension radiale du nuage et donc l'énergie potentielle moyenne diminuent. Cette implosion se comprend de façon assez intuitive. L'état initial du nuage résultait de l'équilibre entre l'énergie potentielle, qui tend à comprimer le nuage au centre du piège, et l'énergie cinétique et d'interaction, qui tendent à étendre le nuage. À la coupure des interactions, cet équilibre est rompu et l'on sait de la relation du viriel (5.17) que Epot(0) > E_cin(0), les atomes vont donc naturellement être attirés vers le centre du nuage.

18 18.5 19 19.5 20 20.5 0 1 2 3 4 E^p /N en nK t en ms

Figure 5.3  Évolution de l'énergie potentielle par particule Epot/N en fonction du temp de vol. Les barres d'erreurs correspondent à l'erreur statistique. La ligne continue rouge est ajustement de la forme f(t) = A − (A − B) sin2(ωt)où ω = 2π × 20 Hz est xée.

La ligne continue rouge représente l'ajustement par la loi d'évolution (5.31) avec ω = 2π × 20Hz qui est la fréquence moyenne du piège TOP dans le plan (xOy), et permet d'extraire21

E_cin(0). L'anisotropie résiduelle du potentiel radial créé par le TOP vaut δω

ω = 1%, et est donc négligeable compte tenu du développement (5.34).

En principe l'ajustement de l'évolution de Epot(t) fournit à la fois l'énergie potentielle et l'énergie cinétique du système à l'équilibre Epot(0)et Ecin(0). Nous verrons au paragraphe suivant

20. Epot(t)est calculée à partir de la relation (5.38) où σT, NTet N0 (qui n'évoluent pas au cours du TdV) sont xés à leur valeur moyenne.

21. Plus précisément, comme l'équation (5.31) s'écrit aussi Epot(t) = Epot(0) − [Epot(0) − Ecin(0)] sin²(ωt), nous ajustons les points expérimentaux par la fonction f(t) = A − (A − B) sin2(ωt)où A et B sont les paramètres d'ajustement et ω est xée.

que seule la mesure de Ecin(0) est able dans notre cas. La valeur de Epot(0) est donc obtenue par ailleurs grâce à la distribution atomique de nuages sondés in situ (préparés dans les mêmes conditions que pour l'étude dynamique). Ayant déterminé Epot(0) et Ecin(0), nous en déduisons l'énergie d'interaction Eint(0) grâce à la relation du viriel (5.17). Les résultats de cette analyse ainsi que les données thermodynamiques22 sont rassemblés dans le tableau 5.1.

D(0) µ₀/k_BT T N N(exc)/N 37± 2 0.67 ± 0.03 62 ± 2 nK (66 ± 2) × 103 (3.6± 0.3)%

Epot/N Ecin/Epot Eint/Epot

18.5± 0.9 nK 0.54 ± 0.06 0.46 ± 0.06

Table 5.1  Propriétés d'équilibre d'un gaz 2D avec les diérentes contributions à l'énergie totale.

Nous constatons que Eint ≈ Epot alors que la densité dans l'espace des phases au centre du nuage est très élevée. Ceci contraste avec ce que l'on a habituellement à 3D où pour des densités dans l'espace aussi élevées, le système est en général profondément dans le régime de ThomasFermi. Enn, précisons que pour nos paramètres la transition superuide est attendue à Dc≈ 8.2, le système comporte donc a priori une composante superuide non négligeable. Conséquences de la modication du potentiel radial. À la section 4.1.2, nous avons vu que sur notre montage le potentiel dipolaire modie légèrement la forme du potentiel créé par le TOP dans le plan (xOy). L'eet du potentiel optique se résume essentiellement à une augmentation de 7%de la fréquence de piégeage (20.0 Hz → 21.4 Hz) selon l'axe (Oy). À la coupure du connement vertical, le potentiel radial est donc soudainement modié dans la direction (Oy) mais l'évolution des trajectoires (5.28) reste toujours valable pour r(t) où ω est la pulsation du TOP et non celle du potentiel initial. En introduisant la quantité ˜Epot(t)≡ mω2hr2(t)i on a donc :

˜

E_pot(t) = ˜E_pot(0) cos²(ωt) + E_cin(0) sin²(ωt) (5.39) où ˜E_pot(0)est diérent de l'énergie potentielle initiale du système Epot(0). En pratique, puisque l'on détermine séparément les coecients des termes en cos2(ωt) et en sin2(ωt), la modication du potentiel radial n'empêche pas de mesurer de Ecin(0).