Eet des interactions dipôle-dipôle sur la raie d'absorption

-10 -5 0 5 10 Densité optique calcul ée D^O ˜ ∆ σ₀n = 1 σ₀n = 2 σ₀n = 4 0.2 0.4 0.6 0 2 4 σ₀n Décalage du pic ˜∆₀

Figure 2.3  Variations de DOavec le désaccord ˜∆≡ ∆/(Γ/2) du faisceau sonde pour 3 valeurs de densité surfacique : σ0n = 1 (noir), 2 (rouge) en 4 (bleu). Les barres d'erreur indiquent la déviation standard. Ces résultats ont été obtenus pour N = 256 et `z = 0.

2.4.3 Eet des interactions dipôle-dipôle sur la raie d'absorption

Dans ce paragraphe nous nous intéressons à présent à la dépendance de la densité optique avec le désaccord. Par commodité, nous caractériserons le désaccord par le paramètre sans dimension

˜

∆≡ ∆/(Γ/2). Nous avons représenté sur la gure 2.3 les variations de DO, pour trois valeurs de la densité9: σ0 = 1, 2 et 4. Nous constatons deux eets simultanés lorsque la densité n augmente : (i) les variations de DO de part et d'autre du pic deviennent de plus en plus asymétriques ; (ii) le pic de la raie d'absorption se décale vers le bleu de la transition (i.e. vers la région ˜∆ > 0). Ce dernier point est illustré par l'insert de la gure 2.3 où nous avons représenté le décalage en fréquence ˜∆0 du pic de la raie d'absorption pour chaque valeur de la densité. Nous voyons que ce décalage de la résonance est déjà signicatif pour σ0n = 1 et qu'il vaut ∼ Γ/4 pour σ₀n = 4. Précisons que ce décalage a été obtenu par un ajustement parabolique sur le sommet de la raie d'absorption, méthode que nous avons préférée à un ajustement de la courbe entière par une fonction lorentzienne. La raison de ce choix est que la fonction lorentzienne ne permet pas de reproduire les variations de DOavec le désaccord y compris pour la densité la plus faible (σ0n = 1). Ceci nous amène au point (ii) que nous venons de mentionner.

2.4 Résultats numériques 55 0 0.5 1 -10 -5 0 5 10 D^O /D (max) O ˜ ∆ Échelle linéaire

Ajustements avec des lorentziennes

(Raie d’absorption pourσ₀n = 1)

a) DBL 0.01 0.1 1 -10 -5 0 5 10 ˜ ∆ Échelle logarithmique b)

Figure 2.4  Raie d'absorption normalisée correspondant à σ0n = 1 en échelles linéaire (a) et logarithmique (b). La courbe épaisse grise en arrière plan est la lorentzienne correspondant à la loi de BeerLambert (Eq. 2.5). Les lignes continues rose et bleue sont des ajustements par une lorentzienne des régions rouges et bleues respectivement.

Déviations à la fonction lorentzienne

Nous allons à présent caractériser de façon plus quantitative les variations de densité optique et les asymétries observées sur les raies d'absorption de la gure 2.3. Pour cela nous traitons désormais indépendamment la partie à rouge (à gauche du pic) et la partie bleue (à droite du pic) de chacune ces trois raies d'absorption. Nous commençons par réaliser un ajustement par la fonction lorentzienne : L( ˜∆) = ^A 1 +^{∆˜− ˜∆}0 ˜ γ 2, (2.54)

où ˜∆0est xé à sa valeur déterminée plus haut, l'amplitude A et la largeur ˜γ étant les paramètres d'ajustement. Le paramètre sans dimension ˜γ est donc relié à la vraie largeur γ (en s−1) par γ = ˜γΓ. La gure 2.4 montre le résultat des ajustements obtenus sur les parties rouge et bleue de la raie d'absorption calculée pour σ0n = 1. Nous avons également représenté pour comparaison le résultat 2.5 attendu pour DBL. Nous constatons qu'aucun des deux ajustements n'est satisfaisant. Si les variations de DO sont relativement bien décrites par des lorentziennes dans la région centrale (malgré une légère diérence au niveau du maximum de la courbe), la courbure à la base du pic et les ailes de la raie d'absorption dièrent qualitativement, comme nous pouvons le voir sur la gure 2.4b où nous avons utilisé une échelle logarithmique. Les eets de diusion multiple ne se traduisent donc pas par un simple élargissement de la raie

9. An de nous limiter à des durées de simulation raisonnables le nombre d'atomes a été xé à N = 256 ce qui reste susant pour les densités considérées ici. Pour les points de densité les plus élevées DO≈ 2, l'erreur relative par rapport à ce que nous aurions obtenu pour N = 2048 est d'environ 5%.

0 0.5 1 -10 -5 0 5 10 D^O /D (max) O ˜ ∆ Échelle linéaire

Ajustements avec des fonctions de Pearson

(Raie d’absorption pourσ₀n = 4)

a) DBL 0.01 0.1 1 -10 -5 0 5 10 ˜ ∆ Échelle logarithmique b)

Figure 2.5  Raie d'absorption normalisée correspondant à σ0n = 4en échelles linéaire (a) et logarithmique (b). La courbe épaisse grise en arrière plan est la lorentzienne correspondant à la loi de BeerLambert (Eq. 2.5). Les lignes continues rose et bleue sont des ajustements par une fonction de Pearson (Eq. 2.55) des régions rouges et bleues respectivement.

d'absorption, mais par une modication qualitative des variations de la densité optique par rapport à la fonctionnelle lorentzienne usuelle. En appliquant cette procédure aux cas σ0n = 2et 4, nous avons conrmé que ces déviations sont d'autant plus marquées que la densité augmente comme nous pouvions nous y attendre. Notons enn que la diérence qualitative observée dans les ailes indique que la densité optique (normalisée) décroît plus lentement que 1/| ˜∆|2aux grands désaccords.

Dépendance asymptotique avec le désaccord

An d'étudier le comportement asymptotique de DO avec le désaccord de façon quantitative, nous avons utilisé une fonction d'ajustement spéciale qui est une forme généralisée de la fonction lorentzienne. Il s'agit de la fonction de Pearson qui, dans sa forme simpliée s'écrit :

Pm( ˜∆) = _ ^A 1 +^{∆˜− ˜∆}0

˜ γ

2m, (2.55)

où l'exposant m est un paramètre d'ajustement supplémentaire qui caractérise le comporte-ment asymptotique10. Pour m = 1 nous retrouvons la fonction lorentzienne et une décroissance asymptotique en 1/| ˜∆|2.

La gure 2.5 représente le résultat des ajustements des régions rouge et bleue de la raie d'absorption calculée pour σ0n = 4 qui est la plus distordue parmi celles présentées sur la

2.4 Résultats numériques 57 0.5 1 1 2 3 4 Exp osa n t m σ₀n a) côté ˜∆ < 0 côté ˜∆ > 0 0 0.5 1 1 2 3 4 Largeur ˜γ = γ /Γ σ₀n b) côté ˜∆ < 0 côté ˜∆ > 0

Figure 2.6  Paramètres d'ajustement optimaux m (a) et ˜γ ≡ γ/Γ (b) obtenus sur les parties rouges (en rose) et bleues (en bleu) des raies d'absorption calculées (cf. Fig. 2.3). Les barres d'erreurs indiquent l'erreur fournie par la procédure d'ajustement.

gure 2.3. Nous constatons que l'ajustement est très satisfaisant y compris dans les ailes où le comportement asymptotique de la densité optique DO est bien reproduit. Nous obtenons des ajustements de qualité similaire voire meilleure pour les cas σ0n = 1 et 2. Pour comparaison, nous avons tracé en arrière plan des graphes 2.5ab le raie d'absorption attendue par la loi de Beer-Lambert 2.5. Sur cet exemple, la densité optique DOdécroît signicativement plus lentement que DBL. Ces longues ailes constituent une signature des décalages des niveaux d'énergie due aux interactions dipôle-dipôle qui se produisent entre deux atomes voisins.

Le résultat des ajustements pour les trois cas σ0n = 1, 2 et 4 sont rassemblés sur la gure 2.6, où nous avons tracé la valeur de l'exposant m (Fig. 2.6a) et la largeur ˜γ (Fig. 2.6b) déterminées dans les partie rouge et bleue de la raie d'absorption. Nous constatons d'abord une diérence systématique entre les paramètres de la partie rouge et de la partie bleue, ce qui conrme quan-titativement l'impression d'asymétrie que l'on a visuellement. La gure 2.6a permet de suivre l'évolution de l'exposant m en fonction de la densité. Lorsque la densité varie entre σ0n = 1 et σ₀n = 4, l'exposant m décroît continûment de 0.85 ± 0.02 à 0.66 ± 0.02 dans la partie bleue et de 0.74 ± 0.02 à 0.50 ± 0.03 dans la partie rouge. De façon assez remarquable, le comportement asymptotique de DO s'écarte donc signicativement de la décroissance usuelle en 1/| ˜∆|2 pour des densités aussi petites que σ0n = 1. Pour une densité σ0n = 4, la densité décroît en 1/| ˜∆| dans la partie rouge et un peu plus rapidement dans la partie bleue.