Note. Au moment où la présente étude a été rédigée, le rôle des phonons aux temps de vol courts avait été négligé. Des simulations numériques, réalisées dans le prolongement de ce travail, ont montré que les phonons aectent, au contraire, signi cativement la distribution de densité en temps de vol. Bien que la démarche et les résultats de l'étude préliminaire présentée dans cette section ne soient pas remis en cause, nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que l'interprétation des trous de densité observés en temps de vol, uniquement en termes de défauts de phase, ne doit pas être considérée comme dé nitive.
À la section précédente, nous avons déterminé la position absolue de trous de densité dans nos nuages bi-dimensionnels. Dans cette section, nous nous intéressons à la position relative de ces trous de densité pendant l'expansion du nuage23. Cette question peut être traitée de
22. Les simulations réalisées dans le prolongement de ce travail de thèse montrent que la contribution des phonons mériterait d'être prise en compte dans l'analyse des images en temps de vol.
23. Compte-tenu de notre résolution, ce type d'études n'est pertinent que pour nos images de nuages en expan-sion. En eet, dans les nuages in situ une partie a priori importante des vortex n'est pas détectable par notre système d'imagerie et une étude des positions relatives des vortex serait biaisée.
6.4 Corrélations entre défauts de phase en expansion 151
diérents points de vue. Nous pouvons par exemple rechercher l'existence d'un ordre éventuel en identi ant des symétries dans l'organisation positionnelle des trous de densité dans un même nuage. Dans une perspective où ces trous de densité sont interprétés comme des défauts de phase, une autre question intéressante est celle du groupement ou anti-groupement : ces défauts de phase s'attirent-ils ou se repoussent-ils ? C'est à cette dernière question que nous tenterons de répondre en établissant des histogrammes de corrélation en position entre trous de densité voisins dans les nuages en expansion.
En pratique il est assez di cile de fournir des réponses précises à ces questions du fait de la complexité de la dynamique de l'expansion. En eet, comme nous l'avons souligné en section 6.2.1 les trous de densité observés peuvent être aussi bien des vortex individuels qu'une paire de vortex-antivortex en cours d'annihilation24. Ces deux types de défauts de phase sont indiscernables l'un de l'autre par notre analyse et nous nous y référerons par le terme vortex en gardant à l'esprit la subtilité de la situation.
6.4.1 Distance minimale entre deux défauts de phase
L'étude décrite à la section précédente nous a permis d'identi er la position des vortex sur chacune de nos images expérimentales. Nous nous intéressons ici aux positions de vortex déter-minées sur les nuages sondés en temps de vol avec un contraste seuil Cseuil= 0.25. Pour chaque vortex nous pouvons rechercher la distance dmin qui le sépare de son premier voisin et construire ainsi un histogramme de corrélation en position entre premiers voisins. Le résultat obtenu est représenté sur la gure 6.13 où l'on a tracé un histogramme du nombre de vortex se trouvant à une distance donnée de leurs premiers voisins. La distance entre premiers voisins est discrétisée par intervalles de la taille d'un pixel (1.04 µm).
0 20 40 60 0 5 10 15 Premiers v oisins dmin en pixels
Figure 6.13 Histogramme des corrélations entre premiers voisins. Cet histogramme pré-sente deux caractéristiques consistantes avec une propriété d'anti-groupement entre défauts de phase : (i) il présente un pic à dmin ≈ 4 µm ; (ii) le nombre de premiers voisins à courte dis-tance tend vers zéro. Cet anti-groupement est-il réel ou est-ce un artefact ?
Cet histogramme fournit deux informations intéressantes. D'une part, l'allure piquée de dis-tribution montre qu'il y a une distance privilégiée entre premiers voisins qui est de l'ordre de
24. Comme annoté plus haut, il s'ajoute à cela la contribution des phonons qui tendent à chahuter le pro l de densité en temps de vol.
5 µm. D'autre part, la probabilité de présence d'un premier voisin aux courtes distances tend vers zéro ce qui est la signature d'une forme de répulsion entre défauts de phases pendant l'expansion. À ce stade, nos observations sourent de l'absence d'appui théorique comme pour les obser-vations précédentes et nous devons nous contenter de ces conclusions empiriques. De plus, il y a un certain nombre de questions ouvertes : cet anti-groupement est-il réel ou est-ce un artefact ? Qu'en est-il de la position du pic de l'histogramme ? Ces questions se posent en particulier en raison de notre procédure de détermination des minima. En eet, nous avons vu à la section 6.3.1 que les minima étaient obtenus à partir d'une double contrainte sur deux pixels adjacents, ce qui introduit forcément une zone d'exclusion autour d'un minimum. En l'occurrence, l'absence de voisins à une distance de 1 pixel dans l'histogramme en est une conséquence directe.
Pour tenter de répondre à cette question de façon quantitative nous allons nous appuyer à nouveau sur des images simulées en y introduisant des trous de densité simulant la présence de vortex.
6.4.2 Anti-groupement ou artefact ?
L'idée de notre approche est d'appliquer dans un premier temps notre procédure de recherche des minima à des données simulées où les positions des vortex suivent une loi de probabilité uni-forme. Dans un second temps nous établirons l'histogramme des corrélations de ces données simulées. Comme dans ce cas il n'y aucun anti-groupement réel aux courtes distances, la com-paraison de cet histogramme avec celui de la gure 6.13 nous permettra de distinguer les eets dus à notre algorithme de recherche des minima et les eets reliés aux corrélations entre vortex voisins.
Images simulées avec vortex
Nous avons vu à la section 6.3.2 comment construire des images simulées de nuages sondés en temps de vol où la distribution de densité n(pot)(r) reproduit uniquement les variation dues au potentiel de piégeage. Nous avons à nouveau appliqué cette procédure dans l'étude que nous présentons ici en introduisant en plus des vortex arti ciels. Pour simuler la présence d'un vortex en un point r0, nous multiplions n(pot)(r)par la distribution de densité :
nvx(r) = 1− Cvx 1− tanh2 |r − r0| ˜ ξ , (6.6)
où le contraste Cvx associé au vortex et la taille ˜ξ sont des paramètres ajustables.
Pour chaque image on introduit ainsi un certain nombre de vortex dont les positions sont obtenues par un tirage aléatoire suivant une loi de probabilité uniforme dans la partie centrale du nuage. Le nombre de vortex introduit dans chaque image est lui aussi tiré aléatoirement et suit une loi de probabilité poissonnienne centrée sur un nombre moyen Nvx = 7. La gure 6.14 représente quelques exemples d'images simulées avec des vortex.
A n de produire un histogramme de référence que nous pouvons comparer directement à l'histogramme de la gure 6.13, nous préparons 20 lots de données simulées qui correspondent
6.4 Corrélations entre défauts de phase en expansion 153
a)
20 µm
b) c)
Figure 6.14 Images avec vortex simulées. Les vortex peuvent être introduits avec une taille ˜
ξ et un contraste Cvx variables. Ici Cvx = 0.5. (a) Image avec des petits vortex : ˜ξ = 1.2 µm qui correspond au rayon attendu pour un TdV de 1 ms. (b)-(c) Images avec des gros vortex : ˜
ξ = 2.2 µm ce qui correspond au rayon attendu pour un TdV de 3.5 ms. L'image c) est un cas spécial. Les vortex sont regroupés à droite du nuage ; cette situation n'est jamais rencontrée dans les images expérimentales.
chacun à la série de données expérimentales en nombre d'images et de vortex. À partir des posi-tions des minima déterminées sur ces lots de données simulées, nous établissons un histogramme moyen des corrélations entre premiers voisins.
Premiers résultats
La gure 6.15 montre la comparaison de l'histogramme expérimental avec trois histo-grammes obtenus à partir de données simulées. Chacun des trois graphiques correspond à des données simulées qui dièrent par les paramètres (Cvx, ˜ξ) de la distribution nvx(r) (Eq. 6.6). Hormis cette diérence, les autres paramètres des simulations sont identiques. Les positions des vortex sont tirées dans la région centrale telle que r ≤ 10 pixels, le contraste seuil pour la re-cherche des minima vaut Cseuil= 0.25, comme pour les images expérimentales.
Les histogrammes simulés des graphes 6.15a et 6.15b correspondent à la même taille de vortex ˜
ξ = 2.4 µm et dièrent par le contraste des vortex : Cvx = 0.4 et Cvx = 0.5 respectivement. Les histogrammes simulés 6.15b et 6.15c dièrent par la taille des vortex qui vaut ˜ξ = 1.75 µm dans ce dernier cas. Les tailles considérées sont voisines des tailles extrêmes déterminées dans nos simulations d'évolution de vortex (cf gure 6.5b).
Dans les trois cas que nous avons présenté gure 6.15, la comparaison avec l'histogramme expérimental montre un décalage des histogrammes simulés vers les courtes distances. Cet eet est très marqué pour des tailles de vortex de ˜ξ = 2.4 µm (graphes 6.15a et 6.15b) et semble peu sensible au contraste Cvx. Pour ˜ξ = 1.75 µm (graphe 6.15c) cet eet est plus marginal, mais nous voyons tout de même une diérence signi cative à dmin ∼ 3 pixels. Ces résultats semblent donc indiquer que l'eet d'anti-groupement des défauts de phases est bien réel.
À ce stade de l'étude, nous ne pouvons pas apporter un verdict dé nitif sur cette question d'anti-groupement. Nous nous restreindrons toutefois aux résultats présentés ici par manque de temps. Nous terminerons ce chapitre en décrivant les études actuelles et les prolongements envisagés pour fournir une étude comparative aussi pertinente que possible entre les histogrammes simulés et l'histogramme expérimental.
0 20 40 60 0 5 10 15 Premiers v oisins dmin en pixels Cvx= 0.40 – ˜ξ = 2.4 µm a) 0 5 10 15 dmin en pixels Cvx= 0.50 – ˜ξ = 2.4 µm b) 0 5 10 15 dmin en pixels Cvx= 0.50 – ˜ξ = 1.75 µm c)
Figure 6.15 Histogramme de corrélations entre premiers voisins : comparaison entre expérience (barres évidées bleues) et simulation (ligne continue noire). Les trois histogrammes simulés dif-fèrent par les paramètres des vortex arti ciels introduits dans les images. Les simulations des graphes (a) et (b) dièrent par le contraste Cvx des vortex. Celles des graphes (b) et (c) par le rayon ˜ξ des vortex. Dans les trois cas les histogrammes simulés sont décalés vers la gauche. Ceci indique que l'anti-groupement est bien réel.
Prolongements
Les études en cours ainsi que les prolongements de cette analyse ont pour but de créer des lots de données simulées aussi proches que possible des données expérimentales.
Actuellement, une nouvelle solution est exploitée pour modéliser les trous de densité créés par les défauts de phases. Les premiers résultats que nous venons de présenter ont été obtenus en modélisant les trous de densité par la distribution de densité heuristique nvx(r)de l'équation (6.6). Si cette description constitue une assez bonne approximation pour les vortex individuels, elle est moins adaptée pour décrire une paire de vortex-antivortex en cours d'annihilation. La méthode actuelle consiste à utiliser la distribution de densité nvxa(r) de paires en cours d'an-nihilation obtenue à partir des simulations numériques que nous avons évoquées à la n de la section 6.3.2.
En n voici une brève description des ra nements qui sont envisagés dans un avenir proche. • Taille de vortex variable. Dans l'étude précédente nous avons utilisé une même taille de vortex pour chaque lot de données. Nous pouvons rendre les données simulées plus dèles aux données expérimentales en adaptant la taille ˜ξ en fonction : (i) de la densité atomique n(pot)(r0)où est tiré le vortex, (ii) du temps de vol supposé de l'image simulée25.
• Distinguer vortex individuels et paires. Dans les études présentées ici et les études en cours que nous venons de mentionner, nous avons simulé les trous de densité soit en utilisant la forme nvx(r)de l'équation (6.6) soit en utilisant la solution numérique nvxa(r) d'une paire qui s'annihile. Nous pouvons appliquer les deux méthodes simultanément en