Réduction des uctuations de densité

priori pas adaptée car le passage de T = 0 à T 6= 0 s'accompagne de uctuations thermiques qui détruisent l'ordre à longue portée caractérisé par Ψ0. C. Mora et Y. Castin [23,80] ont cependant montré que ce traitement reste justié à 2D, ce qui repose sur le fait que l'on peut dénir un paramètre d'ordre local, dès lors que l'ordre n'est détruit qu'à grandes distances. Les auteurs de [45] ont mené une étude analytique dans ce sens que nous allons détailler ici.

On considère une assemblée d'atomes évoluant dans une boîte bi-dimensionnelle de côté L avec des interactions de contact. L'hamiltonien décrivant le système est alors donné par :

H = ^~ 2 2m Z (∇Ψ^∗(r))(∇Ψ(r))d²r+^g 2 Z (Ψ^∗(r))²(Ψ(r))²d²r, (1.46) où Ψ(r) est la fonction d'onde décrivant le système dans son ensemble. Pour rendre compte des uctuations thermiques, on dénit d'une part une phase locale θ(r) telle que Ψ(r) = |Ψ(r)|eiθ(r), et on introduit d'autre part le paramètre η tel que :

|Ψ(r)|² = n(1 + 2η(r)). (1.47)

Les uctuations de densité étant supposées faibles et le nombre de particules constant, on a η  1 et R η(r)d2r= 0. Compte tenu de ces approximations, on obtient, à une constante additive près :

H = ^~ 2 2mⁿ Z (∇θ(r))²d²r+ Z  ~² 2m^{n (}∇η(r))²+ 2gn²(η(r))²  d²r. (1.48)

En exprimant θ(r) et η(r) sous la forme de développement de Fourier, on a : θ(r) =^X

k

c_ke^ik·r, η(r) =^X

k

d_ke^ik·r, (1.49)

où l'on a introduit la variable k = 2π

L(j_x, j_y), jx et jy étant des entiers car on considère pour le moment une boite de taille nie. De plus, θ(r) et η(r) étant des fonctions réelles, on a c∗

k = c−k

et d∗

k= d−k, ce qui conduit à l'hamiltonien : H = nL^2X k  ~²k² 2m |ck|²+  ~²k² 2m ^{+ 2gn}  |dk|²  . (1.50)

Dans ce traitement, les coecients cket dksont des variables conjuguées puisqu'ils correspondent respectivement aux coecients de Fourier de la phase et des uctuations de densité. De plus, ils apparaissent dans l'hamiltonien (1.50) comme des degrés de liberté quadratique. On a donc pour chaque valeur de k un hamiltonien de type oscillateur harmonique. En appliquant le théorème du viriel24, on a donc :

h|dk|2i h|ck|2i ⁼

~²k²/2m

~²k2/2m + 2gn^. (1.51)

On peut alors distinguer des comportement diérents dans les régimes asymptotiques de k : (

h|dk|2i  h|ck|2i si k → 0

h|dk|2i = h|ck|2i si k → ∞ ^, (1.52)

24. Pour un hamiltonien du type Hosc= mω²x²

2 + p²

et on voit en particulier que pour les modes de basse énergie les uctuations thermiques sont dominées par les uctuations de phases. Comme ces modes correspondent à des grandes longueurs d'onde, l'hypothèse de départ selon laquelle il existe un ordre local n'est pas remise en cause.

Cette analyse permet également d'estimer les uctuations de densité. Celles-ci sont caracté-risées par la variance :

σ²_n=hn²(r)i − hn(r)i² =hn²(r)i − n², (1.53) où h...i est la moyenne d'ensemble et n = hn(r)i. En incorporant l'expression de la densité (1.47) dans la dénition (1.53), on obtient :

σ²_n

n2 ≈ 4η = 4^X

k

|dk|². (1.54)

En première approximation, on peut ignorer les particules d'énergie supérieure à kBTet appliquer le théorème d'équipartition au second terme de l'équation (1.50), ce qui donne pour chaque valeur de k : nL²  ~²k² 2m ^{+ 2gn}  h|dk|²i = ^kB₂^T. (1.55)

Si on se limite au cas où l'énergie d'interaction gn est petite devant kBT, qui est la situation rencontrée dans la plupart des expériences, on peut borner supérieurement les modules des vecteurs d'onde par kT ∼ ^√mkBT

~ . L'équation (1.54) se met alors sous la forme : σ²_n n2 ≈ 4^X k h|dk|²i ≈^{ L} 2π 2Z k<kT k_BT /2 nL2(~2k2/2m + 2gn)^d 2k, (1.56) ce qui donne25 : σ2 n n2 ≈ ² nλ²_T ^ln  kBT 2gn  . (1.57)

On voit donc que lorsque le rapport kBT /gn n'excède pas quelques unités, les uctuations de densités sont fortement réduites pour D = nλ2

T 1.

1.3.2 Théorie de Prokof'ev et Svistunov pour les uctuations de densité

An de décrire le régime dans lequel les uctuations de densité sont fortement réduites mais les uctuations de phases encore présentes, Prokof'ev et Svistunov introduisent [100] la notion de quasi-condensat26, dont la densité est donnée par :

n_Q≡p2n2− hn(r)2i, (1.58)

où n est la densité moyenne totale. Dans le régime faiblement dégénéré, où les interactions sont négligeables, on a des uctuations gaussiennes telles que hn(r)2i = 2n2 et donc nQ = 0. En revanche, dans le régime fortement dégénéré les interactions conduisent à la suppression des uctuations de densité et l'on a hn(r)2i = n², soit nQ= n.

25. On néglige ici un terme additif qui vaut 1 dans le logarithme.

26. Nous insistons sur le fait que cette notion n'est pas reliée aux propriétés de phase mais uniquement aux uctuations de densité.

1.3 Réduction des uctuations de densité 33

Dans la référence [101] citée plus haut pour le calcul numérique de l'équation d'état, Prokof'ev et Svistunov fournissent également une prédiction pour la densité du quasi-condensat sous la forme :

n_Q= ⁴

λ²_T^g(X), (1.59)

où X est dénie dans l'équation (1.29) et g(X) une fonction tabulée. En introduisant la quantité D_Q ≡ nQλ²_T, qui correspond à la densité dans l'espace des phases associée au quasi-condensat, on peut exprimer les uctuations relatives sous la forme suivante :

σ2 n n2 = ⁿ 2− n2 Q n2 = 1−^D 2 Q D2. (1.60)

Cette quantité varie donc entre 0 et 1 : elle prend sa valeur maximale dans le régime faiblement dégénéré de HartreeFock, et sa valeur minimale dans le régime de ThomasFermi, où la den-sité quasi-condensée coïncide avec la denden-sité totale. Les simulations de Prokof'ev et Svistunov permettent de calculer numériquement σ2

n/n² dans la région intermédiaire pour toute valeur de ˜

g 1. La gure 1.3 représente les uctuations relatives de densité en fonction de la densité dans l'espace des phases.

0 0.5 1 0.1 1 10 100 σ 2 n/n 2 D

Fluctuations relatives de densité

Prokof’ev et Svistunov (˜g = 0.1) Transition BKT Hartree–Fock Thomas–Fermi

Figure 1.3  Fluctuations relatives de densité en fonction de la densité dans l'espace des phases. Les lignes épaisses horizontales correspondent aux régimes asymptotiques de HartreeFock (en noir) et de ThomasFermi (en rouge). La ligne bleue est prédiction de Prokof'ev et Svistunov [101] pour ˜g = 0.1 qui est valable dans la région critique. La zone grisée représente la zone de transition entre des uctuations maximales et des uctuations complètement gelées. La ligne verticale en tirets-pointillés indique le point de transition superuide [101] pour ˜g = 0.1.

Les lignes horizontales noire et rouge correspondent aux limites asymptotiques de Hartree Fock et de Thomas-Fermi. La courbe en trait bleu est le résultat des simulation Monte-Carlo pour ˜

que lorsque D est de l'ordre de quelques unités, les uctuations de densité sont considérablement réduites et tendent continûment vers zéro lorsque D augmente. Ce résultat est donc en accord qualitatif avec l'estimation plus naïve obtenue à la section précédente.

Nous verrons à la section 1.4 que Prokof'ev et Svistunov prédisent que la transition superuide se produit lorsque D atteint la valeur critique Dc≈ 8.2 (pour ˜g = 0.1). Ce point de transition est indiqué sur la gure 1.3 par la ligne verticale en tirets-pointillés et nous voyons que la réduction des uctuations de densité survient bien avant la transition superuide. Au point de transition, la valeur précise de la fraction quasi-condensée est donnée par la relation générale [100] :

n_Q

n ⁼

7.16 Dc

, (1.61)

ce qui donne nQ/n≈ 0.87 pour ˜g = 0.1.

Les résultats de ces simulations indiquent qu'à l'approche de la transition, le gaz entre dans une phase où les uctuations sont fortement réduites. Cette phase, qui peut être qualiée de milieu pré-superuide, constitue une étape indispensable au processus microscopique conduisant à la transition superuide.