Température critique de transition

L'équation nsλ²_T = 4est remarquable par son caractère universel, mais ne permet de pas de prédire la température de transition Tcpour un système donné avec une densité totale n et une force d'interaction ˜g données. Fisher et Hohengerg [35] ont montré, par un calcul analytique, que dans la limite ˜g  1, la transition se produit lorsque la densité dans l'espace des phases atteint la valeur critique : D_c= ln C ˜ g  , (1.69)

où C est une constante universelle. Prokof'ev et Svistunov [100] ont déterminé cette constante à une très bonne précision par des simulations de type Monte-Carlo classique qui donnent C = 380± 3. Prokof'ev et Svistunov fournissent également une valeur du potentiel chimique critique µ_c qui est donné par la relation :

α_c= ^g˜ π ^ln  Cµ ˜ g  où αc≡ _k^µc BT ^, (1.70) avec Cµ= 13.2± 0.4.

Chapitre 2

Imagerie non saturante de nuages

denses

Avant de décrire nos études expérimentales sur les gaz de Bose à deux dimensions, nous allons présenter dans ce chapitre une étude théorique portant sur la propagation d'un photon à travers un gaz atomique dense de faible épaisseur dans la direction de propagation.

Les mesures eectuées sur des gaz d'atomes froids reposent généralement sur un diagnostic optique. La méthode la plus courante est l'imagerie par absorption. Elle consiste à envoyer sur un gaz atomique un faisceau laser accordé sur la transition atomique et à projeter l'ombre ainsi créée sur une caméra. Dans nombre de situations rencontrées dans les expériences, l'interaction entre le faisceau sonde et le gaz atomique peut être traitée en considérant que chaque atome répond individuellement à l'impulsion lumineuse. Il existe alors une relation simple entre l'atténuation du faisceau enregistrée sur la caméra et la distribution atomique du nuage : la loi de BeerLambert. L'étude que nous présentons ici est motivée par des mesures expérimentales récentes [103] sur des gaz bi-dimensionnels, où nous avons observé un décit signicatif de la densité optique mesurée par rapport au résultat attendu par la loi de BeerLambert. Une des causes possibles de cette déviation est la présence d'eets collectifs entre atomes voisins durant l'imagerie. En particulier, les interactions induites par la lumière entre deux atomes proches peuvent jouer un rôle important dans un gaz dense lorsqu'il est traversé par un faisceau laser résonnant de faible intensité.

La propagation de la lumière cohérente dans un milieu atomique dense a été l'objet de nombreuses études (voir [6] par exemple pour une description d'ensemble). Dans ce chapitre, nous présentons un traitement quantitatif microscopique des eets collectifs qui ont lieu lorsqu'un faisceau sonde de faible intensité interagit avec un échantillon atomique 2D. Des approches similaires à celles que nous présentons ici ont été appliquées pour étudier la propagation d'un faisceau laser dans un échantillon atomique 3D de petite taille en présence de diusion multiple [5, 38, 82, 111, 113]. Cependant, l'extension de ce type d'études au cas 2D ne gure pas dans la littérature.

Après avoir situé le contexte de notre étude, nous entrerons dans le vif du sujet à la section 2.2 en décrivant l'hamiltonien modélisant l'interaction entre un photon et une assemblée de N atomes. Nous expliquons ensuite dans la section 2.3 le calcul de l'atténuation d'un faisceau sonde à la traversée d'une ne tranche atomique. Nous y présenterons deux approches équivalentes :

(i) la première utilise le formalisme usuel de matrice T pour la théorie de la diusion ; (ii) la seconde approche est basée sur le calcul du champ rayonné par une assemblée de N dipôles, où le mouvement de chaque dipôle est inuencé par le champ rayonné par les N − 1 autres dipôles. Nous verrons que dans les deux cas, la réponse optique du milieu atomique peut être calculée en résolvant le même système linéaire de 3N équations, que nous pouvons résoudre numériquement. Nous présenterons l'ensemble de nos résultats numériques dans la section 2.4. Enn nous terminerons sur quelques remarques générales en section 2.5.

2.1 Cadre de l'étude

La mesure de la densité spatiale n(r) d'un nuage repose sur l'interaction entre les atomes et un faisceau laser quasi-résonant avec une des transitions atomiques. La méthode la plus utilisée dans le domaine des atomes froids est l'imagerie dite par absorption. Elle consiste à projeter sur une caméra l'ombre du nuage atomique sur lequel on envoie un faisceau sonde de faible intensité1. Modèle simple et loi de BeerLambert

Dans sa version la plus simple, la modélisation de l'imagerie par absorption suppose que la réponse de chaque atome à l'impulsion lumineuse est indépendante de la présence des autres atomes. La densité atomique peut alors être reliée de façon simple à l'atténuation du faisceau sonde If/Ii, où If et Iisont les intensités sortante et entrante respectivement. Cette relation est donnée par la loi de BeerLambert qui relie la densité optique DO(x, y)≡ − ln[If(x, y)/I_i(x, y)] à la densité atomique sous la forme :

cas (3D) : − ln^{ I}_I^{f(x, y)} i(x, y)  = σ˜n(x, y) (2.1) cas (2D) : − ln^{ If(x, y)} Ii(x, y)  = σn(x, y) (2.2)

où nous avons distingué les cas tri-dimensionnel (3D) et bi-dimensionnel (2D). Dans le cas 3D, l'atténuation du faisceau est reliée à la densité intégrée ˜n(x, y) ≡ R n(r) dz le long de l'axe de propagation (Oz) du faisceau tandis qu'elle reliée directement à la densité surfacique2 _{n(x, y)}à 2D. Le coecient σ qui entre dans les équations (2.1-2.2) est la section ecace d'absorption qui caractérise le processus d'interaction entre un atome et le faisceau sonde. La loi de BeerLambert suppose que σ est indépendant de l'intensité incidente Iidu faisceau sonde, ce qui est valable dans le régime de faible intensité. Plus précisément, pour une transition atomique à deux niveaux de pulsation ω0 et de largeur naturelle Γ, la section ecace d'absorption s'écrit :

σ = ^σ0

1 + 4∆2/Γ2+ I_i/I_sat^, (2.3)

1. (i) L'intensité est comparée à l'intensité de saturation Isat que nous dénirons plus loin, (ii) Le régime d'intensité forte est aussi utilisé [59, 105, 121] mais ce régime correspond à un développement récent dans le domaine. Ce sujet fera l'objet du chapitre 3.

2. Ceci représente un des avantages des systèmes de basse dimension où l'on accède directement à la densité locale.

2.1 Cadre de l'étude 41

où ∆ = ωL− ω0 est le désaccord, ωL étant la pulsation du laser. L'intensité de saturation Isat et et σ0 sont dénies par :

σ₀ = ^3λ 2 0 2π ^{, Isat =} ~ω³Γ 12πc2 = ^~ω σ₀(Γ/2)^. (2.4)

La section ecace est donc indépendante de l'intensité dans le régime faiblement saturant où I_i Isat, qui est le régime de l'imagerie par absorption traditionnelle. L'expression générale de la densité optique dans le cadre de validité de la loi de BeerLambert s'écrit donc :

DBL= ^σ0n

1 + 4∆2/Γ2 (2.5)

où la densité surfacique n doit être remplacée par la densité intégrée ˜n dans le cas d'une épaisseur `z non nulle.

Limitations

L'imagerie par absorption non saturante n'est cependant pas toujours adaptée. C'est par exemple le cas pour des nuages 3D sondés à l'équilibre. Lorsque l'on sonde un nuage d'épaisseur `z dans la direction de propagation du faisceau et qui se trouve dans le régime dégénéré, i.e. n^(3D)λ³_T  1 où λT ≡p2π~2/mk_BT la longueur d'onde thermique, la densité optique est telle que σ0˜n∼ λ2

0`_z/λ3

T(à résonance). Or pour les paramètres expérimentaux typiques λT ∼ λ0 dans le régime de dégénérescence3, et nous avons σ0n˜∼ `z/λ<sub>0</sub>. Par conséquent, dès lors que l'épaisseur de nuage `z est très grande devant λ0, l'atténuation du faisceau est très grande et If est réduit au niveau du bruit de grenaille photonique. Dans ce cas, il est préférable de recourir à l'imagerie par contraste de phase en utilisant un faisceau fortement désaccordé [67], ou à l'imagerie par absorption fortement saturante [105]. À basse dimension les densités optiques sont notablement plus faibles qu'à 3D mais il y a dans ce cas aussi une importante limitation à l'imagerie non saturante. En particulier, à deux dimensions pour une densité optique σ0n = 1, la distance inter-atomique n'est que de 0.7λ0 et l'on s'attend dans ces conditions à ce que la réponse optique de chaque atome du milieu dévie signicativement de celle d'un atome isolé. Pour des milieux très denses, la probabilité qu'un photon émis par un atome dans l'état excité soit réabsorbé par un atome voisin est non négligeable. Ce phénomène d'échange de photons dans le gaz atomique peut donner lieu à des interactions dipôle-dipôle qui se produisent entre un atome excité et un atome dans le niveau fondamental, lorsqu'ils sont séparés par une distance r susamment petite. Ces interactions s'accompagnent d'un déplacement des niveaux d'énergie proportionnel à ~Γ/(k0r)³ (k0 = 2π/λ₀). Les densités spatiales obtenues dans les gaz 2D en laboratoire atteignent n ∼ 10σ0

et ces interactions dipôle-dipôle peuvent donc conduire à des déplacements bien plus grands que ~Γ. Par conséquent, la réponse atomique à résonance (∆ = 0) est réduite par rapport à ce que l'on attend de la loi de BeerLambert (DO6= σ0n) et la raie d'absorption est modiée par rapport à la raie lorentzienne prédite par la relation (2.5). Cette réduction de détectivité a été observée dans notre groupe [103, 121] sur des nuages quasi-2D denses de87Rb. Dans le prolongement de cette observation, nous présentons ici une étude théorique du processus d'interaction entre un

faisceau sonde de faible intensité et un gaz 2D (ou de faible épaisseur `z) en prenant en compte les eets collectifs liés à la diusion multiple.

Prise en compte des eets collectifs : position du problème

Pour traiter cette question, nous considérons un ensemble de N atomes au repos ayant une position aléatoire dans un plan ou dans une tranche de faible épaisseur, et nous nous intéressons à la probabilité de transmission d'un faisceau sonde quasi-résonant en incidence normale sur cet échantillon atomique. La structure interne de l'atome est modélisée par une transition du type J_f = 0↔ Je= 1où les indices (f) et (e) font respectivement référence aux états fondamental et excité. Bien que dans les expériences les transitions sont en général plus complexes (Jf = 2 ↔ Je = 3 pour le 87Rb par exemple dans [103, 121]), nous avons choisi de traiter ici le cas d'une transition Jf = 0↔ Je= 1qui simplie grandement les calculs. Nous nous attendons néanmoins à ce que l'essentiel des eets physiques liés aux comportements collectifs des atomes vis-à-vis d'un faisceau sonde soient contenus dans ce modèle simplié4.