Imagerie d'un gaz atomique étendu

Nous nous intéressons ici à la relation entre l'atténuation d'un faisceau sonde à la traversée d'un nuage atomique étendu et la densité atomique.

Section ecace d'absorption

La section ecace d'absorption d'un atome soumis à un ux de photon Φ est reliée au taux de diusion de photons par l'atome par la relation :

γ = Φσ, (3.1)

où le ux Φ est le nombre de photons par unité de surface et de temps. Pour un faisceau incident d'intensité I et de pulsation ω, on a Φ = I

~ω et : σ = ^~ω

3.1 Formalisme 63

Par ailleurs, on sait des équations de Bloch optiques que le taux de diusion de photons par un atome à deux niveaux soumis à un faisceau laser résonnant d'intensité I est donné par :

γ = ^Γ 2

I/Isat

1 + I/I_sat ^, (3.3)

où Γ est la largeur naturelle du niveau excité et Isat l'intensité de saturation. On peut donc en déduire l'expression de la section ecace à partir de l'équation (3.2), ce qui donne :

σ = ^σ0

1 + I/Isat

avec σ₀ = ^~ω 2Isat

Γ , (3.4)

Bien que la structure interne d'un atome réel soit plus complexe, il est possible de se ramener à une situation proche de ce modèle simple. Pour cela il sut de se mettre dans la conguration d'une transition cyclante, typiquement | F = 2, mF = 2i ↔ | F = 3, mF = 3i pour le 87Rb, en utilisant une polarisation circulaire (σ±). Dans ce cas, nous avons les expressions simples suivantes : Isat= ^~ω 3Γ 12πc2, σ0 = ^3λ 2 2π ^. (3.5)

Dans toute la suite, nous considérerons ces valeurs lorsque nous ferons référence à Isat et σ0

respectivement.

La situation rencontrée dans les expériences est toutefois plus complexe. Typiquement, en raison de la présence de champs magnétiques de piégeage ou de la géométrie spécique de l'expé-rience, il n'est pas toujours possible de reproduire le modèle simple que nous venons de décrire. En particulier, le processus d'absorption met alors en jeu diérentes congurations de polari-sation (σ± et π). Pour prendre en compte ces eets, nous introduisons de façon heuristique le paramètre α∗associé à une intensité de saturation eective α∗I_sat. Le taux de diusion de photon s'écrit alors :

γ = ^Γ 2

I/I_sat

α∗+ I/I_sat^, (3.6)

ce qui correspond à la section ecace eective

σ = ^σ0

α∗+ I/Isat

. (3.7)

Dans le régime non saturant (I  α∗Isat) la section ecace est indépendante de l'intensité comme dans le cas de l'atome à deux niveaux, et vaut σ0/α^∗ où le facteur 1/α∗ donne lieu à un élargissement de la raie d'absorption. À la limite opposée (I  α∗I_sat), on a σ ≈ Isatσ₀/I et le taux de diusion sature à la valeur Γ/2.

Loi de BeerLambert

La relation entre la densité atomique et le nombre de photons absorbés est traditionnellement donnée par la loi de BeerLambert qui décrit de façon satisfaisante un grand nombre de situa-tions rencontrées dans les expériences d'atomes froids. Nous allons en reprendre ici la dérivation traditionnelle qui nous sera utile tout au long de cette section.

Considérons un échantillon atomique sur lequel on envoie un faisceau lumineux d'intensité uniforme Ii le long de l'axe (Oz) comme illustré sur la gure 3.1. Nous nous intéressons au cas

δz

z x

y ^{Ii If}

Nuage d'atomes

Figure 3.1  Imagerie par absorption d'un nuage étendu. Un faisceau d'intensité Ii s'atténue progressivement lors de sa propagation dans le nuage. Quelle est la relation entre l'atténuation If/Ii et la densité intégrée du nuage dans la direction de propagation (Oz) ?

d'un nuage dilué tel que kL_d¯ 1, où kL = 2π/λ2 est le vecteur d'onde associé au faisceau et ¯

dest la distance inter-atomique moyenne. Sous ces hypothèses, nous pouvons considérer chaque atome comme un objet absorbant classique et négliger les eets collectifs comme la diusion multiple, les interactions assistées par la lumière ou autres eets quantiques tels que la diusion stimulée par la statistique bosonique [97].

En se propageant dans le nuage, l'intensité du faisceau va décroître progressivement, et nous cherchons à déterminer l'expression de l'intensité en sortie du milieu atomique. Pour cela, isolons par la pensée une ne tranche du nuage δz dans la direction de propagation (Fig. 3.1). Le décit d'intensité dû à la traversée de cette tranche est donné par1 :

I(x, y, z + δz)− I(x, y, z) = −I(x, y, z) σ n^(3D)(x, y, z) δz. (3.8) Notons que nous traitons le cas général d'une densité atomique non uniforme n(x, y, z), ce qui implique que l'intensité à l'intérieur du milieu dépend des trois coordonnées de l'espace. À limite δz→ 0, on aboutit à l'équation diérentielle :

dI(x, y, z) =−I(x, y, z) σ n^(3D)(x, y, z) dz. (3.9) Dans le cas où le faisceau est non saturant, nous avons vu que la section ecace est indépendante de l'intensité, et l'équation diérentielle (3.9) s'intègre alors aisément et donne :

σ Z +∞ −∞ n^(3D)(x, y, z) dz =− ln^{ If(x, y)} Ii  , (3.10)

où nous retrouvons la relation de BeerLambert introduite au chapitre 2 qui permet de relier directement le décit de photons après la traversée du nuage à la densité intégrée le long de l'axe d'imagerie. Le fait est que cette relation est adaptée à l'imagerie d'un nuage atomique dilué sondé par un faisceau non saturant. Or, dans de nombreuses expériences, on est fatalement amené à

1. Notons que cette égalité (3.8) suppose implicitement que le système est dilué. En eet, nous considérons ici que chaque atome en (x, y, z) voit une intensité I(x, y, z) ce qui suppose que les atomes ne se recouvrent pas. Ceci n'est vrai que si la distance inter-atomique moyenne est très grande devant le rayon de la section ecace pσ/π, ce qui est consistant avec la condition kL_{d  1}¯ .

3.1 Formalisme 65

utiliser des intensités plus élevées. Typiquement si le nuage atomique, bien que dilué, est très épais dans la direction de propagation du faisceau, il faut envoyer susamment de photons pour le sonder sur toute son étendue. C'est dans cet esprit que Reinaudi et al. [105] ont développé et mis en ÷uvre une méthode d'imagerie à intensité saturante.

Imagerie à haute intensité

Nous allons reprendre ici la modélisation de l'interaction d'un faisceau saturant avec un atome telle qu'elle a été proposée dans [105]. On part de l'équation (3.9) pour laquelle nous n'avons imposé aucune contrainte sur l'intensité du faisceau sonde. On y injecte l'expression générale de σ donnée par l'équation (3.7), et en intégrant on trouve :

σ₀ Z +∞ −∞ n^(3D)(x, y, z) dz =−α^∗ln If(x, y) Ii  +^Ii− If(x, y) Isat | {z } ≡dO(x,y) . (3.11)

ce qui constitue une forme généralisée de la relation de BeerLambert, valable à haute intensité. La quantité dO(x, y) qui apparaît au seconde membre interviendra tout au long de ce chapitre et nous la nommerons la densité optique généralisée.

À la limite de très faible intensité Ii  α^∗I_sat, le second terme dans le second membre de l'égalité (3.11) est négligeable et on retrouve la loi de BeerLambert (Eq. 3.10). Dans la limite opposée Ii α^∗I_sat, la conclusion est moins immédiate et dépend du nombre de photons absorbés. Si l'on pose δI = Ii− If, la densité optique généralisée s'écrit :

d_O=−α^∗ln  1− ^δI Ii  + ^δI Isat , (3.12)

où nous omettons d'indiquer la dépendance en (x, y) par commodité. Dans le cas où l'absorption est faible, c'est-à-dire δI  Ii, on obtient l'expression approchée :

d_O≈ δI^{ α}_I^∗ i + ¹ I_sat  , (3.13)

ce qui dans la limite Ii  α^∗I_sat donne dO ≈ δI/Isat. Le second terme du second membre de l'égalité (3.11) est donc dominant. Cette conclusion n'est évidemment pas vrai pour δI/Ii

quelconque. Pour clarier ce point, il est commode de distinguer les deux termes contribuant à la densité optique généralisée en posant :

d^(b)_O =−α^∗ln If

I_i 

et d^(h)_O = ^Ii− If

I_sat ^, (3.14)

qui correspondent aux termes dominants à basse intensité et haute intensité respectivement. En pratique, l'absorption relative δI/Ii à haute intensité peut aller jusque ∼ 30% pour les mesures que nous présenterons ici et α∗ ∼ 3. Nous avons tracé sur la gure 3.2, les poids relatifs de d^(b)_O et d(h)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 δI Ii Poids relatifs de d^(h)_O et ded^(b)_O 10Isat 50Isat 100Isat d^(b)_O /dO d^(h)_O /dO

Figure 3.2  Poids relatifs de d(h)

O (lignes continues) et d(b)

O (lignes tiretées) en fonction de l'absorption relative δI/Ii. Nous comparons la contribution de chaque terme pour trois valeurs de l'intensité incidente, correspondant à : Ii/Isat = 10, 50 et 100 (lignes rouge, bleue et noire respectivement). La contribution de d(b)

O est calculée pour α∗ = 3.