Calibrations pour l'imagerie haute intensité

Nous allons à présent décrire la procédure de calibration de l'imagerie à haute intensité en appliquant la procédure développée par Reinaudi et al. [105]. Avant cela, nous allons caractériser l'eet des champs magnétiques de piégeages utilisés dans notre expérience sur la détectivité pendant la phase d'imagerie.

Inuence du piégeage magnétique

L'étude des distributions d'équilibre de nuages atomiques nécessitant d'acquérir des images in situ, c'est-à-dire avec les champs magnétiques de piégeage allumés, l'inuence de ces derniers doit être prise en compte dans le processus d'absorption entre le faisceau sonde et les atomes.

Le piégeage magnétique au niveau de la cellule est assuré par un piège TOP (Time-averaged orbiting Potential) [90], combinant un piège quadrupolaire d'axe vertical (Oz) et un champ ma-gnétique homogène tournant dans le plan horizontal. Le piège quadrupolaire est constitué d'une paire de bobines circulaires d'axe vertical, disposées en conguration anti-Helmoltz (Fig.3.4). Le champ tournant est produit à l'aide de deux paires de bobines d'axes (Ox) et (Oy) respecti-vement (Fig. 3.4) en conguration Helmotlz. Dans chaque paire de bobines circule un courant d'amplitude sinusoïdale de fréquence 10 kHz, l'un étant en quadrature de phase par rapport à l'autre, créant ainsi un champ magnétique tournant d'amplitude B0avec une période de rotation de 100 µs. Durant la séquence expérimentale, le gradient vertical prend des valeurs allant de ∼ 160 G/cm à ∼ 90 G/cm et B0 varie entre ∼ 10 G et ∼ 3 G, les dernières valeurs indiquées étant celles en n de séquence expérimentale.

L'inuence du piège quadrupolaire dans le processus d'imagerie est négligeable. En eet, nos nuages ayant une taille typique de 50 µm, les atomes les plus éloignés du centre du piège ressentent un champ de l'ordre de 0.1 G seulement. De même, le déplacement vertical des atomes dû à la gravité est de l'ordre de 50 µm et le champ ressenti est là aussi négligeable. En revanche, le champ tournant est susamment fort pour orienter le spin des atomes (le principe du piège TOP repose sur cela). Par conséquent lorsque le faisceau sonde vertical, qui est de polarisation linéaire, arrive sur les atomes, ceux-ci ressentent une polarisation qui dépend du temps. La section ecace d'absorption oscille donc entre deux valeurs extrêmes, l'une correspondant à l'absorption d'une superposition de photons σ+ et σ− et l'autre à l'absorption de photons π. Cela signie que le paramètre α∗ qui rentre dans le calcul de la densité optique généralisée dO (Eq. 3.11 ) prend une valeur diérente à chaque position du champ sur une demi-période.

An de caractériser la détectivité, nous avons pris des images de nuages thermiques tridimen-sionnels à des instants diérents de la rotation du champ tournant. L'impulsion lumineuse est

choisie de façon à être nettement plus courte que la période de rotation et dure 10 µs. L'intensité est de l'ordre de 1.5 Isat. Pour chaque image nous calculons le nombre d'atomes détectés à partir de la densité optique généralisée dO calculée avec α∗ = 3.0 (10). La gure 3.10 représente le nombre d'atomes eectif en fonction de l'instant de mesure. La ligne continue rouge est un ajus-tement par une fonction sinusoïdale de période 50 µs, soit la demi-période du champ tournant. La tendance du nombre d'atomes est donc en bon accord avec la description faite plus haut.

0.6 0.8 1 25 50 75 100 Nom bre d’atomes (u.a) temps enµs

Figure 3.10  Nombre d'atomes détecté en fonction de l'instant de la mesure. La ligne rouge est un ajustement avec une fonction sinusoïdale de période 50 µs, soit la demi-période du champ tournant. Ces variations de la détectivité sont la conséquence d'eets de polarisation dans le processus d'image-rie.

Cette observation montre qu'il faut en général être vigilant sur la synchronisation de l'im-pulsion lumineuse avec la phase du champ tournant du piège TOP. Il est néanmoins possible de s'aranchir de cette contrainte en xant la durée de l'impulsion à un multiple de 50 µs et en attribuant au coecient α∗ sa valeur moyenne au cours de la rotation.

Durée des impulsions lumineuses

En pratique, la durée de l'impulsion est contrainte par le régime d'intensité considéré. À basse intensité, le nombre de photons détectés par unité de temps par un pixel est faible et la durée de l'impulsion doit être susante pour sortir du bruit électronique de la caméra. À haute intensité, la force de pression de radiation est importante et la durée doit être susamment courte pour limiter le mouvement des atomes pendant la prise d'image.

Dans le régime de basse intensité, une impulsion de 50 µs est tout à fait adaptée. En eet, la taille du pixel de la caméra ramenée au niveau du plan des atomes étant de 1.04 µm, un faisceau incident d'intensité Ii= I_sat/10correspond à Ni= 340photons par pixel et le nombre de photons transmis Nf ≈ Nie^−nσ vaut, pour une densité optique typique comprise entre 1 et 2, Nf ≈ 45 à 125. Dans le mode de lecture rapide de la caméra, qui est le mode que nous avons utilisé, le bruit électronique est d'environ 8 photo-électrons par pixel. Le nombre Nf de photons détectés est donc 5 fois plus grand que le bruit électronique dans le cas le moins favorable.

Dans le régime de haute intensité, la transition est proche de saturation et le taux de diu-sion vaut γ ≈ Γ/2. La force de presdiu-sion de radiation vaut alors ~kLΓ/2 et le déplacement des

3.2 Mise en ÷uvre expérimentale 77

atomes dans la direction de propagation du faisceau s'écrit ∆z = 1 2^~kL

Γ

2m τ², où τ est la durée de l'impulsion. Pour une impulsion de 10 µs, ce déplacement vaut déjà ∆z ≈ 5.5 µm, nous nous limiterons donc à une durée de 2.5 µs à 5 µs. Enn, précisons que l'étalement transverse du nuage est négligeable pour des durées aussi courtes11.

Détermination de α∗

Pour la détermination du coecient α∗, nous suivons la procédure développée par Reinaudi et al. [105]. L'idée de cette méthode s'appuie sur le fait que la densité optique généralisée dO(x, y) ne dépend que des propriétés du nuage (cf. Eqs. (3.11)-(3.21)) et par conséquent prend la même valeur quelle que soit l'intensité du faisceau sonde.

On commence par acquérir des images d'un nuage tridimensionnel pour diérentes valeurs d'intensité allant du régime non saturant au régime de saturation forte. Comme nous l'avons expliqué plus haut, chacune de ces images contient d'une part le prol d'absorption If(x, y) et d'autre part la référence du faisceau laser12 _I

i(x, y). Pour chaque image on calcule la quantité : ˜ d_α(x, y) =−α ln^{ If(x, y)} Ii(x, y)  +^{Ii(x, y)}− If(x, y) Isat , (3.23)

pour diérentes valeurs du paramètre α, sachant que lorsque ce paramètre prend la valeur α∗, la quantité ˜d_α∗(x, y) coïncide avec dO(x, y) = σ₀R

n(3D)dz et a donc la même valeur indépendam-ment de l'intensité incidente sur les atomes. Pour identier la valeur α∗, on calcule donc, pour chaque valeur de α, la déviation standard sur les valeurs de ˜d_α(x, y)obtenues pour les diérentes intensités. La valeur de α pour laquelle la déviation est minimale correspond à α∗.

0 1 2 0 20 40 ˜ dα pixel α = 2.2 α = 2.6

α = 3.0 Figure 3.11  Exemples de prols radiaux de la quantité ˜d_α pour trois valeurs de α. Chacun de ces prols sera comparé à ceux obtenus avec d'autres intensités incidentes Iiet pour la même valeur de α. Nous nous intéressons alors à la dispersion de la quantité ˜d_α en chaque point. Lorsque α = α∗, la dispersion doit être mini-male.

Cette procédure peut être améliorée en travaillant non pas sur des pixels individuels mais

11. Pour estimer cet étalement transverse ∆x, nous pouvons partir de la description du mouvement des atomes dans le plan par une marche aléatoire dans l'espace des impulsions. Nous pouvons alors montrer que ∆x = ∆vτ/3, avec la dispersion en vitesse qui vaut ∆v ≈ (~kL/m)^√Ndiff/3où Ndiff est le nombre de photons diusés. Pour τ = 10 µs, nous avons Ndiff ≈ 190et ∆x ≈ 0.3 µm.

12. En pratique, le faisceau n'ayant pas une intensité uniforme, nous introduisons ici la dépendance en position de l'intensité.

sur des prols radiaux obtenus par moyenne angulaire prenant en compte l'anisotropie du nuage (Fig. 3.11). On produit donc à partir de chaque image des prols radiaux de la quantité ˜d_α(r) qui est la valeur moyenne de ˜d_α(x, y) sur une équipotentielle de rayon r = px2+ y2, ce qui a l'avantage de réduire considérablement le bruit.

Dans notre cas, la valeur de α∗ dépend en général de la durée et de l'instant de l'impulsion lumineuse, pour les raisons évoquées plus haut. Nous avons donc mis en ÷uvre cette procédure pour des impulsions lumineuses de 50 µs et 10 µs. Les intensités exploitées sont uniformément réparties dans l'intervalle de ∼ 0.1 Isat à ∼ 6 Isat. Le résultat obtenu est représenté sur la gure 3.12, où l'on trace la valeur du paramètre α optimal (i.e donnant la déviation standard minimale) en fonction de la distance au centre du nuage. La graphe de la gure 3.12a correspond à l'impul-sion de 50 µs et montre que la valeur optimale de α est remarquablement stable. En particulier, il est rassurant de constater qu'elle ne dépend pas de dO. En eet, chaque position correspond à une valeur donnée de la densité optique généralisée, qui varie continûment de dO= 0 à dO∼ 3 sur les échantillons étudiés (3.11). Les barres d'erreur correspondent à la dispersion statistique sur plusieurs réalisations expérimentales. En moyennant sur l'intervalle de pixels pertinent, situé entre les lignes verticales, on trouve α∗ = 2.6± 0.3. L'intervalle sur lequel on calcule la moyenne exclut la partie centrale et les ailes, qui sont des régions peu ables. En eet, la partie centrale étant optiquement dense, l'absorption totale des photons incidents peut survenir à basse inten-sité, ce qui fausse la densité au centre. Dans les ailes, la densité atomique est très faible et le signal sur bruit est de ce fait fortement réduit.

0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 50 α (opt) pixel α^∗= 2.6± 0.3 a) 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 50 pixel α^∗ = 3.0± 0.4 b)

Figure 3.12  Valeur optimale de α en fonction de la distance au centre pour une impulsion de 50 µs (a) et une impulsion de 10 µs (b) à un instant donné de la rotation du TOP. Les régions de haute et basse densités sont ignorées pour le calcul de α∗.

Pour l'impulsion de 10 µs (Fig. 3.12b) on obtient α∗ = 3.0± 0.4 en moyennant ici aussi sur l'intervalle délimité par les lignes verticales. Le fait que les régions extrêmes sont encore plus pathologiques dans ce cas précis est dû au fait que le nombre de photons est réduit d'un facteur 5 par rapport au cas précédent, ce qui amplie le problème d'absorption totale au centre et réduit encore davantage le signal sur bruit dans les ailes. Notons bien que cette valeur de α∗ est valable à un instant précis de la rotation du champ tournant.

3.2 Mise en ÷uvre expérimentale 79

Nous n'avons pas répété la procédure pour des impulsions plus courtes car nous nous atten-dons à un changement relatif bien inférieur à la précision de la méthode.