4.4 Eets de la troisième dimension
5.1.2 Application au gaz de Bose 2D
j6=k X j,k (−i~ˆrj∇w(ˆrj− ˆrk) + i~ˆrk∇w(ˆrk− ˆrk)) (5.11) = j6=k X j,k −i~ (ˆrj− ˆrk)∇w(ˆrj− ˆrk). (5.12)
Cette expression se simpli e dès lors que le potentiel d'interaction w est décrit par une fonction homogène au sens mathématique2. En eet, en utilisant les propriétés des fonctions homogènes3, on peut montrer que si w est homogène de degré ν on a :
(ˆrj − ˆrk)∇w(ˆrj− ˆrk) = νw(ˆrj− ˆrk) (5.13) et
ˆ
CW =−νi~ ˆW . (5.14)
Or pour les systèmes atomiques considérés ici, les interactions sont bien décrites par le po-tentiel de contact w(ˆrj− ˆrk)∝ δ(d)(ˆrj− ˆrk) où d est la dimensionnalité du système. Comme la fonction δ(d) est homogène de degré −d, l'équation d'évolution du viriel (5.4) s'écrit :
dh ˆJi
dt = 2h ˆTi − 2h ˆVi + dh ˆWi . (5.15)
À l'équilibre thermodynamique le premier membre s'annule et nous aboutissons à la relation simple :
Epot= Ecin+d
2Eint, (5.16)
où d est la dimensionnalité du système. Précisons que nous avons considéré ici que le coe cient de proportionnalité entre w(r) et δ(d)(r)est ni. En particulier, cette relation n'est pas valable à la limite unitaire [75, 114,119,120] où w(r) = g(3D)δ(3D)(r)avec g(3D)→ ∞.
5.1.2 Application au gaz de Bose 2D
Compte tenu de l'équation générale (5.16), la relation du viriel pour un gaz piégé à deux dimensions s'écrit simplement :
Epot= Ecin+ Eint soit E = 2Epot, (5.17)
où E = Epot+ Ecin+ Eint est l'énergie totale. Comme nous l'avons indiqué plus haut, ce résultat suppose que les interactions sont décrites par un potentiel d'interaction en delta4. Or, les
poten-2. Une fonction f(x) est dite homogène de degré ν si elle possède la propriété f(κx) = κνf (x)où le nombre réel κ est un paramètre de changement d'échelle.
3. Toute fonction f(x) homogène de degré ν étant reliée à sa dérivée première par la relation x(df/dx) = νf. 4. Ou plus généralement pour un potentiel homogène de degré -2.
tiels d'interaction de la forme w(r) ∝ δ(r) sont pathologiques à 2D et à 3D car ils conduisent à une divergence ultra-violette de l'énergie ainsi qu'à d'autres inconsistances [14,41]. Ces potentiels doivent donc en toute rigueur être régularisés en utilisant un pseudo-potentiel adapté [58, 87], ce qui conduit essentiellement à la prise en compte d'un terme correctif dans l'énergie d'inter-action. Plus loin, nous présenterons une description plus rigoureuse des interactions à 2D et nous estimerons les corrections à l'équation (5.17) pour nos paramètres expérimentaux. Avant cela, nous nous permettrons une digression concernant la dynamique des gaz 2D car elle découle directement du résultat général (5.15).
Mode de respiration et invariance dynamique
La relation (5.15) établie plus haut pour un système hors équilibre, conduit à un résultat remarquable dans le cas bi-dimensionnel. En eet dans le cas d'un potentiel homogène de degré -2, on a :
dh ˆJi
dt = 2E− 4Epot. (5.18)
Or dh ˆJi
dt = 12ddt2h ˆ2Ii où ˆI = Pjmˆr2j est l'opérateur associé au moment d'inertie par rapport à l'axe de symétrie du nuage5. Par conséquent, dans le cas d'un potentiel de piégeage harmonique isotrope qui s'écrit ˆV = ω2I/2ˆ l'équation (5.18) devient :
d2h ˆIi
dt2 =−4ω2h ˆIi + 4E . (5.19)
Ce résultat fait donc apparaître l'existence d'un mode de respiration du gaz 2D de pulsation 2ω. Cette propriété remarquable du gaz 2D avait été mise en évidence théoriquement par Kagan et al. dans [65] par la résolution de l'équation de GrossPitaevskii dépendant du temps, et réinterprétée par Pitaevskii et Rosch [96] en terme de symétrie cachée dans les systèmes bi-dimensionnels où les potentiels d'interactions sont homogènes de degré -2.
Une autre conséquence de ce type de potentiels d'interaction6 est que l'évolution libre du système à la coupure du potentiel harmonique présente une forme d'invariance dynamique. Plus précisément, la forme fonctionnelle de la distribution atomique est invariante et suit la loi d'évo-lution :
n(r, t) = κ2tneq(κtr) avec κt= 1 + ω2t2−1/2 , (5.20) où neq(r)est la distribution à l'équilibre. La distribution de densité n(r, t) à chaque instant est donc reliée à la distribution d'équilibre par un simple changement d'échelle. Cette propriété a été véri ée dans notre groupe [103]. En pratique, les nuages étudiés présentaient une anisotropie résiduelle |ωx− ωy|/√ωxωy ≈ 0.11, mais nous n'avons pas observé de déviation signi cative à la relation d'invariance (5.20) à l'échelle du bruit expérimental.
5. En eet, en appliquant le théorème d'Ehrenfest à l'opérateur ˆI on obtient : dh ˆIi dt = m i~ X j hhˆr2j, ˆHii = m i~ X j hhˆr2j, ˆTii = 1 2i~ X j hhˆr2j, ˆp2 j i i = 2h ˆJi .
5.1 Théorème du viriel pour les gaz piégés en interaction 117
Interactions à 2D
Nous revenons à présent à la description plus rigoureuse des interactions dans un gaz atomique à 2D. Dans un système rigoureusement bi-dimensionnel, l'état stationnaire de diusion à basse énergie ψk entre deux bosons identiques avec un vecteur d'onde relatif k est donné, à grandes distances , par l'expression [4] :
ψk∝ eik·r− r i 8πf (k) eikr √ kr, 1 f (k) ≈ −4π1 ln k2a22D + i 4 (5.21)
où f(k) est l'amplitude de diusion et a2D la longueur de diusion à 2D. Notons qu'il y a une diérence fondamentale avec le cas 3D où l'amplitude de diusion a une limite non nulle quand k→ 0 qui correspond à la longueur de diusion a ≡ − limk→0f (k)(7). Au chapitre 1 nous avons vu qu'en pratique les gaz bi-dimensionnels sont réalisés en con nant fortement un nuage 3D selon un axe à l'aide d'un potentiel harmonique de grande raideur. Nous avons également souligné le fait que dans les expériences réalisées jusqu'ici, l'extension `z du nuage dans cette direction est très grande devant la longueur de diusion à 3D. Typiquement `z/a > 30et les collisions gardent un caractère 3D dans les systèmes considérés. Le traitement rigoureux des collisions dans ce régime a été étudié par Petrov et al. [91,93] qui montrent que l'état stationnaire de diusion ψk
garde la forme de l'équation (5.21) avec une amplitude de diusion f(k) telle que : 1 f (k) = 1 ˜ g − 1 4πln ηk 2`2z + i 4, (5.22)
où ˜g =√8πa/`z et η ≈ 3.4 [93]. Pour nos paramètres expérimentaux ˜g ≈ 0.1 on voit donc bien que le terme logarithmique8 et le terme imaginaire sont négligeables dans l'équation (5.22). Par conséquent la constante de couplage qui intervient dans l'expression de l'énergie d'interaction (g/2)R n2(r)d2r vaut g ≡ ~2
mf (k) = ~2
m˜g. On retrouve ainsi le résultat (1.20)(1.22) que nous avons obtenu par un raisonnement plus naïf.
L'amplitude de diusion (5.22) revient en fait à dé nir une longueur de diusion a2Deective de la forme :
a2D = `z√ηe−2π/˜g. (5.23) Les valeurs de a2D correspondant aux expériences actuelles (pour lesquelles ˜g 1) sont donc extrêmement petites9 et celle-ci n'intervient donc pas comme échelle de longueur pertinente10
du problème.
7. À deux dimensions la longueur de diusion s'écrit a2D≡ beC où b est une échelle de longueur microscopique qui dépend des détails du potentiel [93] et C ≈ 0.577 est la constante d'Euler.
8. Le module du vecteur d'onde k typique est donné par 1/ξ au centre du nuage et 1/λT dans la partie thermique. Pour nos paramètres expérimentaux ceci correspond à k ≈ 2 × 106m−1. Par ailleurs, nous avons `z = 0.24 × 10−6m. Le terme logarithmique de l'équation 5.22 vaut donc ln ηk2`2
z /4π ≈ 0.04. 9. Pour nos paramètres ˜g = 0.11 et `z= 240nm, on trouve a2D= 7 × 10−32m.
10. Notons que le paramètre na2
2D qui intervient dans les corrections de l'équation d'état (voir par exemple [10, 81, 99]) est lui aussi négligeable. Pour nos densités surfaciques qui sont de l'ordre de 1013at/m2on a na2
2D∼ 5 × 10−50.
Relation du viriel à 2D
De même que la description des interactions par un potentiel δ(r) n'est pas rigoureuse à 2D, la relation du viriel (5.17) est une approximation de la relation exacte11 dérivée par F. Werner [119] :
Epot= Ecin+ Eint+ ∂Eint
∂ [ln (a2)], (5.24)
où Eintdépend de l'amplitude de diusion (5.22). On peut montrer que la contribution du dernier terme est de l'ordre de g˜
4πEint. Pour ˜g = 0.11, on retrouve donc le résultat (5.17) à une très bonne approximation.