Équation d'état pour la pression

60 80 0 20 40 60 Densité en atomes/ µ m 2 r en µm T = 139 nK a) Ntot= 144 000 N0= 109 000 nmesure(r) n0(r) 0 20 40 60 0 20 40 60 r en µm T = 44 nK b) Ntot= 31 400 N0= 30 800

Figure 4.13  Soustraction des populations des niveaux excités. (a) Prol d'un nuage chaud : 25% des atomes occupent les niveaux excités. (b) Prol d'un nuage très froid : il y a moins de 2% des atomes dans les niveaux excités. Les lignes continues représentent les prols mesurés, et les lignes tiretées représentent les prols associés aux atomes dans le niveau fondamental.

Nous montrons sur la gure 4.13 les prols de densité mesurés (obtenus à partir d'images à haute intensité) et la contribution du niveau fondamental déduite par cette méthode pour des nuages à 139 nK et 44 nK, qui correspondent à nos températures extrêmes. Comme on peut le voir, la contribution des niveaux excités est négligeable pour les nuages les plus froids. La procédure est néanmoins appliquée de façon systématique à l'ensemble des échantillons atomiques. Pour chaque nuage, nous obtenons ainsi la distribution spatiale des atomes dans le niveau fondamental de l'oscillateur selon l'axe (Oz) que nous allons pouvoir relier au gaz homogène quasi-2D via l'approximation de densité locale.

4.3 Mesure de l'équation d'état

4.3.1 Équation d'état pour la pression

L'équation d'état d'un système thermodynamique peut être établie pour diverses grandeurs thermodynamiques telles que l'énergie, l'entropie, la densité ou encore la pression. La pression est d'un intérêt particulier puisqu'elle permet via la relation de GibbsDuhem dP = n dµ + s dT de déduire l'équation d'état pour la densité spatiale n et l'entropie par unité de surface s. Dans le cas du gaz de Bose à 2D, la pression présente aussi l'intérêt de fournir un critère intuitif pour la condensation de BoseEinstein dans un piège harmonique (cf section 1.1.2). Notons, comme

nous l'avons précisé au chapitre 1 qu'en toute rigueur le terme tension de surface est plus adapté dans le cas bi-dimensionnel, mais nous nous permettrons cet abus de langage dans ce manuscrit. Mesurer la pression dans un piège harmonique

La pression présente aussi un intérêt du point de vue de la mesure expérimentale pour des pièges harmoniques. En eet, T.-L. Ho et Q. Zhou ont présenté dans [50] une méthode permettant de mesurer l'équation d'état d'un gaz tri-dimensionnel homogène à partir d'un gaz dans un piège harmonique, qui est la situation usuelle dans les expériences d'atomes froids20. Cette méthode, qui repose sur la nature quadratique du potentiel et l'approximation de densité locale, permet de relier la pression du gaz homogène à la densité intégrée dans deux directions de l'espace, en attribuant un potentiel chimique local en chaque point du nuage. Ce résultat est intéressant par deux aspects pour les gaz tri-dimensionnels. D'abord, les techniques usuelles d'imagerie ne permettent pas d'accéder directement à la densité locale mais uniquement la densité intégrée le long de l'axe d'imagerie, or cette méthode fournit la pression locale le long de la troisième direction. Ensuite, l'intégration double permet d'améliorer considérablement le signal sur bruit ce qui est essentiel pour réaliser des mesures précises. Cette méthode a d'ailleurs été mise en oeuvre expérimentalement avec succès sur des expériences avec des fermions [83,84] et bosons [85] à 3D. À deux dimensions, un résultat analogue21permet de relier directement la pression P (µ, T ) du gaz homogène au nombre d'atomes N dans un piège harmonique à température T avec un potentiel chimique local µ au centre du nuage. Comme dans le cas 3D, cette propriété repose sur l'approximation de densité locale où l'on suppose qu'au voisinage de chaque point r du nuage atomique, on peut appliquer les relations thermodynamiques établies pour le cas homogène pour la densité locale n(r) et le potentiel chimique local µ(r) = µ0− V (r).

Pour établir cette relation, nous partons de la dénition du nombre d'atomes dans le piège N =R n(r)d2r. Dans l'approximation de densité locale on a n(r) = nhom(µ₀− V (r), T ), où nhom

désigne la densité du gaz homogène. Pour un potentiel harmonique isotrope V (r) = mω2r2/2, le nombre d'atomes s'écrit donc :

N = 2π Z ∞ 0 n(r)r dr = 2π Z ∞ 0 n_hom  µ₀−¹ 2^mω 2r²  r dr . (4.9)

En appliquant le changement de variable µ0 = µ0−1

2mω²r² on a      dµ⁰ =−mω2rdr µ⁰(r = 0) = µ₀ µ⁰(r→ ∞) → −∞ (4.10) et le nombre d'atomes s'écrit :

N = ^2π

mω2

Z µ0

−∞

n_hom(µ⁰, T ) dµ⁰. (4.11)

Enn, en utilisant la relation de GibbsDuhem nhom(µ, T ) = (∂P (µ, T )/∂µ)_T on trouve :

20. Le point clé de cette méthode est d'extraire des quantités thermodynamiques locales à partir de la densité intégrée ce qui avait déja été introduit par J. N. Fuchs, X. Leyronas et R. Combescot [37] en 2003.

4.3 Mesure de l'équation d'état 101

N = ^2π

mω2P (µ0, T ) , (4.12)

ce qui relie le nombre d'atome dans un piège harmonique à la pression du gaz homogène. En utilisant la pression réduite P ≡ P λ2

T/kBT introduite au chapitre 1, ce résultat se met sous la forme : P(µ0, T ) =  ~ω kBT 2 N . (4.13)

Cette relation reste vraie pour un piège harmonique anisotrope, auquel cas il sut de remplacer ω par la moyenne géométrique ¯ω = (ωxω_y)1/2. Connaissant les pulsations ωx et ωy du piège harmonique, il sut donc, à deux dimensions, de mesurer le nombre d'atomes pour accéder à la pression. On peut ainsi reconstruire l'équation d'état du gaz homogène en préparant plu-sieurs nuages bi-dimensionnels, piégés dans un potentiel harmonique, avec des températures et potentiels chimiques diérents.

Acquisition des données

Nous avons mis en ÷uvre expérimentalement la méthode décrite ci-dessus en l'appliquant à un ensemble de nuages atomiques, préparés dans des conditions diérentes de manière à balayer un large domaine de l'espace des paramètres thermodynamiques µ et T . Le paramètre d'interaction est en revanche gardé constant et vaut ˜g ≈ 0.11 sur l'ensemble des données présentées ici22. Au niveau de la séquence expérimentale, ces diérentes congurations sont réalisées en variant la durée de chargement du piège magnéto-optique (PMO), la fréquence nale d'évaporation ainsi que la fréquence du bouclier radio-fréquence. Ce dernier xe la température du nuage, tandis que les deux autres paramètres permettent d'avoir un contrôle indépendant du nombre d'atomes. Pour chaque conguration, nous enregistrons deux images, sur deux réalisations successives de l'expérience, la première étant prise à basse intensité et l'autre à haute intensité. Comme nous l'avons expliqué plus haut, ces deux images sont utilisées de manière complémentaire, compte tenu de la bonne reproductibilité du dispositif expérimental à court terme. L'image haute intensité, qui reproduit dèlement la distribution atomique, permet d'extraire le nombre d'atomes et l'image basse intensité fournit les paramètres µ0et T associés au nuage. Pour les nuages faiblement ou non dégénérés, dont les densités centrales sont compatibles avec l'imagerie basse intensité standard, nous n'enregistrons qu'une seule image (à basse intensité) qui fournit à la fois le nombre d'atomes et la température.

Equation d'état et invariance d'échelle

Le résultat de ces mesures est présenté en gure 4.14, où l'on trace la pression réduite en fonction du rapport23 _µ/k

BT. Il est remarquable que tous les points expérimentaux se répar-tissent sur la même courbe, alors même qu'ils correspondent à des températures et potentiels

22. Nous verrons par ailleurs en n de ce chapitre que pour les nuages de densité centrale élevée, le paramètre ˜

gpeut varier de ∼ 10% entre le centre du nuage et les ailes.

23. Notre convention est ici d'utiliser le symbole µ lorsque nous les présentons les résultats associés au gaz homogène tandis que nous utilisons l'indice 0 pour désigner le potentiel chimique au centre de nos nuages piégés.

Pression réduite P µ/k_BT P0=^π₆² T–F H–F 125 nK – 150 nK 100 nK – 125 nK 75 nK – 100 nK 40 nK – 75 nK 0 5 10 15 20 -1 -0.5 0 0.5 1

Figure 4.14  Équation d'état pour la pression réduite. Dans la région µ/kBT > 0.2 les points qui correspondent à une même préparation ont été regroupés. Les barres d'erreurs correspondent à l'erreur statistique. Dans la région µ/kBT < 0.2 nous avons laissé les points individuels (la séquence expérimentale étant moins reproductible pour les paramètres de préparation correspon-dants). La ligne horizontale tiretée bleue est la borne supérieure pour un gaz idéal P0 = π2/6. La ligne continue noire représente la théorie de HartreeFock et est prolongée en tirets en dehors de sa région de validité. La ligne en tirets-pointillés rouge est la prédiction de ThomasFermi.

chimiques diérents. Ce résultat démontre expérimentalement la propriété d'invariance d'échelle de l'équation d'état du gaz de Bose homogène, dans la mesure où P ne dépend que du rapport µ/k_BT. Comme nous l'avons vu, il n'existe pas de théorie pour la pression réduite d'un gaz homogène, nous comparons néanmoins les données expérimentales aux modèles de champ moyen de HartreeFock et de ThomasFermi, qui correspondent aux régimes asymptotiques de faible et haute densités respectivement. L'accord obtenu avec la théorie HartreeFock est attendu puisque la détermination des paramètres thermodynamiques repose sur un ajustement des données dans les régions de basse densité sur cette théorie. Dans la limite opposée, on obtient un bon accord avec le modèle ThomasFermi pour µ/kBT & 0.6. Enn, pour comparaison, nous avons aussi indiqué sur la gure 4.14 la valeur maximale de la pression réduite pour un gaz idéal P0= π²/6.

4.3 Mesure de l'équation d'état 103