Peut-on croire à des vortex ?

L'état d'équilibre des nuages correspondant aux images présentées plus haut (Fig. 6.2) est caractérisé2 par un potentiel chimique central µ0/k_BT = 0.67 et une température T = 62 nK. Nous avons représenté sur la gure 6.3 le prol moyen de densité dans l'espace des phases D(r) obtenu à partir d'images in situ. Nous constatons que la densité centrale du nuage est de l'ordre de 40, soit 5 fois plus élevée que la valeur critique Dc≈ 8.2 pour laquelle la transition superuide est prédite [100]. Comme nous l'avons souligné à la n du chapitre 5, l'étude quantitative de la composante superuide dans un gaz piégé est un problème compliqué. Néanmoins, par application de l'approximation de densité locale, nous pouvons dénir un rayon critique rc déni tel que

1. En toute rigueur il s'agit d'un temps de vol 1D où le connement radial est maintenu. Mais aux temps de vol courts, la diérence quantitative entre des TdV 1D et 3D est négligeable pour les aspects qui nous intéressent ici.

2. Il s'agit là de paramètres thermodynamiques moyens obtenus à partir des prols correspondant aux images in situ (cf section 4.2).

in situ a) 20 µm TdV 1 ms b) TdV 1.5 ms c) TdV 2 ms d) TdV 2.5 ms e) TdV 3 ms f) TdV 3.5 ms g)

Figure 6.2  Images de la distribution de densité d'un nuage à l'équilibre (a) et de nuages sondés à diérents instants d'un temps de vol 1D (b-g). Tandis que la distribution de densité in situ est relativement régulière, des variations importantes de densité apparaissent après 1 ms de TdV. Pour les temps de vol les plus longs, ces trous de densité semblent plus gros et ont un contraste signicatif.

D(rc) =Dc, au voisinage duquel le nuage se comporte localement comme un gaz 2D homogène dans le régime critique de transition superuide [45]. De plus, dans la région r < rcune fraction non négligeable des atomes se comporte comme un ensemble superuide. Dès lors que nous acceptons cette image, nous nous attendons à l'existence de vortex libres au voisinage de rcet de paires de vortex-antivortex dans la région centrale du nuage. Cependant, notre système optique d'imagerie, dont la résolution est de l'ordre du micron (cf. chapitre 3), ne permet pas a priori de discerner avec précision des détails de la taille d'un vortex dans un nuage à l'équilibre.

La taille d'un vortex3 est xée par la longueur de cicatrisation ξ = 1/^√gn˜ (Eq. (1.21)) qui est l'échelle de longueur microscopique caractéristique du système dans le régime dégénéré. Dans nos échantillons piégés, où la densité n(r) décroît avec la distance au centre du nuage r, la taille des vortex augmente continûment entre r = 0 et r = rc. Au delà, la phase devient de moins en moins dénie pour des r croissants et la notion de vortex perd progressivement son sens. La gure 6.3b représente la variation de ξ avec la distance dans nos échantillons. Nous pouvons voir que dans la région où les vortex ont un sens (r . rc), leur taille est a priori en dessous ou à la limite du pouvoir de résolution de notre objectif qui est de l'ordre du micron4.

3. Nous préciserons ce à quoi correspond la taille d'un vortex plus loin.

4. Notons de plus que pour ce type d'études, l'objectif n'est pas réellement exploité au mieux de ses capacités dans la mesure où la taille du pixel de la caméra rapportée au niveau du plan atomique est de 1.04 µm. Ce choix d'une taille de pixel de l'ordre de la résolution avait été fait dans le cadre d'une étude sur la détection d'atomes

6.2 Détection de trous de densité durant l'expansion libre d'un gaz 2D 137 0 20 40 0 20 r en µm D a) Dc= 8.2 r = r_c 0 0.5 1 1.5 0 10 20 r en µm ξ en µm b) Limite r_c de résolution 0 1 2 0 10 20 r en µm c_s en µm/ms c) r_c

Figure 6.3  Quelques caractéristiques du nuage à l'équilibre : (a) densité dans l'espace des phases D, (b) longueur de cicatrisation ξ et (c) vitesse du son en fonction de la distance au centre r. La transition superuide se produit au voisinage de r = rc ≈ 17 µm où D atteint la valeur critique Dc = 8.2 (pour nos paramètres). Nous nous attendons à la présence de vortex individuels au voisinage de rc, et la présence de paires de vortex-antivortex dans la partie centrale. Dans toute la région où les vortex ont un sens, leur taille que nous estimons de l'ordre de ξ est a priori inférieure au pouvoir de résolution de notre objectif.

En ce qui concerne les images des nuages sondés en temps de vol, il est dicile de donner une description précise de la dynamique (il n'existe à notre connaissance aucun travail théorique publié relié à ce problème pour les gaz atomiques). Cette dynamique du nuage en expansion en présence des vortex est complexe et fait intervenir plusieurs types d'événements. Si l'on considère deux vortex initialement appariés, ceux-ci peuvent soit se rapprocher l'un de l'autre et s'annihiler, soit au contraire se séparer et évoluer comme des vortex libres. De plus, chaque vortex libre (quel que soit son état initial) subit à la fois un déplacement de son centre de masse pendant l'évolution, et une expansion. L'étude théorique de cette dynamique dans son ensemble constitue un projet en soi et nécessite une analyse numérique lourde que nous ne pouvons pas réaliser dans le temps qui nous est imparti. Nous présenterons toutefois en section 6.2.2 une étude numérique simpliée sur laquelle nous pourrons nous appuyer.

Avant cela, nous pouvons d'ores et déjà estimer par un raisonnement très simple l'ordre de grandeur de la taille d'un vortex après quelques millisecondes d'expansion. Nous nous attendons à ce qu'un c÷ur de vortex de taille ξ, qui est la plus petite échelle de longueur pertinente, s'étende bien plus rapidement que les autres échelles de longueur. En première approximation nous pouvons supposer que la taille des vortex augmente linéairement avec le temps avec une vitesse v ∼ ~/mξ. Pour un vortex initialement au centre du nuage où ξ ≈ 0.3 µm, nous prédisons donc par ce raisonnement que sa taille vaut ∼ 2.4 µm au bout d'une milliseconde, ce qui le rend

uniques dans un réseau optique, mais cette conguration n'est pas adaptée dans le cas qui nous intéresse ici, où une taille de pixel bien inférieure à la résolution de l'objectif serait souhaitable. Une amélioration en ce sens est prévue pour de futures expériences.

tout à fait détectable par notre système d'imagerie5. Au regard de cet argument simple, il n'est pas déraisonnable d'associer les trous de densité observés pendant les TdV 1D de nos nuages à des c÷urs de vortex en expansion. Néanmoins, il est dicile d'être formel à ce stade dans la mesure où il n'est pas possible d'établir une cartographie de la phase à partir de ces images.