Caractérisation du potentiel

Oscillations du centre de masse

Étant en mesure de charger un plan unique d'atomes, il s'agit à présent de caractériser le potentiel dans lequel évolue ce nuage atomique. En particulier, il est important de vérier que le connement vertical est susamment fort et qu'il nous permet d'atteindre le régime quasi-2D. Pour cela nous réalisons des mesures d'oscillation du centre de masse en excitant un mouvement vertical dans le potentiel dipolaire. Comme il est impossible de résoudre l'amplitude du mouvement d'oscillation in situ (compte tenu de la force du connement vertical), nous eectuons la mesure après un temps de vol de 8 ms. Un exemple de cette mesure est représentée en gure 4.6 où nous montrons également un ajustement par une fonction sinusoïdale amortie.

-4 -2 0 2 4 0.5 1 1.5 2 z^cm après T dV (u.a.) temps en ms

Figure 4.6  Mouvement d'oscillation du centre de masse après une excitation dans la direction verticale (Oz). Comme le mouvement ne peut pas être résolu in situ, la position du nuage est mesurée après un temps de vol de 8 ms. L'amor-tissement est dû au fait que le nuage explore les anharmonicités du potentiel. L'ajustement par une sinusoïde amortie donne une fréquence de 2.2kHz. Ce connement est obtenu pour une puissance laser de 1.3W.

Sur cet exemple, l'ajustement donne ωz = 2π× 2.2 kHz et un temps caractéristique d'amor-tissement16 de 400 µs. Nous attribuons l'amortissement au fait que le nuage explore, à cause de l'excitation, les régions anharmoniques du potentiel dipolaire. La fréquence ainsi mesurée a été obtenue pour une puissance laser de 1.3 W. Sur l'ensemble des données présentées ici, ωz/2π× varie entre 1.8 kHz et 2.2 kHz. Le fait que la fréquence de connement verticale est plus faible que les valeurs annoncées initialement (3.5 kHz) est lié à la défocalisation décrite plus haut. Cette valeur de 2.0 ± 0.2 kHz qui correspond à un quantum de vibration ~ωz/k_B ≈ 100 nK, reste confortable pour étudier le régime quasi-2D, nos températures les plus basses17 étant de 40 nK. L'extension verticale du nuage vaut donc `z = 240± 10 nm et le paramètre d'interaction vaut ˜

g =√

8πa/`_z = 0.11± 0.05, valeur qui nous place à la limite du régime de couplage faible.

16. Ce temps est donné par la constante τ pour une amplitude décroissante e−t/τ.

17. Nous verrons qu'en pratique, que même pour des températures comparables au quantum de vibration, le nuage est essentiellement dans le régime quasi-2D.

-5 0 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 x^cm en µ m temps en s a) -5 0 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 y^cm en µ m temps en s b)

Figure 4.7  Mouvement d'oscillation du centre de masse après une excitation à 45 des axes (Ox) et (Oy). Chaque couple (xcm(t), y_cm(t)) provient de la même image. Les fréquences selon les deux axes sont comparables, mais le mouvement selon l'axe (Oy) (b) est vite amorti. Cette observation s'explique par la présence de rugosités dans le potentiel optique.

De la même façon, les fréquences dans le plan sont mesurées par oscillations du centre de masse et valent ωx = 2π× 20.0 Hz et ωy = 2π× 21.4 Hz, selon les axes (Ox) et (Oy) respectivement. La gure 4.7 montre les mesures eectuées après une excitation à 45 des axes propres (Ox) et (Oy) du potentiel magnétique, le nuage étant sondé en imagerie verticale (in situ). Alors que le mouvement selon (Ox) se présente sous la forme d'une oscillation non amortie, le mouvement selon (Oy) est rapidement amorti avec un temps caractéristique d'amortissement de 186 ms.

Des mesures d'oscillations réalisées par ailleurs dans le piège purement magnétique ne pré-sentent pas d'amortissement anormal. L'observation de la gure 4.7b indique donc vraisembla-blement la présence de rugosités du potentiel dipolaire qui s'ajoutent au potentiel magnétique dans le plan (xOy). Notons que le potentiel selon l'axe de propagation (Ox) du faisceau n'est pas aecté, ces rugosités pourraient donc être dues à des interférences entre le faisceau dipolaire et ses réexions sur les faces de la cellule en verre ou un autre élément optique. Ces rugosités peuvent aussi être la conséquence d'une séparation irrégulière des deux régions de la lame de phase. L'existence de ces imperfections du potentiel dipolaire explique, par ailleurs, la défor-mation des nuages lorsqu'ils sont chargés au niveau du point focal, puisque si rugosités il y a, elles seront naturellement ampliées au voisinage du point focal où l'intensité du faisceau est maximale.

Reconstruction du potentiel

On peut ajouter un niveau de ranement dans la caractérisation du potentiel en tirant parti du fait que le potentiel dans le plan (xOy) est séparable avec un potentiel selon (Ox) connu. En eet, on peut écrire le potentiel dans le plan sous la forme :

4.1 Préparation expérimentale d'un gaz 2D 93 Image a) x y 20 µm -40 -20 0 20 40 x en µm Coupes b) 0 20 40 x en µm Profils de densité n(x) c)

Figure 4.8  Point de départ de la reconstruction du potentiel. (a) Image d'un nuage atomique vu de dessus. (b) Deux coupes selon l'axe (Ox). (c) On produit deux prols de densité en repliant chaque coupe par rapport à son centre.

V (x, y) = ¹ 2^mω

2

xx²+ U (y), (4.4)

où U(y) est le potentiel résultant du connement harmonique dû au piège magnétique et des rugosités dues au faisceau dipolaire. Par conséquent, il est possible de reconstruire le potentiel U (y)à partir de la distribution de densité d'un nuage, puisque les équipotentielles correspondent aux lignes de densité constante.

Pour expliquer le principe de cette reconstruction, partons d'une image de la distribution de densité d'un nuage donné (Fig. 4.8a), sur laquelle nous faisons deux coupes selon l'axe (Ox), l'une en y1 et l'autre en y2 (Fig. 4.8b). À partir de ces coupes, nous produisons deux prols de densité comme illustré sur la gure 4.8c (de façon à améliorer le signal sur bruit, nous replions la coupe sur elle-même plutôt que de prendre seulement l'une des moitiés de la coupe).

Comme le potentiel est quadratique il est plus commode d'utiliser les prols n1(x²)et n2(x²) (Fig. 4.9a). Pour un potentiel séparable, les deux prols doivent se superposer par une simple translation x2 → x2+ δ. Comme les lignes de densité constante correspondent aux équipoten-tielles, on a V (x, y1) = V (x, y₂) + mω2

xδ/2. La diérence de potentiel entre y1 et y2 à x xé vaut donc :

U (y1)− U(y2) = ¹ 2^mω

2

xδ. (4.5)

La gure 4.9b montre la superposition obtenu entre les prols n1(x²)et n2(x²)par une méthode de moindres-carrés où on a utilisé le coecient de translation δ comme paramètre d'ajustement. En appliquant la procédure pour plusieurs coupes yi d'une même image, on peut ainsi obtenir un ensemble de coecients de translation δi et donc la valeur du potentiel U(yi) = mω2

xδ_i/2. En pratique, nous utilisons les 31 coupes centrales d'une même image (soit 15 coupes de part et d'autre du centre du nuage ; au-delà le signal sur bruit est trop faible).

0 500 1000 x² en µm² Profilsn(x2) a) n₁(x2) n₂(x2) 0 500 1000 x² enµm² Profils superposés b) n₁(x2) n₂(x2− δ)

Figure 4.9  (a) Prols n1(x²) (en noir) et n2(x²) (en rouge) obtenus respectivement à partir d'une coupe centrale en y = y1 et d'une coupe plus éloignée du centre en y = y2. (b) Le prol n₂(x²) se superpose au prol n1(x²)par une simple translation.

86 images enregistrées à la suite, et comportant 6 congurations expérimentales diérentes où l'on varie la température et le nombre d'atomes des échantillons atomiques. En principe, le potentiel est indépendant de ces paramètres thermodynamiques et nous pourrions contraindre l'optimisation pour avoir un seul ensemble de valeurs δipour toute la série. Pour vérier cela, nous avons appliqué une routine d'optimisation plus souple en traitant les diérentes congurations indépendamment. On utilise néanmoins un seul ensemble δi pour toutes les images correspondant à une même conguration expérimentale. Le résultat de cette reconstruction est représenté sur la gure 4.10 où l'on a représenté la moyenne des U(yi) sur l'ensemble de la série de données avec des barres d'erreur statistique. Ces dernières correspondent aux diérentes congurations expérimentales et témoignent de la robustesse de méthode.

0 10 20 30 -10 0 10 U en nK yi

ajustementay2+ b Figure 4.10  Potentiel reconstruit. Les barres d'erreur correspondent à l'erreur statistique sur plusieurs images. La ligne continue rouge est un ajustement parabolique qui correspond à une fréquence de 21.9 ± 0.04 Hz.