Absorption traitée par la théorie de la diusion

Nous nous intéressons à un faisceau de faible intensité se propageant le long de l'axe (Oz) à travers un milieu atomique. Pour décrire ce problème nous utilisons dans un premier temps le formalisme de la théorie quantique de la diusion. Le hamiltonien décrivant le problème est

H = H_A+ H_F+ V = H₀+ V , (2.11)

où nous avons introduit le hamiltonien non perturbé H0 = H_A+ H_F. La situation initiale considérée est celle de N atomes dans l'état atomique fondamental | fi et d'un photon incident de vecteur d'onde kL (parallèle à l'axe (Oz)) et de polarisation L. L'état quantique initial du système s'écrit donc

|Ψii = |Gi ⊗ |kL, _Li avec |Gi ≡ |1 : f, 2 : f, . . . , N : fi (2.12) et est un état propre de H0 d'énergie propre ~ωL.

L'interaction du photon incident avec le milieu atomique décrite par l'opérateur de couplage V, peut être vue comme un ensemble de collision élémentaires successives. Comme il y a au plus un seul photon dans le milieu, il ne peut se produire que deux types d'événements :

(i) L'absorption d'un photon dans le mode k,  par un atome j, qui passe alors de l'état |j : fi à l'un des états excités |j : eαi. L'état quantique du système est alors

2.3 Interaction entre un faisceau sonde et nuage quasi-2D dense 45

où |0i est le vide du champ électromagnétique. Notons que le sous-espace associé aux états |Ej,αi est de dimension 3N.

(ii) L'émission d'un photon dans un mode (k0, ⁰) par un atome j, qui revient dans son état fondamental.

Lorsque le photon quitte le milieu atomique, le système se retrouve dans un état |Ψfi = |Gi ⊗ |k, i qui est aussi état propre de H0. Nous nous intéressons à l'amplitude de probabilité pour que |Ψfi = |Ψii, qui correspond à la situation où le photon sort dans le même mode |kL, _Li que le photon incident.

Matrice T

Pour calculer cette amplitude de probabilité, nous utilisons la matrice T qui est dénie par

T (E) = V + V ¹

E− H + iη^{V ,} (2.14)

où η est un petit nombre positif que nous ferons tendre vers zéro à la n des calculs. L'amplitude de probabilité de trouver le système dans l'état |Ψfi après le processus de diusion est donnée par

T_if =hΨf|T (Ei)|Ψii (2.15)

où Eiest la valeur propre associée aux états propres |Ψii et |Ψfi de l'hamiltonien non perturbé H0. Dans le cas présent, nous nous intéressons à l'élément de matrice Tiiqui correspond à |Ψfi = |Ψii. En prenant la moyenne de T (E) sur l'état |Ψii, nous voyons que le premier terme de l'équation (2.14) ne contribue pas compte tenu de l'action de V (Eq. 2.9), et nous trouvons :

T_ii= ^~ωLd 2 2ε0V X j,α X j0,α0 _L,α^∗_L,α0 e^ikL(zj−zj0)hEj0,α0| ¹ ~ωL− H + iη^|Ej,αi. (2.16) Il s'agit donc de calculer les (3N) × (3N) éléments de matrice de l'opérateur 1/(z − H), où z = ~ωL+ iη, qui interviennent dans (2.16).

Méthode des projecteurs

Pour mener ce calcul nous allons utiliser la méthode des projecteurs [29]. Nous introduisons les projecteurs orthogonaux P et Q, où P projette sur le sous-espace à zéro photon et Q projette sur le sous-espace orthogonal. Formellement nous avons

P|Ej,αi = |Ej,αi P|Gi ⊗ |k, i = 0, (2.17)

Q|Ej,αi = 0 Q|Gi ⊗ |k, i = |Gi ⊗ |k, i. (2.18)

En introduisant de plus l'opérateur déplacement [29]

R(z) = V + V ^Q z− QH0Q− QV Q^V (2.19) = V + V ^Q z− H0 V + V ^Q z− H0 V ^Q z− H0 V + . . . (2.20)

nous avons la relation générale

P ¹

z− H^{P =}

P

z− P H0P− P R(z)P (2.21)

qui est l'opérateur dont nous voulons calculer les éléments de matrice. En notant [M] la matrice correspondant au dénominateur du membre droit de l'équation(2.21), nous avons :

[M ]_(j0,α0),(j,α) = hEj0,α0| [z − P H0P− P R(z)P ] |Ej,αi

= (~∆ + iη) δj,j0δ_α,α0 − hEj0,α0|R(z)|Ej,αi. (2.22) L'expression (2.16) de l'élément de matrice Tii se réécrit alors en fonction des éléments de la matrice [M−1]: T_ii = ^~ωLd 2 2ε0V X j,α X j0,α0 _L,α^∗_L,α0 e^ikL·(rj−r0 j)[M⁻¹]_(j0,α0),(j,α). (2.23) L'amplitude de probabilité Tii nécessite donc de calculer explicitement les éléments de matrice de [M−1].

Éléments de la matrice [M].

En pratique, il est plus simple de calculer les éléments de matrice de [M] et d'en déduire les éléments de matrice de [M−1]dans un deuxième temps. Nous voyons dans l'équation (2.22) que le calcul des éléments de [M] se ramène à celui des éléments de matrice de l'opérateur R(z).

Dans le cas présent, le calcul de ces éléments est simple car seul le deuxième terme du développement (2.20) de R(z) a une contribution non nulle.

P R(z)P = V ^Q z− H0

V . (2.24)

En eet, dès lors que l'opérateur V se retrouve entre deux opérateurs Q, le résultat total de l'action est nécessairement nulle. Les éléments de matrice de R(z) sont donc :

hEj0,α0|R(z)|Ej,αi = ^~d 2 2ε₀V X k, ω ^∗_α_α0 e^ik·(rj0−rj) z− ~ω (2.25)

Nous pouvons donc calculer explicitement les éléments de matrice (2.25) à la limite η → 0+ en urilisant la relation usuelle :

1 z− ~ω ^=PP  1 ~ωL− ~ω  − iπδ(~ωL− ~ω) (2.26)

où PP désigne la partie principale et δ la distribution de Dirac. Dans la suite nous placerons de plus dans le cas ωL≈ ω0.

Éléments diagonaux de R(z). Pour j = j0, les éléments de matrices (2.25) s'écrivent : hEj0,α0|R(z)|Ej,αi = ^~d 2 2ε₀V X k, ω ^∗_α_α0  PP  1 ~ωL− ~ω  − iπδ(~ωL− ~ω)  (2.27)

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où la partie réelle donne lieu au déplacement de Lamb. Par commodité, nous prendrons en compte ce déplacement en l'incluant dans la dénition de ω0 et il n'apparaîtra donc pas explicitement dans la suite. Le calcul de la partie imaginaire donne

hEj,α0|R(z)|Ej,αi = −i ^d

2ω3 L

6πε_0~c3δ_α,α0 =−i^~Γ

2 ^{δα,α0 ,} (2.28)

où nous avons utilisé l'expression la largeur naturelle du niveau excité |j : eαi qui s'écrit :

Γ = ^d

2ω3 0

3πε_0~c3 . (2.29)

Compte tenu de cette partie imaginaire non nulle, nous ignorerons dans la suite le terme iη dans (2.22).

Éléments non diagonaux de R(z). Pour j 6= j0, la somme sur (k, ) qui intervient dans (2.25) est le propagateur d'un photon partant d'un atome en rj dans l'état interne |eαi vers un autre atome en rj0 dans l'état interne |eα0i. L'expression de ce propagateur est donc à une constante multiplicative près, celle du champ rayonné en rj0 par un dipôle situé en rj [60]. En introduisant le vecteur uj,j0 = k_L|rj0− rj| (avec kL= k₀) les éléments de matrices (2.25) s'écrivent :

hEj0,α0|R(z)|Ej,αi = −^~Γ₂ g_α,α0(u_j,j0), (2.30) avec

g_α,α0(u) = h₁(u)δ_α,α0 + h₂(u)^uαuα0

u2 , (2.31) et h₁(u) = ³ 2 eiu u3(u²+ iu− 1), h₂(u) = ³ 2 eiu u3(−u²− 3iu + 3). (2.32) En résumé, la matrice [M] qui apparaît dans (2.22) a des éléments diagonaux ~(∆ + iΓ/2) et ses éléments non diagonaux (pour j 6= j0) sont donnés par (2.30). Maintenant que nous avons obtenu une expression explicite des éléments de la matrice [M], nous pouvons calculer Tii

numériquement.

Retour sur l'expression de Tii.

La relation (2.23) établie pour Tii peut se mettre sous la forme plus parlante : T_iiL_z ~c = ¹ 2^σ0n˜ ~Γ 2N X j,α X j0,α0 _L,α^∗_L,α0 e^ikL(zj−zj0)[M⁻¹]_(j0,α0),(j,α) | {z } ≡Π (2.33)

en introduisant la densité intégrée ˜n = N/(LxLy), la section ecace σ0 = 3λ₀/2π = 6πc2/ω2 0 et la largeur naturelle Γ de l'état excité. Nous verrons à la section 2.3.2 que la quantité TiiLz/~c est la seule quantité pertinente pour le calcul de la transmission du faisceau laser.

En pratique, pour le calcul de la quantité TiiLz/~c, nous résolvons d'abord numériquement le système d'équations :

X

j,α

où Xj,α sont les inconnues. Ensuite, nous en déduisons la valeur du coecient sans dimension : Π = ¹ N ~Γ