Vitesse de flamme

Dans cette section, les vitesses de flamme sont analys´ees. Il est en effet suppos´e que les flammes stratifi´ees sont affect´ees par les gaz brˆul´es provenant des premiers instants o`u la flamme se propage dans un milieu plus riche. Ce ph´enom`ene, caract´eristique des flammes stratifi´ees, a ´et´e nomm´e effet m´emoire de la flamme. Par cons´equent, notre attention se porte plus parti-culi`erement sur deux points particulier du front de flamme. Ces points sont repr´esent´es sur la figure 4.28.

Fig 4.28 – Localisation des points o`u les vitesses de flamme sont ´etudi´ees.

Ces points sont les points de la flamme situ´es du cˆot´e positif de chaque axe. Le point 1 correspond `a l’endroit le plus affect´e par le gradient de richesse. Le point 2, quant `a lui, est le point o`u le m´elange le plus riche est toujours pr´esent.

Les d´efinitions des vitesses des flammes cylindriques et sph´eriques ont ´et´e ´enonc´ees dans la section 3.8.2. La vitesse absolue est d’abord analys´ee. Pour rappel, l’expression de celle-ci est :

s_a= ^dr

dt ^{. (4.13)}

Typiquement, pour des flammes homog`enes, cette vitesse augmente durant les premi`eres milli-secondes jusqu’`a atteindre un plateau. Une comparaison de l’´evolution temporelle au point 2 pour les cas C2 et C3, r´ealis´es en chimie tabul´ee, montre que ce comportement est bien retrouv´e pour la flamme homog`ene, figure 4.29. Le comportement de la flamme stratifi´ee ne r´epond plus du tout `a cette description.

Afin de mieux comprendre ce comportement, une ´evolution temporelle de la vitesse absolue aux points 1 et 2 est donn´ee sur la figure 4.30 pour les cas C3 et C4 r´ealis´es avec les deux mod`eles de chimie.

Le comportement global de la vitesse absolue est le mˆeme, quel que soit le point analys´e, le degr´e de stratification, et le mod`ele de chimie utilis´e. La vitesse absolue commence par augmenter durant les premi`eres milli-secondes puis prend une pente n´egative jusqu’`a atteindre un plateau. Les valeurs atteintes sont d´ependantes de la stratification initiale. Pour les deux cas, les vitesses obtenues avec la chimie complexe sont inf´erieures `a celles obtenues en chimie tabul´ee.

Le comportement de la courbe au voisinage du point 1 s’explique facilement. La flamme ´evolue tout d’abord dans un m´elange homog`ene, d’o`u la tendance de la vitesse absolue `a aug-menter. Elle passe ensuite par une phase de transition de richesse, jusqu’`a atteindre la richesse ϕ = 0.6. La transition entre le m´elange riche et le m´elange pauvre est liss´ee par la diffusion

4.5. Propagation bi dimensionnelle 117

Fig 4.29 – Comparaison de l’´evolution temporelle de la vitesse absolue au point 2 pour les cas C2 et C3, chimie tabul´ee.

mol´eculaire. Les richesses rencontr´ees ´etant moins ´elev´ees, la vitesse absolue a tendance `a dimi-nuer. Les plateaux atteints restent tout de mˆeme sup´erieurs `a celui obtenu pour le cas C1 en chimie tabul´ee, pour lequel on trouve s_a= 0.64 m/s.

Pour un mˆeme type de chimie, la courbe du cas C4 est toujours situ´ee au dessus de celle correspondant au cas C3. Durant la phase de transition, les richesses rencontr´ees poss`edent en effet les vitesses laminaires les plus rapides. Le plateau final du cas C4 est plus ´elev´e. Les caract´eristiques de la flamme `a un instant donn´e semblent d´ependantes de son pass´e ainsi que des autres richesses rencontr´ees par la flamme au mˆeme instant.

La compr´ehension du comportement de la courbe au voisinage du point 2 s’av`ere ˆetre plus d´elicate. La flamme `a cet endroit poss`ede toujours la mˆeme richesse, ϕ = 0.95 pour le cas C3 et ϕ = 1.2 pour le cas C4. Un comportement du type homog`ene ´etait donc escompt´e. L’´etude de la vitesse absolue ne permet pas d’apporter une interpr´etation `a cette courbe. D’autres variables doivent donc ˆetre analys´ees.

Pour simplifier l’´etude, les flammes situ´ees aux points 1 et 2 sont suppos´ees ˆetre des flammes planes. Cette hypoth`ese permet d’exprimer la vitesse laminaire,

s_L= (s_a− uf g) , (4.14)

o`u sL `a la vitesse laminaire, et sa `a la vitesse absolue.

La vitesse locale des gaz frais, u_{f g}, est souvent choisie comme la vitesse maximale apr`es la flamme [12]. La structure d’une flamme pr´em´elang´ee peut ˆetre s´epar´ee en deux zones, la zone de pr´echauffage et la zone de r´eaction. La forte diff´erence de temp´erature entre la zone de pr´echauffage et la zone de r´eaction entraˆıne une modification de la vitesse du fluide pr`es du front de flamme. Le profil de vitesse des gaz frais atteint son maximum juste avant la zone de pr´echauffage. Groot et De Goey [72] montrent dans leur ´etude que cette variation est due `a la variation de densit´e `a travers le front de flamme.

Les profils de la variable de progr`es, de la densit´e et de la vitesse le long du cˆot´e positif de l’axe Y sont repr´esent´e sur la figure 4.31.

Fig 4.30 – Evolution de la vitesse absolue aux points ´etudi´es pour les cas C3 et C4 r´esolus avec les deux mod`eles de chimie. Haut : point 1. Bas : point 2.

On remarque sur cette figure que le point o`u la vitesse est maximale, u<sub>f g</sub> ne correspond pas `a la densit´e des gaz non brˆul´es. Le rapport de densit´e doit ˆetre pris en compte dans la formulation de la vitesse laminaire,

sL= ^{ρf g}

ρ_u ^(sa− uf g) , (4.15) o`u l’indice u correspond aux gaz non brˆul´es, assez loin du front de flamme.

Cette nouvelle formulation rend subsidiaire le choix de prendre la vitesse u_{f g}comme r´ef´erence. En effet, cette formulation est valable pour n’importe quelle vitesse situ´ee dans la zone de r´eaction pourvue que cette derni`ere soit li´ee `a la densit´e correspondante. Les premiers r´esultats obtenus avec la vitesse u_{f g} n’´etant pas satisfaisants, une autre vitesse a ´et´e mesur´ee. La vitesse et la densit´e correspondant `a C = 0.73 ont ´et´e prises comme r´ef´erence. Cette valeur est en effet celle

4.5. Propagation bi dimensionnelle 119

Fig 4.31 – Sch´ema des profils de la variable de progr`es, de la vitesse du fluide et de la densit´e le long de l’axe Y positif.

pour laquelle le terme source de la variable de progr`es est maximal.

Afin de valider cette proc´edure pour d´eterminer s_L, nous l’appliquons au cas C2, r´ealis´e avec les deux mod`eles de chimie, figure 4.32.

Fig 4.32 – Evolution temporelle de la vitesse laminaire de flamme pour le cas C2, r´ealis´e avec les deux mod`eles de chimie.

Les deux courbes ont la mˆeme tendance bien qu’une nette diff´erence de l’ordre de 8 % soit visible entre la chimie complexe et la chimie tabul´ee. La vitesse laminaire obtenue avec Can-tera est s_L = 37.53 cm/s. Sur cette figure, les vitesses laminaires obtenues sont les vitesses de flammes ´etir´ees, ce qui explique les faibles valeurs durant les premi`eres milli-secondes.

L’in-fluence de l’´etirement sera analys´e dans la prochaine section. Les vitesses obtenues apr`es 8 ms sont relativement proches de la vitesse donn´ee par Cantera bien que la chimie complexe semble sous-estimer cette derni`ere. La m´ethode est valid´ee et appliqu´ee aux cas C3 et C4.

L’´evolution de la vitesse laminaire au point 1 est tout d’abord observ´ee, figure 4.33.

Fig 4.33 – Evolution temporelle de la vitesse laminaire de flamme pour les cas C3 et C4 au point 1, r´ealis´e avec les deux mod`eles de chimie.

La tendance g´en´erale des courbes est proche de celle de la vitesse absolue. Le pic maximal semble tout de mˆeme plus marqu´e. Les vitesses laminaires des m´elanges riches ne sont pas at-teintes durant les premi`eres milli-secondes. La figure 4.32 montre que cette particularit´e est aussi pr´esente en milieu homog`ene et qu’elle n’est pas due `a la stratification du m´elange. L’´evolution de la vitesse laminaire est ensuite ind´ependante du degr´e de stratification ´etudi´e. Cette ca-ract´eristique valide les r´esultats de S. Balusamy [11]. Le temps caca-ract´eristique de la d´ecroissance de vitesse, calcul´e dans la section 4.4.2, est de nouveau retrouv´e. Cependant, l’´evolution se passe plus tˆot que dans les cas mono-dimensionnels.

L’´evolution semble l´eg`erement plus lente en chimie complexe, le plateau de vitesse laminaire correspondant au m´elange ϕ = 0.6 n’est atteint qu’apr`es 7.5 ms alors qu’il est atteint apr`es 5 ms en chimie tabul´ee. Cette diff´erence n’´etait pas notable en une dimension o`u les plateaux ´etaient atteints au mˆeme instant. La diffusion des esp`eces et l’´etirement sont deux raisons qui peuvent expliquer ce ph´enom`ene. La vitesse laminaire d’une flamme propane/air de richesse ϕ = 0.6 est sL = 13.07 cm/s d’apr`es Cantera. Sur la figure 4.33, on remarque que la chimie tabul´ee a une l´eg`ere tendance `a surestimer cette valeur tandis qu’elle est sous-´evalu´ee en chimie complexe.

L’´evolution de la vitesse laminaire au point 2 est similaire `a celle pr´esent´ee sur la figure 4.33. Pour cette raison, il ne semble pas imp´eratif de la reproduire ici. Comme attendu, le plateau atteint pour le cas C4 est sup´erieur `a celui du cas C3 dont le m´elange ”riche” poss`ede une vitesse laminaire moins ´elev´ee.