Les sections pr´ec´edentes rendent compte de la complexit´e d’un m´ecanisme chimique. Le syst`eme d’´equation r´egissant un fluide r´eactif comporte le transport de chaque esp`ece, et le calcul de tous les termes sources. R´esoudre un tel syst`eme demande un temps de calcul extrˆemement important et ne peut s’appliquer qu’`a des configurations acad´emiques pour un nombre de points de discr´etisation r´eduit. Diff´erentes m´ethodes ont ´et´e propos´ees afin de simplifier le traitement de la cin´etique chimique dans un code de calcul.
3.5.1 Sch´ema globaux
Nous avons vu qu’un sch´ema global ´etait le nom donn´e `a une combustion repr´esent´ee par une chimie `a une seule ´etape. Ce nom s’´etend g´en´eralement `a des sch´emas comportant relativement peu d’´etapes. De tels sch´emas reposent principalement sur deux hypoth`eses :
— l’´etat quasi-stationnaire (QSSA) : des esp`eces interm´ediaires ou des radicaux sont sup-pos´es atteindre l’´etat d’´equilibre tr`es rapidement. Leur taux de consommation et de production sont en ´equilibre. La concentration de telles esp`eces reste constante et les esp`eces sont ainsi retir´ees du sch´ema r´eactionnel ;
— l’´equilibre partiel (PEA) : des r´eactions ´el´ementaires sont suppos´ees avoir atteint l’´etat d’´equilibre. Les taux d’avancement direct et inverse de la r´eaction poss`edent le mˆeme ordre de grandeur. On consid`ere que la r´eaction joue un rˆole mineur dans le sch´ema r´eactionnel. La r´eaction est alors retir´ee de celui-ci.
Peters [139] propose une m´ethode it´erative fond´ee sur ces deux hypoth`eses. Une telle m´ethode requiert de tr`es bonnes connaissances et comp´etences en cin´etique chimique.
Les sch´emas ainsi obtenus doivent ˆetre mani´es avec pr´ecaution. Leur plage de validit´e est limit´ee, puisque certaines des hypoth`eses effectu´ees ne couvrent pas l’ensemble des domaines de pression, de richesse et de temp´erature.
Plusieurs ´etudes ont aussi port´e sur l’adaptation du calcul du terme source pour l’obtention d’un sch´ema cin´etique `a une ´etape permettant de pr´edire correctement certaines propri´et´es de la flamme. Ferziger et Echekki [55] proposent de consid´erer le taux de r´eaction comme une fonction triangulaire, d´ependante de la temp´erature r´eduite. D’autres m´ethodes se basant sur l’adaptation des constantes d’Arrhenius ont aussi ´et´e d´evelopp´ees [33, 181]. Ces m´ethodes ne n´ecessitent pas une grande connaissance de la cin´etique chimique, mais une partie des propri´et´es du sch´ema est n´eglig´ee.
3.5.2 Chimie tabul´ee
Afin de conserver les sch´emas complets, des m´ethodes de tabulation ont ´et´e d´evelopp´ees. Un aper¸cu non exhaustif de ces m´ethodes est donn´e ci-apr`es. La m´ethode FPI utilis´ee au cours de
3.5. Mod´elisation de la chimie 67
cette th`ese sera un peu plus d´etaill´ee.
3.5.2.1 Intrinsic Low Dimensional Manifold
Nous avons vu que la r´eduction des sch´emas cin´etiques ´etait principalement li´ee aux temps caract´eristiques des r´eactions et des esp`eces. Maas et Pope [111] sugg`erent une m´ethode per-mettant de tester puis trier les temps caract´eristiques des esp`eces. Ils remarquent en effet que les ´evolutions des fractions massiques suivent un ensemble de trajectoires, figure 3.1, valables pour un sous-espace de composition (chaque direction de l’espace de composition est li´ee `a une concentration d’esp`ece).
Fig 3.1 – Exemple d’une vari´et´e ILDM pour une combustion CO/H2/air, et de diff´erentes trajectoires chimiques dans l’espace H2O, CO2. Extrait de Maas et Pope [111].
La d´etermination de ces trajectoires s’effectue `a l’aide du m´ecanisme d´etaill´e. Afin d’´evaluer ces trajectoires, le syst`eme chimique est pos´e sous sa forme math´ematique. Les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice jacobienne sont ensuite recherch´ees afin de d´eterminer les modes lents et les modes rapides. En effet, trois types de valeurs propres se distinguent :
— des valeurs propres nulles correspondant aux ´el´ements conserv´es ;
— des valeurs propres avec une partie r´eelle largement n´egative qui correspondent aux esp`eces variant rapidement ;
— des valeurs propres avec une partie r´eelle faiblement n´egative ou faiblement positive, qui font r´ef´erence aux esp`eces ´evoluant plus lentement.
La d´etermination du temps caract´eristique de coupure τc est r´ealis´ee par l’utilisateur. Toutes les esp`eces associ´ees `a des valeurs propres inf´erieures `a cette valeur sont consid´er´ees `a l’´equilibre chimique. Cette simplification permet de garder uniquement les trajectoires contenues dans le sous-espace attracteur. Plus τc est petit, plus le syst`eme comportera de dimensions et donc d’in-formations. Cependant, le temps de calcul sera plus important. Un compromis entre complexit´e et pr´ecision des informations doit ˆetre trouv´e.
Une fois l’ensemble des trajectoires trouv´ees, celles-ci sont regroup´ees dans une table d´ecrivant l’ensemble des grandeurs thermochimiques avec un nombre r´eduit de param`etres.
Cette m´ethode se r´ev`ele vite fortement limit´ee. En effet, pour les basses temp´eratures, il est difficile de distinguer les temps chimiques lents et rapides et de d´eterminer une valeur correcte de τc. D’une mani`ere g´en´erale, ces r´egions sont r´esolues par extrapolations lin´eaires. Les ph´enom`enes d’auto-allumage ou les ph´enom`enes transitoires ne peuvent pas ˆetre correctement pr´edits avec cette m´ethode. En outre, cette m´ethode fait ´evoluer le syst`eme uniquement de mani`ere chimique et ne prend pas en compte les ph´enom`enes physiques non chimiques tels que la turbulence ou la diffusion diff´erentielle des esp`eces. Par cons´equent, son champ d’application est fortement restreint. De nombreuses recherches ont ´et´e effectu´ees afin d’´etendre le domaine d’applicabilit´e de cette m´ethode.
3.5.2.2 In situ adaptive tabulation
Dans certaines applications, seule une partie de la table chimique est n´ecessaire. Dans ce cas, l’utilisation d’une table chimique compl`ete comportant plus de deux ou trois entr´ees implique des coˆuts de calculs importants. La m´ethode ”In Situ”, propos´ee par Pope [151, 205], se trouve particuli`erement bien adapt´ee. La diff´erence r´eside dans la g´en´eration de la table. Celle-ci est r´ealis´ee en amont du calcul CFD dans la m´ethode ILDM, tandis qu’elle est g´en´er´ee en parall`ele du calcul pour la m´ethode ISAT. Ainsi, seules les compositions pr´esentes sont utilis´ees. Lors du calcul du terme source en chaque point, le code v´erifie si la composition locale a d´ej`a ´et´e analys´ee ou non. Si celle-ci est pr´esente dans la table, les valeurs en sont extraites. Sinon, l’´evolution de la nouvelle composition est calcul´ee. Les nouvelles donn´ees en r´esultant sont mises en m´emoire dans la table.
3.5.2.3 Flamelet generated manifold et Flame Prolongation of ILDM
Une des principales limitations de la m´ethode ILDM r´eside dans sa mauvaise r´eponse au niveau du champ des basses temp´eratures. Pour rem´edier `a ce probl`eme, Van Oijen [130] d´eveloppe la m´ehode de tabulation ”Flamelet Generated Manifold” (FGM). Une m´ethode si-milaire, nomm´ee ”Flame Prolongation of ILDM” (FPI), est propos´ee par Gicquel [66]. Cette derni`ere m´ethode est pr´esente dans le code YALES2 utilis´e au cours de cette th`ese. Une expli-cation d´etaill´ee de celle-ci est apport´ee ci-apr`es.
A l’origine, l’id´ee ´etait de compl´eter la base de donn´ees ILDM dans le domaine des basses temp´eratures `a l’aide de calculs de flammes pr´em´elang´ees laminaires se propageant librement. Les auteurs ont montr´e par la suite que les tables ILDM et les flammes laminaires de pr´em´elange donnaient les mˆemes caract´eristiques dans le domaine des hautes temp´eratures. La tabulation de la chimie `a l’aide de flammes laminaires est pertinent sur l’ensemble du domaine d’inflammabilit´e et de temp´erature. L’approche FPI a ´et´e retenue pour une partie des calculs pr´esent´es dans cette th`ese.
Un ensemble de flammes laminaires de pr´em´elange, poss´edant des richesses diff´erentes, est calcul´e grˆace `a un code de chimie d´etaill´e, ici Cantera [34]. La r´eponse chimique de ces flammes est ensuite tabul´ee `a l’aide de la variable de progr`es C et de la fraction de m´elange Z.
La figure 3.2 repr´esente la temp´erature pour trois flammes de pr´em´elange, qui sont ensuite stock´ees sous forme de table. Une flamme correspond `a une ligne verticale, et toute la gamme de richesse est explor´ee sur l’axe horizontal. Chaque flamme est ind´ependante et la carte donne une indication de l’´evolution de la temp´erature de flamme en fonction de la richesse.
L’utilisation de cette m´ethode permet de transporter uniquement deux variables, Z et YC au lieu de transporter chaque esp`ece. De plus, par construction, le scalaire Z est un scalaire passif : aucun terme source n’apparait donc dans son ´equation de transport.
3.5. Mod´elisation de la chimie 69
Fig 3.2 – Principe de la m´ethode de tabulation FPI. Calcul de flammes 1D laminaires, puis mise en donn´ees sous forme de tables. Repr´esentation T = f (Z,C) pour une table comprenant
80 flammelettes.
Les ´equations de transport de Z et YC remplacent l’´equation (3.16), ∂ρZ ∂t + ∂ρuiZ ∂xi = ∂ ∂xi ρDZ∂Z ∂xi , (3.128) ∂ρYC ∂t + ρuiYC ∂xi = ∂ ∂xi ρDYC∂YC ∂xi + ˙ωYC. (3.129)
L’approche Low-Mach permet de d´ecoupler l’´equation de transport de l’enthalpie sensible du syst`eme. Le syst`eme est consid´er´e comme adiabatique, l’´equation de transport de l’enthalpie sensible (3.15) se d´ecouple du syst`eme et n’a plus besoin d’ˆetre r´esolue. Le lien entre la thermo-dynamique et les variables du fluide est r´ealis´e grˆace `a une ´equation d’´etat et `a la table chimique. En g´en´eral, l’´equation des gaz parfaits est retenue,
P0 = ρrT . (3.130) La chimie tabul´ee pr´esente l’avantage de ne transporter que deux variables pour repr´esenter l’ensemble des esp`eces, ce qui implique un temps de calcul relativement rapide. Cependant, elle pr´esente certains inconv´enients.
Premi`erement, vu que seules deux variables sont transport´ees, uniquement deux coefficients de diffusion sont utilis´es, un pour la variable de progr`es et un pour la fraction de m´elange. La diffusion de chaque esp`ece n’est alors pas consid´er´ee et la diffusion diff´erentielle ne peut pas ˆetre prise en compte et observ´ee de mani`ere correcte. Celle-ci est pourtant in´evitable lors d’une combustion. En effet, plusieurs esp`eces chimiques ainsi que des radicaux sont pr´esents dans la flamme. Toutes ces esp`eces ne poss`edent pas la mˆeme vitesse de diffusion, et n’´evoluent pas de la mˆeme mani`ere `a travers la flamme. Pour prendre en compte cette diffusion diff´erentielle, des modifications doivent ˆetre apport´ees aux m´ethodes de tabulation [126].
Deuxi`emement, la chimie tabul´ee est connue pour ne pas r´epondre correctement aux effets de courbure [176].
Le troisi`eme point, qui est le plus limitant dans ce travail de th`ese, est qu’une table chimique renvoie `a une composition unique pour une valeur de la fraction de m´elange et une valeur de la variable de progr`es. Il n’est pas possible actuellement de prendre en compte des m´elanges de composition ou de temp´erature diff´erentes grˆace `a la chimie tabul´ee. Il faudrait alors rajouter des param`etres et effectuer des validations pour chaque nouvelle entr´ee.