Fig 5.9 – Iso-contour de la richesse 52 ms apr`es le d´ebut de l’injection, ´echelle int´egrale ´egale `a 1.4 mm.
Fig 5.10 – Reproductibilit´e du jet 19 ms apr`es le d´ebut de l’injection. Gauche : LES. Droite : exp´erience. La longueur de p´en´etration du jet est en accord avec les r´esultats exp´erimentaux.
5.4 M´ethodes num´eriques pour la combustion
5.4.1 Table chimique
La m´ethode PCM-FPI pr´esent´ee dans les sections 3.5.2.3 et 3.6.3.1 est ici utilis´ee.
L’´etude se basant surtout sur la vitesse de flamme, le sch´ema cin´etique de Jerzembeck-Pepiot [86] est choisi pour d´ecrire la combustion propane/air. Ce dernier donne en effet des vitesses de flamme laminaire en accord avec les r´esultats exp´erimentaux pour la plupart des hydrocarbures.
La table chimique a ´et´e r´ealis´ee `a l’aide de Cantera [34]. La variable de progr`es est d´efinie de la mˆeme mani`ere que dans la section 4.2.5, soit YC = YCO+ YCO2+ YH2O, pour ´eviter tout point de rebroussement. Afin d’ˆetre plus pr´ecis, l’index des valeurs tabl´ees de la fraction de m´elange est centr´e autour de la stœchiom´etrie puis s’´elargit dans les domaines de non-flammabilit´e. L’index de la variable de progr`es est quant `a lui r´egulier sur tout son intervalle [0 : 1]. La table est r´ealis´ee pour une unique temp´erature et une unique pression initiale. Les r´esultats exp´erimentaux de Balusamy [11] montrent en effet que l’augmentation de pression durant la
phase de combustion n’exc´edera pas 2 %.
La simulation r´ealis´ee ´etant une LES, il est important d’introduire une variance de sous-maille pour la variable de progr`es. Le but de cette simulation est aussi d’avoir un maillage assez raffin´e pour consid´erer Z constant dans une cellule, c’est-`a-dire une fonction de sous-maille de type Dirac.
En ce qui concerne le facteur de s´egr´egation de la variable d’avancement, il est d´efini `a l’aide de la loi de m´elange [124, 138], donn´ee par l’´equation (3.149) et rappel´ee ci-apr`es :
SC = CS∆ 2|∇ eC|2 e
C(1− eC) . (5.12) La taille de filtre ∆ est une variable locale et ´egale `a la taille de la maille.
Cette d´efinition peut ˆetre utilis´ee puisque la simulation est bien r´esolue. La constante du mod`ele, CS, est prise ´egale `a 0.08.
La table finale est bas´ee sur 5 param`etres : 1. la temp´erature initiale Tini = 300 K ; 2. la pression initiale Pini = 101325 Pa ; 3. la fraction de m´elange Z ;
4. la variable de progr`es normalis´ee C ; 5. la s´egr´egation de la variable de progr`es SC.
Pour les simulations, le nombre de Schmidt de la fraction de m´elange est pris ´egal `a ScZ = 1.36 et celui de la variable de progr`es `a ScC = 0.725.
Au regard de la variance de la variable de progr`es dans la sph`ere raffin´ee, repr´esent´ee apr`es 4 ms de combustion sur la figure 5.11, la simulation peut ˆetre qualifi´ee de LES tr`es r´esolue. En effet, la variance n’exc`ede pas 0.015 ce qui est n´egligeable.
Fig 5.11 – Variance de la variable de progr`es dans la fenˆetre de visualisation 4 ms apr`es l’allumage. Maillage `a 304 millions d’´el´ements.
5.4.2 Conditions limites et initialisation du noyau
Pour l’´elaboration de la phase de combustion, il est n´ecessaire de changer les conditions limites `a la fin de la phase d’injection. Cette seconde phase se d´eroule en effet dans un volume
5.4. M´ethodes num´eriques pour la combustion 149
ferm´e. La pr´ec´edente entr´ee est maintenant d´efinie en tant que mur. Le m´elange est allum´e de mani`ere forc´ee grˆace `a l’introduction d’un noyau de gaz brˆul´es. Pour ˆetre le plus comparable possible `a l’exp´erience, le point d’allumage est pris `a l’identique. Dans l’exp´erience, le m´elange est allum´e grˆace `a deux ´electrodes, en apportant le minimum d’´energie possible pour allumer le noyau. Cependant, il n’est pas possible de quantifier cette ´energie exp´erimentalement. La taille du noyau introduit dans les simulations est adapt´ee afin d’atteindre une taille similaire au noyau exp´erimental apr`es 1 ms. Un noyau de rayon 3 mm est typiquement obtenu.
5.4.3 Mesure de vitesse locale `a l’aide d’une fonction Level-Set
5.4.3.1 Description et implantation de la m´ethode
Le but est ici de d´eterminer les effets dus `a la stratification. Pour cela, une mesure de vitesse locale au niveau du front de flamme est mise en place grˆace `a la m´ethode de level-set [132].
La level-set sert `a suivre une iso-valeur de la variable de progr`es. Cette derni`ere sert de crit`ere pour d´elimiter le contour de flamme. La valeur suivie est d´etermin´ee grˆace `a des simulations 1D pr´eliminaires. La valeur de la variable de progr`es o`u le terme source est maximal est choisie et est trouv´ee ´egale `a 0.73 comme repr´esent´e sur la figure 5.12.
Fig 5.12 – Recherche de la valeur de la variable de progr`es pour laquelle le terme source est maximal.
La level-set permet de calculer des normales ainsi que des distances `a une iso-surface rapi-dement. Un sch´ema de la m´ethode est repr´esent´e sur la figure. 5.13.
La mesure de vitesse s’effectue en deux temps. Au temps t (partie gauche de la figure 5.13) : 1. l’iso-contour num´erot´e 1 correspondant `a C = 0.73 est d´etermin´e et stock´e grˆace `a la
level-set ;
2. les normales `a cet iso-contour, nt, sont calcul´ees et stock´ees ;
3. les distances, dt, entre chaque point du maillage et l’iso-surface sont mesur´ees et conserv´ees. Au temps t + ∆t (partie droite de la figure 5.13) :
Fig 5.13 – Mesure de vitesse de flamme laminaire ´etir´ee grˆace `a un suivi de flamme par level-set. Le rouge correspond aux gaz brˆul´es et le bleu aux gaz frais. Gauche : temps t.
Droite : temps t + ∆t.
2. la vitesse absolue, sa, est d´etermin´ee en chaque point de cette nouvelle iso-surface grˆace aux distances et normales pr´ec´edemment stock´ees :
sa= dt ∆t · nt; (5.13)
3. la vitesse du fluide en chaque point de la nouvelle iso-surface est calcul´ee le long de la normale :
u2 = u2· nt; (5.14) 4. la densit´e correspondant aux conditions de gaz frais, c’est-`a-dire C = 0 et SC = 0, est r´ecup´er´ee dans la table chimique pour chaque richesse locale. Celle-ci est not´ee ρLU T o`u l’indice LU T signifie encore une fois ”Look Up Table” ;
5. la vitesse de d´eplacement est d´etermin´ee `a l’aide du ratio de densit´e locale (ρ2/ρLU T), de la vitesse absolue et de la vitesse du fluide sur l’iso-surface 2 :
sd= ρ2 ρLU T
u
(sa− u2) , (5.15)
Cette vitesse de d´eplacement correspond `a une vitesse de flamme laminaire ´etir´ee par analogie `a une flamme 1D ;
6. l’iso-surface 2 devient l’iso-surface 1et l’algorithme est r´e-initialis´e.
L’intervalle de temps entre les deux iso-surfaces est impos´e par l’utilisateur. Celui-ci doit ˆetre suffisamment grand pour que le front de flamme ne soit plus situ´e dans la mˆeme maille mais relativement court pour que la mesure soit locale. Un exemple d’estimation de cet intervalle de temps est donn´e dans la sous-section suivante.