Mod`ele pour pr´edire la dynamique des gaz brˆ ul´es

Des lignes de courant dans les gaz brˆul´es ont ´et´e mises en ´evidence sur la figure 4.36. Pour le mod`ele, un tube de courant est extrait et repr´esent´e sur la figure 4.40.

Fig 4.40 – Sch´ema d’un tube de courant pr´esent dans les gaz brˆul´es.

Ce tube de courant fixe dans le rep`ere de l’´etude est divis´e en trois parties. La premi`ere est la partie centrale qui contient les gaz brˆul´es. La seconde partie est compos´ee des deux zones o`u la flamme se propage. La troisi`eme et derni`ere partie correspond aux parties ext´erieures, o`u les m´elanges frais sont pr´esents. Sur le tube de courant, une extr´emit´e est situ´ee du cˆot´e du m´elange pauvre tandis que l’autre est du cˆot´e o`u le m´elange est riche.

Le tube de courant est suppos´e stationnaire. L’´ecoulement du fluide au sein de celui-ci est consid´er´e comme potentiel. Les flux de quantit´e de mouvement entrant ou sortant d’une des parties dans les gaz frais sont ´egaux,

F₁ = F₂, (4.25)

F₅ = F₆, (4.26)

avec F le flux de quantit´e de mouvement,

F = (ρu⊗ u + P )S , (4.27) et les indices 1, 2, 5 et 6 correspondant aux sections not´ees sur la figure 4.40.

Le tube de courant est suppos´e stationnaire et par cons´equent, les flux de quantit´e de mou-vement dans le sens de propagation de la flamme du cˆot´e riche et du cˆot´e pauvre de la flamme doivent ˆetre ´egaux afin de minimiser le moment angulaire des forces d’inertie et de pression sur le tube de 3 `a 4 et de 1 `a 6. Deux nouvelles identit´es apparaissent,

F₁ = F₆, (4.28)

F₃ = F₄. (4.29)

La flamme cˆot´e riche se situe entre les points 4 et 5 et le front de flamme cˆot´e pauvre est localis´e entre les points 2 et 3. Par cons´equent, un saut de quantit´e de mouvement a lieu `

a ces deux endroits. Les ´equations pr´ec´edentes impliquent que le saut du flux de quantit´e de mouvement entre le point 2 et le point 3 est le mˆeme que celui entre le point 4 et le point 5. Toutes les sections des surfaces des tubes de courant doivent ˆetre additionn´ees pour former la

4.5. Propagation bi dimensionnelle 127

surface enti`ere des gaz brˆul´es. Si l’on somme tous les tubes de courant et que l’on applique la relation de saut (4.24), l’´equation d’´equilibre suivante est obtenue :

([ρ]s²_a)_richS_rich= ([ρ]s²_a)_leanS_lean, (4.30) et une premi`ere ´equation liant la vitesse absolue au rapport des surfaces est d´etermin´ee,

S_lean S_rich ⁼ ([ρ]s2 a)_rich ([ρ]s2 a)_lean ^{. (4.31)} D’une part, les gaz brˆul´es du tube de courant sont stationnaires. De ce fait, le d´ebit massique est conserv´e. Ici aussi, les tubes de courant peuvent ˆetre additionn´es pour former la surface enti`ere des gaz brˆul´es, ce qui conduit `a une seconde ´equation,

(ρBG|uBG|)richS_rich= (ρBG|uBG|)leanS_lean. (4.32)

Si l’on ins`ere l’´equation (4.22) dans l’´equation (4.32), l’´equation suivante est obtenue :

(|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)richS_rich= (|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)leanS_lean, (4.33) ce qui fournit une seconde ´equation liant le rapport des surfaces `a la vitesse absolue, s_a,

S_lean S_rich ⁼

(|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)rich

(|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)lean ^{. (4.34)} Le but de ce mod`ele est tout d’abord de d´eterminer les valeurs des vitesses absolues de la partie riche et de la partie pauvre grˆace au rapport de surface. La densit´e des gaz frais est trouv´ee grˆace `a des flammes en propagation libre pr´ec´edemment calcul´ees avec Cantera [34]. Il est impor-tant d’avoir une valeur de la densit´e des gaz frais pr´ecise car le mod`ele est extrˆemement sensible `a cette derni`ere. Un autre param`etre pour lequel le mod`ele est sensible est la valeur de coupure de la richesse qui d´etermine la transition entre la partie pauvre et la partie riche. Deux valeurs sont choisies ici, ϕ = 0.65 et ϕ = 0.7. Le syst`eme d’´equations est compos´e de l’´equation (4.31) et de l’´equation (4.34). Les rapports de surface sont d´etermin´es dans le post-traitement des simu-lations. Il s’agit de donn´ees g´eom´etriques qui peuvent ˆetre pr´edites, contrairement aux vitesses absolues s_a,rich et s_a,lean, qui repr´esentent les inconnues du syst`eme. Le mod`ele est r´ecapitul´e table 4.10.

Valeurs de coupure ϕ = 0.65 et ϕ = 0.7 Inconnues s_a,rich et s_a,lean Equations ^Slean S_rich ⁼ ([ρ]s2 a)_rich ([ρ]s2 a)_lean S_lean S_rich ⁼ (|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)rich (|ρBGs_a+ ρ_{F G}sL|)lean

Tableau 4.10 – R´esum´e du mod`ele pour pr´edire la vitesse absolue.

Ce syst`eme est r´esolu `a l’aide de Matlab `a chaque milli-seconde, de 7 `a 11 ms pour le cas C3 avec les deux mod`eles de chimie. Les r´esultats obtenus sont pr´esent´es sur les figures 4.41 et 4.42. Les pr´edictions du mod`ele simplifi´e concordent avec les r´esultats trouv´es num´eriquement pour les deux mod`eles de chimie, au bout d’un certain moment. La valeur de transition entre la surface riche et la surface pauvre semble ˆetre situ´ee entre les deux valeurs ´etudi´ees.

Fig 4.41 – Comparaison de la vitesse absolue mesur´ee avec les vitesses absolues calcul´ees `a partir du mod`ele. Deux valeurs de transition de surface sont analys´ees. Cas C3 r´ealis´e avec la

chimie complexe.

Fig 4.42 – Comparaison de la vitesse absolue mesur´ee avec les vitesses absolues calcul´ees `a partir du mod`ele. Deux valeurs de transition de surface sont analys´ees. Cas C3 r´ealis´e avec la

chimie tabul´ee.

A t = 11 ms, les valeurs sont vraiment similaires. En effet, pour la chimie tabul´ee avec une valeur de coupure ´egale `a ϕ = 0.65, le rapport de surface obtenu est 2.28. Les valeurs de vitesse absolue trouv´ees sont proches de celles mesur´ees lors de l’analyse directe des r´esultats num´eriques qui sont sa,rich = 1.72 m/s et sa,lean = −1.15 m/s. Grˆace `a ces valeurs, les vitesses