Variables caract´eristiques d’une flamme

Avant d’introduire les variables permettant de caract´eriser une flamme, il est n´ecessaire de d´efinir le rapport stoechiom´etrique massique,

s =  Y_O YF  st = ^νOMO νFMF ^{, (3.114)}

o`u ν et Y correspondent respectivement au coefficient molaire stoechiom´etrique et `a la frac-tion massique locale. Les indices F et O font respectivement r´ef´erence au carburant et `a l’oxy-dant.

3.4.4.1 Richesse et fraction de m´elange

Le ratio d´efini pr´ec´edemment permet d’introduire la premi`ere grandeur caract´eristique d’une flamme : la richesse. La richesse d’une flamme est un nombre adimensionnel caract´erisant la

quantit´e de carburant pr´esente dans le m´elange par rapport `a la quantit´e de carburant n´ecessaire `

a une combustion stoechiom´etrique,

φ = s^YF Y_O ⁼  Y_F Y_O  /  Y_F Y_O  st . (3.115)

Cette variable est fortement li´ee `a la seconde variable, nomm´ee fraction de m´elange et not´ee Z, qui fournit une indication sur la composition du m´elange. Elle d´enote le rapport local entre le carburant F et l’oxydant O. Pour une chimie `a une ´etape avec l’hypoth`ese de nombre de Lewis unitaire, la fraction de m´elange s’´ecrit :

Z = ^sYF − YO+ YO,0

sY_F,0+ Y_O,0 ^{, (3.116)} o`u Y_F,0 et Y_O,0 repr´esentent les fractions massiques de carburant et d’oxydant dans les flux initiaux.

Cette d´efinition a plus particuli`erement un sens pour les flammes de diffusion mais se r´ev`ele tr`es utile pour caract´eriser une stratification de m´elange. Son int´erˆet est tout de mˆeme moindre pour les flammes parfaitement pr´em´elang´ees, pour lesquelles Z est constant.

Elle est normalis´ee ici de fa¸con `a valoir 0 dans l’oxydant et 1 dans le fuel. Son lien avec la richesse s’obtient en manipulant l’´equation (3.116),

Z = ^φ YF

YF,0 − ^YO

YO,0 + 1

φ + 1 ^{. (3.117)}

Afin d’obtenir des ´equations pouvant ˆetre ins´er´ees dans un code de calcul r´esolvant une chimie d´etaill´ee, ces variables vont maintenant ˆetre d´efinies grˆace `a la conservation des atomes. Les r´eactions chimiques se produisant lors d’une combustion engendrent une ´evolution tem-porelle des fractions massiques des diff´erentes esp`eces pr´esentes au sein du m´elange. Cependant, la masse des ´el´ements atomiques est conserv´ee ce qui s’av`ere tr`es utile pour introduire de nou-velles d´efinitions des variables d´ecrivant la combustion, pr´esent´ees dans la section pr´ec´edente. Ces d´efinitions, bas´ees sur la conservation des atomes, sont particuli`erement bien adapt´ees `a la combustion d’un hydrocarbure avec un comburant oxyg´en´e (air ou oxyg`ene pur).

Soit aij le nombre d’atomes de l’´el´ement j (exposant e pour ´el´ement) dans une esp`ece i (exposant s pour species) et W<sub>j</sub><sup>e</sup>la masse molaire de cet ´el´ement. En notant m<sup>s</sup><sub>i</sub> la masse et W<sub>i</sub><sup>s</sup> la masse molaire de l’esp`ece i, alors la masse d’atome j au sein du domaine ´etudi´e s’´ecrit :

m^e_j = n X i=1 aijW_j^e Ws i m^s_i. (3.118)

La masse totale du m´elange est not´ee m. Connaissant la masse de l’´el´ement j dans le m´elange, il est possible de d´eterminer sa fraction massique, Z_j,

Zj = ^m e j m ⁼ n X i=1 a_ijWe j Ws i Yi, (3.119)

avec Yi la fraction massique de l’esp`ece i.

Afin de d´efinir la fraction de m´elange, nous nous int´eressons plus particuli`erement aux frac-tions massique de carbone (C), d’hydrog`ene (H) et d’oxyg`ene (O), qui sont `a la base de la combustion d’un hydrocarbure. En reprenant l’´equation (3.82) faisant r´ef´erence `a la r´eaction globale stoechiom´etrique d’un hydrocarbure C_mH_n, les relations entre les fractions massiques d’atomes sont obtenues,

Z_C mW_C^{e =} Z_H nW_H^{e =} Y_F,u WF ^{, ZO= YO}2,u, (3.120)

3.4. Chimie d´etaill´ee 65

o`u Y<sub>F,u</sub> et Y<sub>O2,u</sub> font r´ef´erence aux fractions massiques locales de carburant et d’oxyg`ene dans le m´elange imbrˆul´e.

Soit β la fonction de couplage d´efinie par :

β = ^ZC mWe C + ^ZH nWe H − 2" ^ZO n + ^m₄
W_O2 ^{. (3.121)} Lors d’une combustion stoechiom´etrique, cette fonction est ´egale `a z´ero. Cette d´efinition correspond `a la d´efinition originale d’un scalaire conserv´e propos´ee par Burke et Schumann [29]. Il est possible de normaliser la fonction entre 0 et 1,

Z = ^β− β2

β1− β2 ^{, (3.122)} o`u les indices 1 et 2 sont respectivement reli´es au jet de carburant et au jet d’oxydant. La fraction de m´elange d´efinie par Bilger [16] est ainsi obtenue,

Z = ^ZC/(mW e C) + Z_H/(nWe H) + 2(Y_O2,2− ZO)/(ν_OW_O2) Z_C,0/(mWe C) + Z_H,0/(nWe H) + 2Y_O2,2/(ν_OW_O2) ^{, (3.123)} o`u Y<sub>O2,2</sub> correspond `a la fraction massique d’oxyg`ene contenue dans le jet d’oxydant. Cette d´efinition pr´esente l’avantage de pouvoir ˆetre utilis´ee pour diff´erents types de mod´eli-sation de la chimie dans lesquels la diffusion diff´erentielle est bien prise en consid´eration.

La richesse du m´elange peut aussi ˆetre d´efinie par les fractions massique des atomes,

ϕ = ² ZC We C + 0.5^ZH We H ZO We O . (3.124) 3.4.4.2 Variable de progr`es

La derni`ere variable est la variable de progr`es. Cette variable adimensionn´ee permet de caract´eriser l’avancement de la r´eaction. Elle est en g´en´eral d´efinie grˆace `a des grandeurs telles que la temp´erature ou une somme de fractions massiques,

C = ^T − Tu

T_b− Tu^{. (3.125)} La d´efinition bas´ee sur la temp´erature n’est pas adapt´ee lorsque des pertes thermiques sont pr´esentes. De plus, il est indispensable que cette variable ´evolue de mani`ere monotone, afin qu’une valeur de C corresponde `a un unique ´etat thermochimique. Lorsqu’elle est exprim´ee en fractions massiques, elle est souvent bas´ee sur CO et CO2,

C = ^{YCO+ YCO}2

Y_CO^eq + Y_CO^eq₂ ^{, (3.126)} o`u l’indice eq fait r´ef´erence aux grandeurs `a l’´equilibre chimique. L’´evolution de cette variable est donc d´ependante de la fraction de m´elange.

Tout comme pour les variables pr´ec´edentes, il est possible de caract´eriser la variable de progr`es grˆace `a la conservation des atomes. Poinsot et al. [150] font la proposition suivante :

C = 1.0− ^YF

Z_C+ Z_H ^{. (3.127)} Cette d´efinition est valable uniquement pour les hydrocarbures non oxyg´en´es. Dans ce cas, la relation ZC + ZH = YF est v´erifi´ee dans les gaz frais, ce qui implique une valeur nulle de la

variable de progr`es. Dans les gaz brˆul´es, si le carburant est enti`erement consomm´e, sa fraction massique est nulle et la variable de progr`es prend la valeur C = 1. Cette derni`ere condition est toujours valable pour des m´elanges pauvres ou stoechiom´etriques. Cependant, si le m´elange est riche, des fractions de carburant peuvent ˆetre pr´esentes au sein des gaz brˆul´es. Bien que des m´elanges riches soient ´etudi´es au cours de cette th`ese, les sch´emas r´eactionnels utilis´es montrent que le carburant n’est plus pr´esent `a la fin de la combustion. Cette d´efinition est donc appliqu´ee dans les ´etudes sur la stratification en gaz frais. Pour les cas comportant des dilutions en gaz brˆul´es, elle ne peut plus ˆetre utilis´ee.