Utilisation de notre grille d’analyse pour étudier les réponses d’un premier échantillon de vingt-deux enseignants échantillon de vingt-deux enseignants

Nous décrivons d’abord les conditions dans lesquelles ont été recueillies les réponses de vingt-deux enseignants. Il s’agit de professeurs expérimentés qui se sont inscrits à un stage de formation continue sur la démonstration.

Individuellement et par écrit, les enseignants ont choisi, avec l’objectif de faire en classe un premier travail sur la démonstration, deux énoncés dans la liste proposée, ainsi que des éléments de mise en œuvre, ils ont explicité par écrit les raisons de leurs choix. Ils se sont ensuite exprimés oralement sur celles-ci. Le texte de l’enregistrement du débat figure en annexe 4 à ce chapitre.

Au regard des commentaires écrits des enseignants, nous sommes amenée à modifier certaines valeurs des variables. Par exemple, l’enseignant peut évoquer dans ses commentaires la règle de contrat du « on sait que… or … donc… », ce qui est à rattacher à l’élément de conception P, sans choisir d’exercice qui soit directement en relation avec P, celui-ci apparaîtra néanmoins dans la conception globale. Voici deux exemples qui montrent nos choix lorsque ceux-ci ne découlent pas directement du modèle que nous avons choisi. L’étude détaillée des vingt-deux réponses obtenues figure en annexe 3 à ce chapitre 4.

Chapitre 4 (Première partie) - Choix de tâches sur la preuve

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Enseignant n°1

Ce tableau récapitule ses choix et ses commentaires :

Niv Couple énoncés choisi

Raisons du choix Mise

en œuvre choisie 4ème 8, 3 822 : « montre l’importance de la démonstration,

travail sur exemple et démonstration,  nécessité de la preuve

c23, y24, m25

Les éléments de conception induits par les choix : Ex conception variable : cadre Mise en œuvre OT IS PI RS F 8 nonCOP, AC, V, R g ? 2 2 2 ternaire 3 nonCOP, AC, nonV, P g conception V et R renforcées V et R renforcées V et R renforcées P renforcée

Nous éliminons nonV d’après les choix de mise en œuvre, nous ajoutons G puisque la variable cadre prend deux fois la valeur g.

D’où la conception globale qui se résume par : nonCOP, AC, V, R, P, G .

22 Enoncé 8 : est-il possible de trouver un quadrilatère qui a un seul angle droit ? exactement deux angles droits ? exactement trois angles droits ?

23 Elément de mise en œuvre c : les élèves sont répartis en groupes de trois ou quatre ; ils cherchent le problème pendant une heure ; le professeur ne répond à aucune question relative au problème.

24 Elément de mise en œuvre y : les preuves des groupes sont proposées à toute la classe qui doit se prononcer sur leur validité en explicitant ses critères.

25 Elément de mise en œuvre m : au bout d’une demi-heure, le professeur demande aux élèves des propositions de stratégies, de théorèmes qui leur semblent pertinents ; toutes les propositions sont inscrites au tableau, même si elles ne sont pas pertinentes par rapport au problème.

Enseignant n°19

Niv Couple énoncés choisi

Raisons du choix Mise

en œuvre choisie 4ème 8, 426 8 : « Faire la différence entre preuve et exhibition d’un

exemple où ça marche. Une même formulation de question amène à fournir des preuves différentes (exemple,

démonstration). Les questions sont assez ouvertes, ce qui permet de laisser plusieurs pistes aux élèves. Révisions de 5ème sur les parallélogrammes ou les angles. »

4 : « Utilisation du calcul littéral pour faire une

démonstration. Cela change des démonstrations en géométrie. Pour répondre les élèves vont devoir faire des tests et émettre une conjecture. » b27, d28, j29, n30, y b, f31, j, q32, t33, z34

26 Enoncé 4 : on choisit n’importe quel nombre, on lui retranche 4 ; on multiple le résultat obtenu par – 3 ; à ce nouveau résultat, on ajoute le triple du nombre de départ ; on trouve toujours le même résultat final. Pourquoi ?

27 Elément de mise en œuvre b : une seule séance est consacrée à ce problème.

28 Elément de mise en œuvre d : les élèves sont répartis en groupes de trois ou quatre ; le professeur circule d’un groupe à l’autre et propose des pistes à la demande, de manière à ce que presque tous les élèves aient rédigé une démonstration à la fin de la séance.

29 Elément de mise en œuvre j : aucune figure n’est dessinée au tableau.

30 Elément de mise en œuvre n : au bout d’une demi-heure, le professeur demande aux élèves des propositions de stratégies, de théorèmes qui leur semblent pertinents ; seules les propositions pertinentes par rapport au problème posé sont inscrites au tableau, pour permettre à toute la classe de poursuivre sa recherche.

31 Elément de mise en œuvre f : chaque élève cherche individuellement le problème et doit rédiger, avec ou sans l’aide du professeur, un texte conforme aux règles du raisonnement déductif, en mettant en évidence hypothèse, propriété et conclusion, pour chaque pas.

32 Elément de mise en œuvre q : toutes les conjectures émises par les élèves sont récoltées par le professeur et écrites au tableau ; elles sont successivement débattues avec toute la classe, suivant leur pertinence par rapport au problème, leur valeur de vérité.

33 Elément de mise en œuvre t : le professeur envoie au tableau un élève qui a trouvé afin qu’il propose sa solution à toute la classe.

34 Elément de mise en œuvre z : certaines preuves individuelles sont proposées à toute la classe qui doit se prononcer sur leur validité en explicitant ses critères.

Chapitre 4 (Première partie) - Choix de tâches sur la preuve 54 Ex conception variable cadre Mise en œuvre OT IS PI RS F 8 nonCOP, AC, V, R g 1 2 1 0 ternaire 4 COP, R, V, V n-a conception V et R annulées V et R renforcées V et R annulées V et R annulées P renforcée Les commentaires et les exercices choisis peuvent amener aux composantes R et P. Mais les choix de mise en œuvre remettent en question ces éléments. En effet, pour l’exercice 8, l’enseignant choisit d, qui propose que le professeur donne des pistes à la demande, de manière à ce que presque tous les élèves aient rédigé une démonstration à la fin de la séance. Ceci annule l’enjeu de vérité que pouvait recouvrir l’exercice 8. Ce choix de mise en œuvre, de même que celui d’envoyer au tableau un élève qui a trouvé (t) montrent le peu de responsabilité scientifique qu’ont les élèves. De ce fait la composante R se trouve annulée.

D’où la conception globale qui se résume par : COP, AC, P, nonG .

Chacune des conceptions globales qui se dégagent n’est pas nécessairement celle du professeur correspondant. En effet, les commentaires donnés par l’enseignant n°19, par exemple, montrent que la preuve nécessite l’entrée dans un certain type de rationalité et qu’elle s’apprend dans des situations qui renferment un enjeu de vérité. Mais sa conception de l’apprentissage va à l’encontre de cette conception de la preuve. Or ce qui nous importe, c’est bien la résultante du couple formé de la conception de la preuve et de celle de son apprentissage, puisque c’est bien ce qui permet de saisir des éléments de ce que le professeur prévoit pour sa classe.

Un tableau récapitulatif des vingt-deux conceptions globales figure en fin d’annexe 3 à ce chapitre. Les conclusions que nous en tirons ne concernent que le groupe des vingt-deux enseignants expérimentés qui ont répondu au questionnaire. Rappelons qu’ils étaient volontaires pour suivre une formation sur la démonstration.

Il ne ressort pas une émergence forte de la composante G35 : on ne peut pas en conclure que l’idée que la preuve s’apprend dans le cadre de la géométrie l’emporte nettement. Les professeurs ne choisissent pas que des énoncés de géométrie pour enseigner la preuve.

La composante nonCOP36 est largement présente (17 sur 22, soit près de 4 sur 5), elle est à mettre en relation avec AC37, représenté 21 fois sur 22 : l’apprentissage

35 La preuve s’apprend dans le cadre de la géométrie plane.

36 L’apprentissage de la preuve se réalise dans des situations qui utilisent le cours, dans des situations qui mettent en jeu des connaissances qui ne sont pas élémentaires, occultant de fait l’apprentissage de la preuve (ses fonctions de validation et d’explication).

de la preuve se réalise dans des situations qui mettent en œuvre les connaissances du cours. Ceci appuie notre hypothèse.

Les éléments V38 et surtout R39 sont peu présents (respectivement 10 sur 22 et 8 sur 22), soit un peu moins de 1 sur 2 pour V et un peu moins de 2 sur 5 pour R. La preuve n’apparaît pas de façon majoritaire comme un moyen de valider et de réduire le doute, et surtout, il ne ressort pas la nécessité d’entrer dans la rationalité mathématique pour apprendre la preuve, on pourrait dire que « le bon sens » semble suffire.

Enfin la composante P40 ressort 15 fois sur 22, soit près de 7 fois sur 10. Pour un premier apprentissage de la preuve, le formalisme du « on sait que… or… donc » se révèle nettement, ce qui appuie notre hypothèse, mais tout de même pas exclusivement.

Ces résultats sont confirmés par le débat que nous avons réalisé avec les enseignants sur ces réponses. L’aspect formel de la preuve ressort nettement, des raisons sont avancées : on peut se reporter à la transcription du débat qui figure en annexe 4 à ce chapitre.

6. Evolution de la méthodologie : modification des propositions de tâches pour