En conclusion, pour la formation

L’objectif de la situation de formation à partir de ce problème est l’institutionnalisation de connaissances d’ordre II et III par rapport à la preuve, voire d’ordre I par rapport au problème. Celle-là, comme nous l’avons précisé au chapitre 8 consacré à la présentation de l’ingénierie, doit être clairement faite sur deux niveaux :

• d’une part, on pointe des éléments dans les productions des professeurs sur le

Centre de secours qui font ressortir des connaissances d’ordre II ou III,

• d’autre part, on se place dans la perspective où les élèves, mis en situation de recherche (pas nécessairement sur ce problème) produisent des écrits du même type108, en précisant que ces mêmes connaissances d’ordre II ou III sont à institutionnaliser auprès des élèves, afin que ces narrations de recherche

évoluent vers ce que nous avons nommé écrits de recherche, voire ensuite vers des preuves plus formalisées.

Dans un premier temps, nous institutionnalisons des éléments relatifs aux quatre tendances et observations relevées, avant de mettre en évidence les éléments cités dans la colonne du milieu du tableau ci-dessous. Nous précisons en outre dans la troisième colonne, des composantes de conceptions (parmi celles qui ressortent du chapitre 3) qui se manifestent dans le contrat usuel relatif à la preuve en classe, qui pourraient évoluer à la suite de ce travail sur le problème.

Les différentes observations à pointer

Les éléments relatifs à ces observations qui sont à préciser en formation Les composantes de conception qui pourraient évoluer On traite un autre problème

* Citer des stratégies relevées dans les

productions, montrer qu’elles relèvent de cette tendance.

FM (Fichier-Méthodes) On entre dans le

problème

* Citer des stratégies relevées dans les

productions, montrer qu’elles relèvent de cette catégorie.

* Les deux points de vue sur le problème et une rapide solution si elle n’a pas été trouvée. * La présence d’éléments relatifs à l’expérimentation dans les textes produits.

nonSExp (Statut non reconnu à l’expérimentation) Le traitement des cas particuliers Le raisonnement par disjonction des cas

* L’importance de la prise en compte des cas particuliers, dans le problème, et en général. * La solution du problème passe par une disjonction de cas, ce qui est peu usuel dans la géométrie, du collège notamment.

* Un autre point de vue sur la

démonstration : la règle du « on sait que-or-donc » est issue d’une vision de la

démonstration comme un calcul sur les énoncés. On peut voir la démonstration comme un raisonnement sur les objets, les ensembles d’objets qui satisfont à certaines propriétés, ce qui ouvre la voie vers l’étude des cas

particuliers, les cas où la propriété n’est pas vérifiée (le faux), la disjonction des cas.

P (pas) (la règle « d’interdiction des cas particuliers ») La production de résultats, de conjectures fausses ou ouvertes

* Les textes comportent des résultats, qui sont constitutifs de la preuve.

* Un résultat est une solution particulière, une stratégie locale ou globale, une preuve locale ou globale.

* L’importance de préciser le statut des

énoncés : conjecture, affirmation sans preuve… * Une conjecture ouverte est aussi un élément qui atteste de l’entrée dans le processus de preuve.

* L’expérimentation doit avoir un statut dans les écrits des élèves.

nonR (non Rationalité) nonSExp

nonV (non enjeu de Vérité)

Après ce bilan fait en rapport avec les productions obtenues pendant la séance (colonne du milieu du tableau ci-dessus), on peut aborder la phase d’institutionnalisation à un niveau plus général, en explicitant les points suivants, dont chacun d’eux est décliné suivant les deux niveaux précisés au début de cette conclusion :

• La nécessité de preuve vient du fort enjeu de vérité présent dans la situation. Pour enseigner la démonstration, il convient de choisir des problèmes où la réponse n’est pas évidente, où la phase heuristique existe, où le doute tient une large place.

Chapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours

166

• La phase heuristique débouche sur l’écriture d’un texte, qui ne répond pas aux contraintes de forme du type on sait que-or-donc. Il s’agit d’y repérer les indices qui montrent l’entrée dans la preuve : l’explicitation du statut des énoncés (au sens de phrases ou expressions) et les résultats.

L’apprentissage de la démonstration passe par la reconnaissance et l’explicitation du statut des énoncés, en particulier savoir si ce qu’on écrit est une conjecture, une affirmation sans preuve, un résultat du cours, un résultat sur le problème étudié. L’entrée de l’élève dans la preuve passe par la production d’éléments qui prennent pour lui statut de validation, ils doivent être reconnus comme

constitutifs de la preuve. Les résultats obtenus sur des cas particuliers font partie de ces éléments.

• Le vrai et le faux coexistent dans les textes produits.

L’apprentissage de la rationalité est une étape préalable à l’entrée dans la démarche de preuve. Au début de l’apprentissage, l’enjeu est d’ajouter un autre mode de preuve à ceux qui ont été très largement utilisés jusque-là, comme par exemple, la mesure sur un dessin (Demongeot 2000). Pour cela l’élève doit apprendre certaines règles du jeu mathématique, celles qui sont fondamentales pour aborder le vrai ou le faux en mathématiques (Gandit M. &

Massé-Demongeot M.C. 1995, 2002) et qui ne relèvent pas du « bon sens ». • Il est utile de travailler sur le faux et les cas particuliers.

En classe, il ne faut pas chercher à éviter les cas particuliers, ils font avancer dans le problème. Il ne faut pas non plus chercher à éviter le faux : le contre-exemple doit exister en classe, et pas seulement de la part du professeur.

• L’entrée dans un problème passe par la compréhension et l’explicitation de ce qu’on cherche, de la question posée. Cette démarche essentielle ne doit pas être occultée par le recours à un catalogue de méthodes connues.

L’apprentissage de la démonstration doit se faire en dehors de tout contexte d’évaluation des connaissances ou de mise en œuvre du cours. Le recours aux fiches-méthodes ne doit pas être proposé a priori.

CHAPITRE 11 LE POLYMINO

« Le mathématicien et le naturaliste ne diffèrent pas quand ils vont à la recherche des principes. Les uns et les autres induisent, font des hypothèses et expérimentent, c’est-à-dire font des tentatives pour vérifier l’exactitude de leurs idées. » « De tout cela, je conclurai que l’induction et la déduction appartiennent à toutes les sciences. Je ne crois pas que l’induction et la déduction constituent réellement deux formes de raisonnement essentiellement distinctes. L’esprit de l’homme a, par nature, le sentiment ou l’idée d’un principe qui régit les cas particuliers. » (Claude Bernard, Introduction à l’étude de la médecine expérimentale, 1865) Le problème

On désigne par n un entier naturel quelconque. On considère un polymino109 carré, de côté n, privé d’une case quelconque (un exemple est dessiné ci-contre).

Est-il possible de le paver avec des dominos ?

Un domino est un élément qui recouvre deux cases qui ont un côté commun.

n

n

Dans toute la suite, lorsque nous dirons polymino de taille n, nous entendrons un carré de n² cases, privé de l’une quelconque d’entre elles. Si nous disons polymino

de côtés n et p, nous voulons dire un rectangle de n sur p cases carrées, privé d’une

case quelconque aussi. Lorsque nous parlerons d’un pavage ou que nous dirons que l’on peut paver ou que le polymino est pavable, il s’agira de comprendre que l’on peut recouvrir totalement, et sans chevauchement, le polymino troué avec des dominos, le trou n’étant pas recouvert, un domino recouvrant deux cases accolées par un côté. Nous dirons indifféremment case ou carreau pour parler des mailles carrées du quadrillage.

Plusieurs analyses mathématiques et didactiques de ce problème sont parues. La première (Grenier & Payan 1998) montre en quoi ce problème constitue une situation fondamentale pour l’émergence de raisonnements et méthodes propres aux mathématiques discrètes : expérimentation sur de petits objets (polyminos de tailles 2, 3, 4, 5…), structuration du polymino par reconnaissance d’un invariant, décomposition et recomposition qui fournit un algorithme de pavage ou qui permet une approche du raisonnement par induction. Cette analyse est reprise dans Gandit

109 Plus généralement, étant donné un quadrillage à mailles carrées identiques, on appelle polymino un ensemble de ces mailles ou cases.

Chapitre 11 (Deuxième partie) - Le polymino

168

(2003 et 2004) : nous la présentons comme situation de formation sur la preuve. Un autre regard sur ce problème est proposé par J. Rolland (1999) dans sa thèse. Il développe une analyse qui montre le lien entre la gestion de l’information et les notions de condition nécessaire et de condition suffisante.

Nous revenons brièvement sur l’analyse mathématique du problème en mettant en évidence les méthodes de preuve inconnues dans l’enseignement secondaire, notamment le raisonnement par induction qui se démarque de l’approche du raisonnement par récurrence donnée dans les classes terminales du lycée. Nous complétons ce retour sur les preuves relatives à ce problème par le point de vue de l’enseignant de mathématiques (au collège ou au lycée).

LES PREUVES RELATIVES AU POLYMINO

Lorsque c’est possible, nous généralisons certains résultats à des formes autres que le carré, notamment les rectangles avec un trou d’une case. Dans toute la suite, n et p désignent des nombres entiers naturels.

1. Condition nécessaire sur la parité des côtés pour que le pavage existe : la