Les résultats obtenus avec cette nouvelle grille

4è : nonCOP, AC, V, R 2nde : COP, R, V 4è : nonCOP, AC, V, R, nonEP 2nde : COP, R, V, nonEP 4è : nonCOP, AC, P 2nde : COP, P 4è : nonCOP, AC, V, R, nonP 2nde : COP, R, V, nonP 4è : nonCOP, AC, P 2nde : COP, R, V, P 8 : 4è : nonCOP, AC, V, R 2nde : COP, R, V 4è : nonCOP, AC, V, R, nonEP 2nde : COP, R, V, nonEP 4è : nonCOP, AC, P 2nde : COP, P 4è : nonCOP, AC, V, R, nonP 2nde : COP, R, V, nonP 4è : nonCOP, AC, P 2nde : COP, P

7. Les résultats obtenus avec cette nouvelle grille

Nous avons analysé soixante-neuf réponses d’enseignants stagiaires PLC2 (stagiaires à l’IUFM de Grenoble en 2005/2006), dont seulement soixante-sept ont répondu pour les deux choix de couples.

Nous avons d’abord étudié l’aspect formel de la preuve au travers de la présence de l’élément de conception P. Dans le premier travail que les enseignants choisissent sur la démonstration, il est présent quarante-six fois sur soixante-neuf réponses (soit près de 7/10). Parmi ces quarante-six enseignants, seuls cinq choisissent ensuite un travail qui permet un réajustement par rapport au formalisme,

révélant ainsi la composante nonP42. Et dans vingt-sept réponses sur soixante-neuf (soit près de 2/5), l’élément P est présent dans les deux choix. La composante nonP, dans au moins un des choix, n’est visible que dans quatorze réponses sur soixante neuf (près de 1/5). Ceci confirme bien notre hypothèse.

Pour les enseignants, le formalisme tient non seulement une grande place dans la preuve, mais il est aussi considéré a priori (sept fois sur dix) ou exclusivement (près de quatre fois sur dix) comme un moyen d’enseigner la preuve.

Par rapport aux composantes V43 et nonV44, les résultats issus du premier choix des enseignants sont les suivants : nonV est présent trente et une fois sur soixante-neuf (plus de 2 sur 5), alors que V n’est présent que treize fois sur soixante-soixante-neuf (moins de 1/5). Parmi ces trente et un premiers choix, dix-sept sur vingt-neuf (qui ont fait un deuxième choix) (près de 3/5) montrent à nouveau nonV par rapport au deuxième choix. Près d’un enseignant sur quatre (17/67) ne fonctionne que sous l’élément de conception nonV. Ainsi :

De façon importante (deux fois sur cinq) la preuve est abordée dans un contexte où le doute est absent, où il n’y a pas d’enjeu de vérité et l’on s’en tient là dans un cas sur quatre.

Dans quelle mesure la preuve est-elle un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours ? Nous avons relevé la présence de la composante AC45, d’une part dans le premier choix, trente-sept fois sur soixante-neuf, d’autre part, dans les deux choix, trente-quatre fois sur soixante-sept :

Un enseignant sur deux voit la preuve essentiellement comme un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours.

Ceci nous amène à examiner la présence dans les réponses des composantesCOP46 et nonCOP47. Ce dernier est présent dans les deux choix, dans trente-quatre réponses sur soixante-sept (soit 1/2). Autrement dit :

42 Une preuve est bien autre chose qu’un enchaînement de pas ternaires, construits sur le mode hypothèse-règle -conclusion ; l’apprentissage de la preuve se fait en dehors de tout formalisme.

43 Une preuve est destinée à établir la vérité d’un résultat, elle a pour fonction essentielle de valider et de réduire le doute.

44 Une preuve se réalise dans un contexte où le doute est absent, où il n’y a pas d’enjeu de vérité.

45 La preuve est un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours.

46 L’apprentissage de la preuve se réalise dans des situations où les connaissances en jeu sont suffisamment simples pour ne pas occulter le raisonnement.

47 L’apprentissage de la preuve se réalise dans des situations qui utilisent le cours, dans des situations qui mettent en jeu des connaissances qui ne sont pas élémentaires, occultant de fait l’apprentissage de la preuve (ses fonctions de validation et d’explication).

Chapitre 4 (Première partie) - Choix de tâches sur la preuve

60

Pour la moitié des enseignants, la preuve ne s’apprend que dans des situations qui utilisent le cours.

Et dans trente-huit réponses sur soixante-neuf (près de 3/5), on commence l’apprentissage de la preuve dans une situation où l’on met en œuvre les connaissances du cours. La conception que la preuve s’apprend dans un contexte où les connaissances sont suffisamment simples pour ne pas occulter le raisonnement se dégage des deux choix de dix-neuf enseignants sur soixante-sept (un peu moins de 3/10). La composante COP figure au premier choix de vingt-deux réponses sur soixante-neuf (un peu plus de 3/10). Les deux résultats précédents sont largement confirmés par le rejet de l’énoncé 6 (le polymino), dans vingt-huit réponses sur soixante-neuf (soit 2/5) : c’est de loin l’énoncé le plus rejeté.

Enfin :

L’entrée dans la rationalité mathématique comme un préalable à la preuve ne semble pas faire partie des conceptions des enseignants.

Cette conception est en effet sous-représentée dans les réponses. La composante R48 ne figure en premier choix que dans onze réponses sur soixante-neuf (soit moins de 1/5) et ne figure dans au moins un des deux choix que dans vingt-deux réponses sur soixante-neuf (soit un peu plus de 3/10).

Pour clore cette analyse, nous avons dégagé une conception globale qui se retrouve à partir du premier choix de vingt-trois réponses sur soixante-neuf, à partir du deuxième choix de vingt-cinq réponses sur soixante-sept, donc à partir d’au moins un des deux choix dans quarante-huit réponses sur soixante-neuf (soit 7/10). Cette conception globale est décrite par : nonCOP, AC, nonV et P. Et cette conception globale est la seule qui résulte des deux choix dans douze réponses sur soixante-sept (presque 1/5). Ainsi :

Pour près de sept enseignants sur dix, la preuve est un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours, elle s’apprend dans un contexte, où le doute est absent, où il n’y a pas d’enjeu de vérité, on suit un « modèle de rédaction donné », qui montre l’enchaînement de pas ternaires, construits sur le mode hypothèse/règle/conclusion. Et pour presque un enseignant sur cinq, la preuve n’est conçue que sous cet aspect.

48 Une preuve répond à des critères de raisonnement, de logique, qui sont propres aux mathématiques, on ne peut démontrer si l’on n’entre pas dans ce type de rationalité.

CHAPITRE 5

LES MANUELS ET LES PROGRAMMES SUR LA PREUVE

« Celui qui n’a égard en écrivant qu’au goût de son siècle songe plus à sa personne qu’à ses écrits : il faut toujours tendre à la perfection, et alors cette justice qui nous est quelquefois refusée par nos contemporains, la postérité sait nous la rendre. » (La Bruyère, Les caractères)

L’étude des manuels constitue un deuxième moyen que nous avons choisi pour accéder aux conceptions des enseignants sur la preuve49, et ceci à double titre. D’une part, ce sont des enseignants qui sont auteurs des manuels. D’autre part, le choix d’un manuel est déterminant pour la conduite du cours par la majorité des enseignants qui, souvent, ne reviennent pas aux documents officiels et font confiance aux auteurs des manuels. Ceux-ci sont des intermédiaires entre les professeurs de terrain et la noosphère. Cependant s’ils ont étudié les programmes et les documents d’accompagnement, ils ont aussi dû répondre à certains critères imposés par les éditeurs (qui sont issus des résultats d’enquêtes auprès des enseignants).

Cette étude des manuels est développée en relation étroite avec les programmes et les documents d’accompagnement. Les programmes officiels (en vigueur, à la rentrée 2006 en classe de cinquième, à la rentrée 2007 en classe de quatrième) mettent l’accent sur la preuve (ce mot même est utilisé), sur la résolution de problèmes, sur l’expérimentation, sur le choix de situations d’apprentissage où l’enjeu de vérité est réel. Ils prônent une initiation plus précoce à la démonstration que les programmes antérieurs, au cycle central du collège (classes de cinquième et quatrième). C’est la raison pour laquelle nous concentrons notre étude sur des manuels relatifs à ces deux classes. Comme nous allons le voir, ces programmes, et surtout les documents d’accompagnement, sont rédigés, sur certains points, en réaction contre des abus flagrants, visibles dans les manuels des éditions précédentes, et, par suite, dans les pratiques des enseignants. Certaines collections ont radicalement évolué, d’autres sont restées conformes à certaines conceptions sur la preuve, même si celles-ci renforcent les malentendus50 et conduisent finalement à des contrats non conformes aux documents officiels.

Sur ce plan de l’entrée dans la preuve, nous analysons douze manuels de collège, relatifs aux programmes cités, répartis en six collections :

• Collection Diabolo, édition Hachette Education : trois auteurs communs aux deux niveaux, Maths 5^e, 2006 (sept auteurs) & Maths 4^e, 2007 (quatre

auteurs) ;

49 Nous rappelons que nous nommons ainsi, tout au long de notre travail, les conceptions des enseignants sur la preuve, son enseignement et son apprentissage.

Chapitre 5 (Première partie) - Les manuels et les programmes sur la preuve

62

• Collection Phare, édition Hachette Education : cinq mêmes auteurs pour les deux niveaux,

Mathématiques 5^e, 2006 & Mathématiques 4^e, 2007 ;

• Collection Triangle, édition Hatier : quatre mêmes auteurs pour les deux manuels,

mathématiques 5^e, 2006 & mathématiques 4^e, 2007 ;

• Collection Prisme, édition Belin : trois auteurs communs aux deux manuels, math 5^e, 2006 (cinq auteurs) & math 4^e, 2007 (six auteurs) ;

• Transmath, édition Nathan : six mêmes auteurs pour les deux niveaux, Transmath 5^e, 2006 & Transmath 4^e, 2007 ;

• Edition Bréal : trois auteurs communs aux deux manuels, Maths 5e, 2006 (sept auteurs) & Maths 4e, 2007 (huit auteurs).

Pour cette analyse nous nous référons à onze composantes locales de conception, parmi celles que nous avons déjà décrites au chapitre 3. Nous les rappelons dans ce tableau :

Désignation Description de la composante de conception AC (application du

cours)

La preuve est un moyen de mettre en œuvre les connaissances du cours.

nonCOP (non centration sur l’objet preuve)

L’apprentissage de la preuve se réalise dans des situations qui utilisent le cours, dans des situations qui mettent en jeu des connaissances qui ne sont pas élémentaires, occultant de fait l’apprentissage de la preuve (ses fonctions de validation et d’explication).

FM (fichier-méthodes) Une preuve se construit à partir des stratégies courantes vues dans le cursus secondaire, elle repose sur un corpus de

connaissances construit et bien identifié dans lequel il n’y a qu’à puiser.

G (géométrie) La preuve s’apprend dans le cadre de la géométrie plane. P (pas) Une preuve est un enchaînement de pas ternaires, construits sur

le mode hypothèse-règle-conclusion. La preuve s’apprend ou se reconnaît si l’on suit ce formalisme.

R (rationalité) Une preuve répond à des critères de raisonnement, de logique, qui sont propres aux mathématiques, on ne peut démontrer si l’on n’entre pas dans ce type de rationalité.

SExp (statut reconnu à l’expérimentation)

L’expérimentation, soit l’étude d’exemples, la formulation de conjectures, l’invalidation de certaines d’entre elles, l’ébauche de preuve, a un statut reconnu, une place dans l’écrit qui correspond à une preuve.

nonSExp (statut non reconnu à

l’expérimentation)

On s’approprie un problème nouveau par l’expérimentation sur des exemples, à partir desquels on essaie d’identifier des régularités, ainsi que les condition de ces régularités, mais ceci doit rester dans le domaine privé et n’a pas de statut reconnu dans l’écrit relatif à la preuve.

T (tout est écrit)

Une preuve est un texte qui explicite totalement le raisonnement, les arguments ne sont pas triés en fonction de leur pertinence, ils sont tous écrits ; une figure ne peut remplacer une partie du texte.

TP (tâches préalables)

L’apprentissage de la preuve se prépare par des tâches préalables telles que le repérage d’une liste d’hypothèses à partir d’un texte donné, des conditions d’applications d’un théorème à partir d’une figure donnée, le codage d’une figure…, tout ceci en dehors de tout projet de preuve. V (enjeu de

vérité)

Une preuve est destinée à établir la vérité d’un résultat, elle a pour fonction essentielle de valider et de réduire le doute.

1. L’enjeu de vérité, le doute51 sont peu présents dans les manuels