La preuve s’apprend essentiellement en géométrie plane

La géométrie est pensée comme le terrain propice à l’apprentissage du raisonnement déductif, qui est le type de preuve privilégié par les enseignants. Propice, l’est-il vraiment ou est-ce un effet de contrat didactique ? Il n’est en effet jamais réellement évoqué le problème de l’évidence, qui joue nécessairement un grand rôle en géométrie. Peut-on donner les raisons de tout fait géométrique ?

62 Les tâches préalables sans projet de preuve renvoie à la composante de conception TP.

63 Ces exercices d’entraînement pourraient être proposés à la suite d’un travail spécifique sur la preuve en tant que moyen d’établir la vérité et d’expliquer. Or ce n’est pas le cas.

Plusieurs propositions sont accompagnées de dessins, les enseignants souhaitent cependant que les élèves « ne lisent pas sur la figure ». Ont-ils vraiment analysé leurs propres actions lorsqu’ils prouvent en géométrie ? Citons G. Arsac (1998) :

[…] en fait le raisonnement mathématique est bien fabrication à l’aide de la logique de vérités nouvelles à partir de vérités supposées connues, mais ces vérités supposées connues ne se résument pas à une collecte dans les axiomes et les théorèmes, dans les faits, elle implique presque toujours d’autres origines, en géométrie par exemple, l’appel à la lecture du dessin […] (Arsac 1998)

Ainsi l’apprentissage de la démonstration en géométrie, outre la difficulté de l’organisation des connaissances dont il s’accompagne, se double nécessairement du problème de la gestion de la figure.

Nous avons déjà cité le programme qui insiste pour que l’apprentissage du raisonnement déductif ait pour support, aussi bien le domaine numérique que le domaine géométrique. Il reconnaît toutefois la place particulière occupée par la géométrie. Ceci est affiché clairement par les manuels qui comportent un chapitre spécifique sur la démonstration en géométrie plane ou qui propose des pages spéciales sur la démonstration, illustrées essentiellement par des exemples en géométrie plane. D’autres manuels tels Triangle 5^e contiennent un chapitre consacré

au raisonnement déductif, illustré à la fois en géométrie et dans le domaine numérique. Mais la distinction est faite entre « prouver en géométrie » et « prouver avec des nombres ». Les chaînons déductifs ne sont proposés qu’en géométrie. Le programme n’évoque d’ailleurs les séquences déductives qu’en géométrie. Quant à

Triangle 4^e , il propose deux chapitres consacrés à la démonstration, l’un en lien avec

le calcul littéral (pages 25-44), intitulé « Calcul littéral et initiation à la démonstration », l’autre avec la géométrie plane (pages 143-156), nommé « Géométrie et initiation à la démonstration ». Dans le premier, les exigences sont faibles sur le plan formel, alors que dans le second, elles sont très grandes. Par exemple, page 33 figure un exemple rédigé de démonstration d’une conjecture sur les nombres, dans laquelle on lit :

[…]

A = 2 (n + 3) – 2 n A = 2 n + 6 –2 n […] (Triangle 4^e, p. 33)

Il n’est pas du tout proposé de justifier le passage d’une ligne à l’autre en invoquant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, bien que ce résultat figure dans le cours quelques pages auparavant (cette connaissance figure aussi au programme de 5^e). Par contre, à la page 150, figurent les lignes suivantes, extraites d’un exemple de démonstration rédigée en géométrie plane :

[…]

On sait que ABCD est un losange.

Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires. […] (Triangle 4e, p. 150).

Chapitre 5 (Première partie) - Les manuels et les programmes sur la preuve

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La propriété utilisée du losange figure dans le cours, page 267, c’est un rappel aussi de la classe de 5^e. Ceci montre la différence entre les exigences sur le plan formel entre la preuve dans le domaine numérique et la preuve en géométrie. Mais on remarque aussi un écart, voire une contradiction, entre la preuve en géométrie plane et la preuve en géométrie dans l’espace. Voici un exemple, tiré de Triangle 4^e, page 185, dans une fiche-méthode intitulée « Calculer la longueur d’un segment dans l’espace » : il s’agit de calculer la hauteur d’une pyramide qui a un volume de 75 cm³ et dont la base est un carré de 6 cm de côté :

V = ! 1 3 B × h 75 = ! 1 3 × 6 × 6 × h […] (Triangle 4^e, p. 185)

Le manuel ne demande pas de repréciser qu’il s’agit d’une pyramide, ce qui justifierait l’utilisation de cette formule, connaissance nouvelle en 4^e, qui figure dans le cours page 184. Par contre, lorsque, en géométrie plane, il s’agit de calculer la longueur d’un segment en utilisant le théorème de Pythagore, connaissance du programme de 4e, on lit, page 164 :

On sait que AHE est un triangle rectangle en H.

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (théorème de Pythagore). Donc AE2 = EH2 + AH2

52 = 22 + AH2

[…] (Triangle 4e, p. 164)

Les deux dernières lignes ci-dessus correspondent aux deux lignes du texte précédent relatif à la pyramide. Le formalisme imposé est cependant totalement différent, bien que les connaissances en jeu relèvent toutes deux du programme de 4^e.

Il est clair cependant que tous les manuels proposent des preuves en calcul littéral et en géométrie, la plupart d’entre eux demandant les premières preuves dans le domaine numérique. C’est un moyen, semble-t-il, de répondre au souci de laisser de côté le formalisme dans un premier temps, les preuves dans ce domaine ne recourant pas à l’explicitation des pas. Toutefois Diabolo 5^e propose sa première démonstration en géométrie, page 145.

On constate ainsi, dans la plupart des manuels, une séparation à propos de la preuve entre la géométrie plane et le domaine numérique. Considérant que ce dernier est propice à l’écriture de preuve sans explicitation des pas de raisonnement, c’est dans le domaine numérique que la majorité des manuels abordent les premières preuves, surtout en calcul littéral. La pratique du calcul littéral étant déjà difficile pour les élèves, aborder la preuve dans ce domaine ajoute une difficulté supplémentaire. Les niveaux d’exigence dans le formalisme sont importants en géométrie plane. Ceci amène à des incohérences si l’on compare avec les preuves dans les autres domaines.

8. Synthèse des conceptions véhiculées dans les manuels