Observations sur la production de résultats, de conjectures fausses ou ouvertes ouvertes

Dans la perspective d’aider à l’évolution des conceptions sur l’écrit relatif à la preuve, par rapport aux composantes P105, T106 et nonSExp107, nous pointons dans les productions tous les indices révélateurs de preuve, qui sortent de la forme stéréotypée, pas déductif et enchaînement des pas. Les résultats sur le problème font partie de ces indices. Nous renvoyons au chapitre 8 pour la définition que nous avons donnée d’un résultat. Nous utilisons la variable CS-nR (Centre de Secours : n Résultats) : la production contient un nombre n de résultats. D’autres indices sont les conjectures, fausses ou ouvertes, révélateurs de l’heuristique.

La variable nombre de résultats

Par rapport aux productions, elle prend les valeurs entières entre 0 et 6.

Par exemple, nous avons relevé trois résultats dans cette production, qui sont les suivants :

• premier résultat : une solution particulière avec preuve. […] * Si les quatre villages sont alignés :

on place le centre de secours au milieu du segment reliant les deux villages les plus éloignés.

Comme il est à égale distance des deux plus loin, il est évidemment plus près des deux autres. […] (extrait de FC06-7-G1)

• deuxième résultat : une autre solution particulière avec preuve.

[…] * Si trois points (villages) sur quatre sont alignés, il faut rechercher le point le moins éloigné des trois villages qui constituent le triangle.

105 Une preuve est un enchaînement de pas ternaires, construits sur le mode hypothèse règle -conclusion. La preuve s’apprend ou se reconnaît si l’on suit ce formalisme.

106 Une preuve est un texte qui explicite totalement le raisonnement, les arguments ne sont pas triés en fonction de leur pertinence, ils sont tous écrits ; une figure ne peut remplacer une partie du texte.

107 On s’approprie un problème nouveau par l’expérimentation sur des exemples, à partir desquels on essaie d’identifier des régularités, ainsi que les conditions de ces régularités, mais ceci doit rester dans le domaine privé et n’a pas de statut reconnu dans l’écrit relatif à la preuve.

Chapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours

160

Donc en prenant le centre du cercle circonscrit, on se place à égale distance des 3 plus loin. Et si on se décale de ce point, on sera forcément plus loin de l’ensemble des trois ⇒ pas possible. […] (extrait de FC06-7-G1)

• troisième résultat : celui-ci, mieux explicité dans une des autres productions de groupe (chacun a rédigé personnellement la réflexion du groupe), consiste à dire que le milieu de la plus grande diagonale du quadrilatère ne convient pas toujours ; il s’agit d’une preuve locale.

[…] Ensuite, je me dis que le CS doit être à égale distance des deux villages les plus éloignés, pour ne pas en pénaliser un.

Il faut donc en plus de regarder les diagonales, aussi les côtés car :

Malheureusement dans certains cas, problème […] (extrait de FC06-7-G1)

L’analyse des productions fait apparaître les résultats suivants :

CS-nR les résultats obtenus dans les productions effectifs n=0 FC06-3-G2, FC06-5-G2, FC06-6-G2, PLC2-06-2-G2, APM02-1, APM-02-2, PLC2-06/07-1, PLC2-06/07-2 8 n=1 FC02-2, FC06-4-G2, PLC2-06-4-G1, PLC2-06-1-G2, PLC2-06/07-7, PLC2-06/07-8 6 n=2 FC02-4, FC06-1-G1, FC06-2-G1, PLC2-06-3-G1, PLC2-06/07-3, PLC2-06/07-5 6 n=3 FC02-1, FC06-7-G1, PLC2-06-5-G1 3 n=4 PLC2-06/07-4 1 n=5 FC02-3 1 n=6 PLC2-06/07-6 1

Un peu moins du tiers des productions (8/26) ne contient aucun résultat, mais on voit donc apparaître au moins un résultat dans la majeure partie des textes, ce qu’il s’agit de mettre en avant, en formation.

Les variables nombre de conjectures fausses et nombre de conjectures ouvertes Il s’agit des variables :

• CS-nCF (Centre de Secours : n Conjectures Fausses) : la production fait

apparaître un nombre n de conjectures reconnues comme fausses, contre-exemple explicité ou non.

• CS-nCO (centre de Secours : n Conjectures Ouvertes) : un nombre n de

conjectures ouvertes figurent dans la production.

Le regard porté sur ces éléments va permettre d’institutionnaliser la nécessité de préciser le statut des énoncés (au sens de phrases ou expressions) qui figurent dans les textes. S’agit-il d’une conjecture ouverte ? D’un résultat ?… Nous avons vu que les manuels ne sont pas éclairants sur ce point.

Un exemple, où le statut de ce qui est écrit n’est pas clair du tout, est donné par la production suivante :

Préliminaires

* Pas de contraintes supplémentaires : relief, mer…

* notion de « plus éloigné » : réponse simpliste : le poste de secours au village le plus éloigné.

Isobarycentre :

contre-exemple : figure

Milieu des deux villages les plus éloignés contre-exemple : figure

Trois points

Chaque triplet de points définit un cercle circonscrit. On regarde la distance du centre du cercle et du quatrième point avec les quatre cercles.

Soit M’ le centre du cercle qui ne passe pas par M et rM son rayon. On cherche le minimum, pour M appartenant à {A, B, C, D}, du maximum de {MM’, rM}, et on place le centre de secours au centre du cercle qui ne contient pas le point ci-dessus. (PLC2-06/07-5)

Non seulement, il est difficile de comprendre ce que les auteurs ont voulu dire, mais on se demande aussi si telle ligne signifie un résultat, une conjecture, s’il y a une preuve…

Chapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours

162

Conjectures fausses ou ouvertes

Productions qui les révèlent Effectifs Pourcentages

CS-nCF n=0 FC02-3, 1-G1, 3-G2, FC06-5-G2, FC06-6-G2, 06-4-G1, PLC2-06-1-G2, PLC2-06-2-G2, APM02-1, APM02-2, PLC2-06/07-1, PLC2-06/07-2, PLC2-06/07-3, PLC2-06/07-7 14 54% n=1 FC02-2, FC02-4, FC06-7-G1, FC06-4-G2, PLC2-06-3-G1, PLC2-06/07-6, PLC2-06/07-8 7 27% n=2 FC02-1, FC06-2-G1, PLC2-06-5-G1, PLC2-06/07-4, PLC2-06/07-5 5 19% TOTAL 26 CS-nCO n=0 FC02-2, FC02-4, FC06-1-G1, FC06-7-G1, FC06-3-G2, FC06-4-G2, FC06-5-G2, FC06-6-G2, PLC2-06-4-G1, PLC2-06-5-G1, PLC2-06-1-G2, PLC2-06-2-G2, APM02-1, APM02-2, PLC2-06/07-3, 06/07-4, 06/07-5, PLC2-06/07-6, PLC2-06/07-7, PLC2-06/07-8 77% n=1 FC02-1, FC02-3, FC06-2-G1, PLC2-06/07-1, 15% n=2 PLC2-06/07-2, PLC2-06-3-G1 8% TOTAL 26

Le problème n’est pas résolu, toutefois une forte proportion (77%) des productions ne propose aucune conjecture ouverte. Une petite moitié (46%) des textes montre une ou deux conjectures fausses. Le faux est donc assez présent, mais on peut dire que ceci est davantage lié à la résolution qu’en proposent les enseignants qu’au problème lui-même : les tâtonnements divers, pas nécessairement en rapport avec le problème, produisent des conjectures fausses, donc des contre-exemples, mais ceux-ci ne font pas nécessairement partie du problème lui-même.

Le faux est présent à deux titres : une conjecture ou un résultat sont proposés, et il se trouve qu’ils sont faux, mais ce n’est pas signalé dans le texte, ou bien une conjecture est proposée et prouvée fausse dans la production, c’est donc un résultat, à condition qu’elle ne résulte pas d’une stratégie manifestement inadéquate, comme par exemple la recherche d’un centre de gravité. En voici deux illustrations, qui montrent chacune un point de vue différent sur le faux.

Le faux vient du problème

Une production propose une conjecture finale, pas très claire, dont on donne la formulation suivante :

[…] Si le quadrilatère ABCD a deux angles obtus consécutifs, par exemple l’angle DAB et l’angle ABC, le second étant inférieur au premier, on considère les deux cas suivants : le premier est celui où le triangle BDC a trois angles aigus, on construit alors le centre de secours au centre du cercle circonscrit au triangle BDC ; le second cas est celui où l’angle

DBC est obtus, le centre de secours est alors situé au milieu de [DC]. Cette conjecture n’est pas démontrée, et on ne sait pas conclure, si les deux angles obtus consécutifs du

quadrilatère sont égaux. (d’après FC02-3)

Cette conjecture finale est fausse, comme le montre le contre-exemple ci-dessous : Les instructions données

au logiciel (voir ci-contre et ci-dessous) montrent la construction de la figure. Le triangle BDC est isocèle, de sommet principal C et son cercle circonscrit est le cercle qui a pour centre l’origine du repère et pour rayon 3.

Le point A n’appartient pas au cercle circonscrit à BCD, ni au disque correspondant, mais, comme C, il appartient à l’axe des ordonnées, axe de symétrie du triangle

BCD : AB = AD. Le point A appartient aussi à c, qui est le cercle de centre B qui

passe par A. Les deux angles DAB et ABC sont obtus. Le triangle BDC a bien trois angles aigus. Le point K est le point d’intersection de c et de [BC]. Les longueurs AB,

AD et BK sont donc égales. L’instruction 11 donnée au logiciel lui demande de

comparer les carrés des longueurs KA et BD : la réponse donnée, qui est 1, montre que KA < BD, d’où l’on déduit que l’angle obtus DAB est plus grand que l’angle obtus ABC. Cependant le centre de secours n’est pas le centre du cercle circonscrit à

BCD ; il est le milieu de [AC]. On peut dire que ce contre-exemple fait partie du

problème.

Le faux ne vient pas du problème

Un second type de contre-exemple est donné dans la production très succincte, dont voici ci-contre un extrait :

[…] Isobarycentre : contre-exemple : figure (extrait de PLC2-06/07-5)

On peut dire que ce type de contre-exemple, d’ailleurs non explicité, ne fait pas partie du problème. Il est induit par une attitude qui relève de la tendance on traite un

autre problème.

Ce qui nous donne le résultat suivant :

Le faux tient une place importante dans les productions, il se montre sous deux aspects : le faux qui fait partie du problème et le faux qui résulte de la tendance « on

Chapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours

164

traite un autre problème ».

Les conjectures ouvertes sont peu présentes.

Un tiers des productions ne comporte aucun résultat sur le problème.

Néanmoins, en formation, nous ne distinguerons pas ces deux points de vue sur le faux, car ce qu’il nous importe d’institutionnaliser auprès des enseignants, c’est la nécessité de donner un statut à l’expérimentation dans le texte de preuve en vue de l’apprentissage de la preuve et de son écriture. Dans un premier temps, il est inutile d’évoquer les dérives, telles que, par exemple, mettre en valeur une production parce qu’elle contient une conjecture, prouvée fausse par un contre-exemple, alors que l’auteur a fait n’importe quoi par rapport au problème en connaissance de cause.