U est aussi un ensemble élémentaire
4. La tendance : on entre dans le problème
Pour identifier les attitudes, qui relèvent de cette tendance, nous utilisons trois variables : présence d’au moins un élément lié à la modélisation, point de vue adopté
sur le problème, stratégie employée, les valeurs des deux dernières constituant des
indicateurs de l’entrée (ou non) dans le problème, la première permettant de déceler que l’on regarde le problème avant de « se lancer ».
Comment ces variables permettent d’identifier cette tendance
Concernant la modélisation, on évoque l’importance des villages, les trajets de l’hélicoptère, le vent… Par exemple :
Un village est un point (non une zone). […] (extrait de FC02-1)
Nous notons par CS-M (Modélisation) la présence d’au moins un élément lié à la modélisation au cours de la résolution du problème. Nous ne relevons pas une production qui ne contient pas d’élément relatif à la modélisation.
Nous distinguons de la précédente la variable, point de vue adopté sur le problème, bien que les valeurs prises par la seconde (point de vue du sauveteur, point
de vue du villageois, absent) puissent être liées à la première, parce que ce point de vue est rarement explicité dans les productions, même s’il est adopté. Nous décrivons
ainsi les valeurs de cette variable, autres que absent :
• CS-PVS (Point de Vue du Sauveteur) correspond à une production qui montre
une approche du problème relevant de la recherche du plus petit disque qui contient les quatre villages.
• CS-PVV (Point de Vue du Villageois) correspond à une production qui montre une approche du problème relevant de la recherche d’une zone
d’intersection de disques de même rayon, centrés sur les villages.
Ces deux points de vue témoignent d’une réelle entrée dans le problème : celui-ci est vu, il est identifié, à savoir qu’il s’agit de démontrer l’existence d’un point qui réalise le minimum de la distance à quatre points fixés dans le plan et de le construire. Voici un exemple :
[…]
Piste 4 : Il faut trouver le plus petit cercle qui contient les quatre villages. Son centre est le centre de secours (non démontré, mais trivial ?! Définition du cercle.)
Piste 5 : solution pour 3 villages Cas 1 :
il existe un angle obtus Cercle de diamètre la plus grande distance
Cas 2 :
pas d’angle obtus
Cercle circonscrit aux trois villages
Conjecture solution : quatre villages définissent quatre triangles (donc quatre cercles) ; un de ces cercles est solution.
Non démontré. Pas de contre-exemple. (FC02-1)
Mais c’est non seulement à la présence (ou l’absence) de ces deux éléments que nous reconnaissons que le problème est identifié (ou non), c’est aussi à la
pertinence (ou non) de la ou des stratégies proposées (l’une de celles que nous avons
exposées dans l’analyse mathématique du problème ou avoisinante). Nous illustrons notre propos par deux exemples-non, c’est-à-dire des productions auxquelles nous n’attribuons ni CS-PVS, ni CS-PVV, ce qui révèle que le problème n’est pas identifié, malgré ce que l’on pourrait penser à première vue :
On a voulu minimiser les distances du centre de secours aux quatre villes. Pistes explorées :
* Tracer les quatre centres des cercles circonscrits aux 4 triangles et recommencer l’opération
* minimiser la fonction OV1 + OV2 + OV3 + OV4
* utilisation de l’isobarycentre des points V1, V2, V3, V4
! MAi2 = MG2+ GAi2+ 2MG • GAi MAi2 i=1 4
"
= 4 MG2+ 4 GAi2 i=1 4"
+ 2MG • GAi i=1 4"
= 4 MG2 + 4 GAi2 i=1 4"
C’est bien minimisé si G =M cas particulier : 4 points alignésChapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours
154
La production débute bien par une phrase qui pourrait évoquer CS-PVS, puisque le problème semble explicité. Cependant, la suite montre qu’il n’est pas identifié puisque les stratégies ou techniques utilisées ne sont pas pertinentes.
Un deuxième exemple-non : […]
⇒ changement de l’énoncé : idée de minimaliser une fonction avec les coordonnées
⇒ chgt d’axe problème minimaliser la somme des distances ⇒ isobarycentre (est-ce bien le bon résultat ?)
⇒ marche pas si ils sont alignés (ce serait le milieu des points extrêmes)
⇒ logiciel de géométrie dynamique / ou tableur avec des si pour expérimenter. Problème on peut pas vraiment expérimenter c’est vite trop long (Cabri tableur grosse aide).
(FC06-4-G2)
la production explicite de « minimaliser une fonction avec les coordonnées », mais ce qui pourrait passer pour une identification du problème est suivi par un « changement d’axe », qui montre qu’il n’en est rien : le problème est abandonné.
Ainsi ce n’est pas à la seule vue dans la production d’une phrase, du type « On a voulu minimiser les distances du centre de secours aux quatre villes », que nous dirons que l’entrée dans le problème est réelle, il faut des indices pertinents qui montrent cette appropriation du problème : CS-PVS ou CS-PVV ou l’un des indicateurs suivants :
• CS-MinMax : on cherche un point qui réalise le Minimum de la distance
Maximale aux quatre villages ;
on peut décliner cette stratégie suivant deux cadres :
CS-MinMaxGeo : on recherche ce point de manière géométrique ; CS-MinMaxAna : on recherche ce point de manière analytique.
• CS-RC (Recherche d’un Cercle) : on cherche à attraper tous les points sur un
même cercle.
• CS-RZ (Recherche d’une Zone) : on cherche une zone à laquelle devraient
appartenir des villages à partir d’une zone déjà délimitée par les autres villages.
Un exemple pour illustrer cette dernière stratégie :
Piste 2 : on prend la distance maximale entre deux villages, le centre de secours est au milieu.
Deux zones posent problème
On détermine les deux villages qui sont les plus éloignés l’un de l’autre, soient A et
B, on considère le disque qui a pour diamètre [AB], on fait apparaître que si les deux
autres villages appartiennent à une même partie d’une certaine zone103, alors on ne sait pas répondre à la question.
Les résultats correspondant à cette tendance
Le tableau ci-dessous ne comporte pas les productions pour lesquelles la variable présence d’au moins un élément lié à la modélisation prend la valeur non, seule sa valeur oui est signalée par CS-M. Il ne comporte pas non plus les productions qui correspondent à la valeur absent de la variable point de vue adopté
sur le problème, ni celles pour lesquelles la stratégie employée n’est pas pertinente
par rapport au problème.
Les résultats chiffrés sont les suivants :
Valeurs des variables Productions qui les mettent à jour Effectifs CS-M : Modélisation FC02-1, FC02-4, FC06-2-G1,
FC06-4-G2, APM-02-1, APM02-2, PLC2-06/07-2, PLC2-06/07-5
8
CS-PVS : Point de Vue du Sauveteur FC02-1, FC02-2, FC02-3, FC02-4, FC06-1-G1, FC06-2-G1, PLC2-06-1-G2, PLC2-06/07-1, PLC2-06/07-3, PLC2-06/07-4, PLC2-06/07-6
11
CS-PVV : Point de Vue du Villageois FC06-2-G1 1
CS-MinMaxGeo : recherche Géométrique du Minimum de la distance Maximale aux villages
FC02-1, FC02-2, FC02-4, FC06-1-G1, FC06-2-G1, 3-G1, PLC2-06-4-G1, PLC2-06/07-3, PLC2-06/07-5, PLC2-06/07-6
10
CS-MinMaxAna : recherche Analytique du Minimum de la distance Maximale aux villages
PLC2-06/07-1, PLC2-06/07-7 2
CS-RC : Recherche d’un Cercle 06-1-G2, 06-2-G2, PLC2-06/07-8
3
CS-RZ : Recherche d’une Zone FC02-1, FC02-2, FC06-2-G1 3
103 Cette zone est le complémentaire du disque de diamètre [AB] dans l’intersection du disque de centre A qui passe par B et du disque de centre B qui passe par A.
Chapitre 10 (Deuxième partie) - Le Centre de secours
156
Seules huit productions sur vingt-six donnent des éléments concernant la modélisation. Nous pensons que la présence faible d’éléments relatifs à la modélisation est une conséquence du contrat didactique usuel, qui veut qu’en mathématiques, on fasse des exercices de mathématiques, sans se préoccuper réellement du problème qu’on est en train de résoudre.
Seulement onze (la seule production qui prend la valeur CS-PVV prend aussi la valeur CS-PVS) productions sur vingt-six témoignent d’une réelle entrée dans le problème, au bout d’un temps plus ou moins long. Cette appropriation de la question a d’ailleurs pu être précédée d’une phase de tâtonnements en dehors du problème : la production FC02-1, par exemple, qui est relevée dans cette tendance, figure aussi dans la tendance précédente. On note l’importance de la variable temps de recherche dans l’entrée dans le problème : les quatre productions FC02, pour lesquelles les enseignants ont eu davantage de temps, montrent une appropriation du problème, mais celle-ci n’est pas immédiate. Cependant, par rapport à ce qu’on cherche à montrer, qui concerne la façon d’aborder un problème, il est plus intéressant de laisser peu de temps de recherche. Parmi ces productions, c’est majoritairement le point de vue du sauveteur qui est retenu et un seul texte conjugue les deux points de vue.
Quelques remarques enfin sur la cohérence dans le remplissage du tableau. Tout d’abord, dans les lignes CS-MinMaxGeo, CS-MinMaxAna, CS-RC, CS-RZ, on retrouve les onze productions, qui marquent une compréhension du problème, sauf deux, FC02-3 et PLC2-06/07-4. La première montre que l’entrée dans le problème est réalisée (CS-PVS), mais ce qu’on cherche n’est pas explicité, aucune stratégie n’est développée pour répondre au problème. Dans la seconde, il apparaît une disjonction de cas pertinente, qui évoque une identification du problème, mais le raisonnement qui suit, sur différents cas d’enveloppes convexes des quatre points, semble conforter les auteurs dans la recherche d’un barycentre. Ensuite, quatre productions, PLC2-06-3-G1, PLC2-06-4-G1, PLC2-06/07-5, PLC2-06/07-7, évoquent des stratégies pertinentes, CS-MinMaxGeo et CS-MinMaxAna, mais ne sont pas considérées comme montrant une compréhension du problème, parce que le problème, bien qu’explicitement décrit, ne semble pas compris : aucune stratégie pertinente n’est proposée.
Les éléments, qui apparaissent dans cette deuxième catégorie d’attitudes par rapport au problème, permettent d’appuyer les résultats donnés par la première tendance on résout un autre problème. L’institutionnalisation proposée dans le paragraphe précédent pour la formation s’en trouve confortée.
5. Observations sur le traitement des cas particuliers, la disjonction des cas