Dans le cas d’un polymino de taille n impaire, le traitement du cas général de la position du trou permet d’aborder d’autres types de preuve de la position du trou permet d’aborder d’autres types de preuve

Le résultat est le suivant : le polymino est pavable si, et seulement si, le trou est à coordonnées de somme paire (case noire121 dans la coloration en damier). Nous avons vu que la condition suffisante pour qu’un pavage existe, à savoir, si le trou est une case noire, alors il existe un pavage, ne se prouvait pas de la même façon que la condition nécessaire, c’est-à-dire s’il existe un pavage, alors le trou est une case noire, ou plutôt, sous sa forme contraposée, si le trou est une case blanche, alors il n’existe aucun pavage. Nous distinguons donc les preuves des deux implications.

Résultat :

si le trou est une case noire (à coordonnées de somme paire), alors il existe un pavage

Ce résultat figure, plus ou moins explicitement, dans trente-huit productions sur soixante-quatre (soit près de 60 %). Parmi les preuves, vingt-six (près de 70 %) sont erronées ou comportent des trous importants (certaines se bornent à suggérer, sans le faire, un raisonnement par récurrence). La plupart des erreurs (16/22122, environ 73 %) relèvent de la confusion entre condition nécessaire, condition suffisante, condition nécessaire et suffisante. Voici un exemple : la production FC06G-7, qui est confuse sur ce qui est prouvé exactement. On note par ailleurs que le mot « hypothèse » est employé à la place de conjecture. Enfin elle comporte l’erreur qui consiste à croire non pavable la réunion « d’un pavable et d’un non pavable ».

[…]

Hypothèse 2 : possible si cases noires échiquier [un échiquier est dessiné] Preuve : hyp 2 possible si case noire

idée : extraire carré 3×3 comme fig 1 [c’est le carré 3x3 colorié en damier, noir : possible, blanc : impossible] pavable. Reste alors rectangles L× l pairs donc pavables

impossible si case blanche

idée (fausse ?) pavable + non pavable = non pavable

Nous avons vu que des méthodes possibles pour prouver ce résultat sont la coloration en damier, la décomposition/recomposition directe (découpage autour du trou en rectangles ayant un côté pair, par exemple) ou au travers d’un raisonnement par induction (découpage d’une couronne de largeur 1, d’une bande en L de largeur 2…). Celui-ci n’est pas disponible dans l’enseignement secondaire, on peut toutefois voir l’idée que l’on découpe le polymino pour en avoir un plus petit… jusqu’à obtenir un polymino de taille 3 dont on a étudié toutes les cases. Ceci se remarque dans PLC2-07-G1, qui raisonne toutefois sur un exemple générique, au lieu de considérer un polymino de taille quelconque impaire :

121 Nous rappelons que la case en haut à gauche du rectangle est coloriée en noir.

122 On relève 22 preuves erronées et 4 de plus qui comportent des trous importants, soit 26 en tout. Voir en annexe du chapitre 11 le tableau récapitulatif de cette analyse.

J’entreprends un essai sur un 7*7, et je me rends immédiatement compte que je peux facilement recouvrir une bonne partie du polymino et ainsi me ramener à un polymino 5*5 …réflexion … mieux je peux me ramener à un 3*3.

Voilà je pense avoir résolu le problème, peu importe la taille du polymino, je peux toujours me ramener à un polymino 3*3. De plus pour n=3, j’ai étudié tous les cas possibles et ils vérifient ma conjecture (qui forcément est un peu compliquée pour le nombre de cases d’un polymino 3*3).

On note par ailleurs la confusion sur ce qu’on prouve : l’auteur pense démontrer ainsi à la fois la condition nécessaire et la condition suffisante. La façon dont « on se ramène » à un polymino plus petit n’est pas explicitée, c’est aussi le cas dans d’autres productions : on ne se soucie pas de vérifier qu’on obtient bien toujours un objet du même type lorsqu’on réduit le polymino de taille quelconque. Voici un autre exemple, PLC2-06-GA-Gr3, où, de plus, l’hypothèse de récurrence est fausse (le cas

n = 3 et le trou au centre donne un contre-exemple) et l’auteur annonce une

récurrence ascendante, alors qu’il raisonne « en descendant », mais sans se soucier si c’est toujours possible.

[…]

Hypothèse de récurrence : si n est impair, « si une case marche, celles situées autour ne marchent pas. »

Supposons l’hypothèse de récurrence vraie au rang 2n+1 et montrons qu’elle encore au rang 2n+3.

Supposons que la case noircie soit ici (quitte à tourner le quadrillage).

Il reste autour des cases que l’on peut grouper par 2. Si on les enlève, on se retrouve avec un quadrillage 2n+1 × 2n+1.

D’autres types de preuve que le raisonnement par récurrence sont proposés (ou suggérés), voici un tableau qui les récapitule :

Sur 38 productions qui contiennent une preuve ou tentative de preuve de « si le trou est une case noire, alors il existe un pavage.»

Type de preuve Un seul type évoqué ou utilisé : récurrence Un seul type évoqué ou utilisé : raisonnement direct par décomposition- recomposition Deux types : tentatives de récurrence et raisonnement direct par décomposition-recomposition Un seul type : coloration en damier 21 13 2 2 Preuves erronées ou incomplètes 17 5 2 2 2n+1 2n+3

Chapitre 11 (Deuxième partie) - Le polymino

186

Parmi les vingt-trois preuves (ou tentatives) qui passent par une récurrence (voir paragraphe 6 de la première partie), douze proposent un découpage d’une

bande en L de largeur 2, une recourt à un découpage d’une couronne de largeur 1,

trois utilisent les deux découpages et sept restent trop vagues ou ne disent rien sur le passage d’un rang au suivant (comme PLC2-07-G1 déjà cité). Les quinze productions qui recourent à un raisonnement direct par décomposition/recomposition proposent des découpages divers du polymino, allant de quatre à huit rectangles pavables, ceux-ci pouvant différer suivant la parité des coordonnées du trou ; certains (au moins deux, comme FC06G-7 déjà cité) enfin proposent « d’extraire des carrés 3 × 3 » sans expliciter davantage. Enfin les deux preuves par coloration sont erronées. Les voici, elles sont issues du même groupe, d’abord FC06G-3 :

[…]

Imaginons un damier n cases sur n cases avec n impair. Certaines cases noires, les autres blanches

Y a-t-il le même nombre de blanches et de noires ? Non car n impair s’écrit 2 i +1

total n2 = (2 i + 1)2 = 4 i2 + 4 i +1 (impair) Il y a 1 case noire de plus (par exemple).

Si on place le trou sur une case noire, l’équilibre est rétabli, on pourra paver car un domino couvre (1 noire + 1 blanche).

Si on place le trou sur une case blanche, le déséquilibre est accentué, il y a maintenant 2 noires de plus.

Ensuite FC06G-4 : Avec un polymino à 9 cases

Je colorie chaque case alternativement en rouge et bleu ce qui représentera un domino

[…]

Un domino est constitué d’une case [bleue, l’auteur a écrit « noire » ?] et d’une case rouge.

En coloriant une case, on enlève une case bleue ou une case rouge. * Si on supprime une case bleue (abscisse impaire, ordonnée impaire) (abscisse paire, ordonnée paire) le nombre de cases bleues devient pair → possible

* Si on supprime une case rouge (paire impaire, impaire paire) le nombre de cases rouges devient impair → impossible Avec un polymino à 16 cases

[…]

La dernière phrase de l’extrait ci-dessus montre que l’auteur n’a pas saisi qu’une condition nécessaire pour que le pavage existe était que la taille du polymino soit impaire. On considère que l’expression « en coloriant une case » signifie : si le trou est une des cases. L’argument qui consiste à dire que l’égalité des nombres de cases de chaque couleur (on dit coloration équilibrée) implique l’existence d’un pavage,

est faux.

Un contre-exemple est donné par la figure ci-contre.

Ce n’est pas non plus le fait que le nombre de cases bleues soit pair qui peut justifier l’existence d’un pavage, comme le montre

le contre-exemple ci-dessous.

On remarque aussi que FC06G-3 ne conclut pas en

l’impossibilité d’un pavage dans le cas où le trou est une case blanche.

Enfin certaines preuves sont très détaillées, redondantes et formellement complexes. Voici l’exemple de PLC2-07-G6 (que nous avons déjà vue au paragraphe 2), qui étudie quatre cas : l’auteur, qui a déjà étudié le cas où le trou est « en haut et à droite » (voir au paragraphe 2), n’a pas vu que ces quatre cas pouvaient être traités en un seul, si on pensait à faire tourner le polymino, il poursuit :

[…]

 si i > n et j ≤ n ou i ≤ n et j > n, on prend un carré n × n qui inclut la case et dans lequel elle est repérée par i’ et j’

ou n 2 n 2 n 2 n 2 i’ = i – 2 et j’ = j ou i’ = i et j’ = j – 2

i’+ j’ = i + j – 2 pair donc le carré n × n est pavable, et le L restant est pavable aussi (voir au-dessus))

 si i > n et j>n, même raisonnement avec le carré n × n en bas à droite. La case dans le carré n × n est repérée par i’ et j’ et i’ = i 2

j’ = j – 2 i’ + j’ = i + j –4 pair, donc le carré n × n est pavable, et le L aussi.

n 2

n

2 […]

Résultat :

si le trou est une case blanche (coordonnées de somme impaire), le pavage est impossible

Quarante et une productions sur soixante-quatre (soit 64 %) comportent une conjecture ou une preuve (ou tentative) de ce résultat, celui-ci étant plus ou moins explicité clairement, souvent amalgamé à sa réciproque dans un essai de raisonnement par récurrence (dans la moitié des preuves, 14/28). Nous avons évoqué ce point dans la partie précédente de ce paragraphe. Voici un tableau récapitulatif : Conjecture

seulement, reconnue comme non prouvée

Preuve correcte par coloration en damier

Erreur : découpage en rectangles d’aires impaires, donc polymino non pavable ou autre découpage ou « on se ramène au cas 3x3 » Essai de preuve par récurrence 13 7 7 14

Il s’agit de prouver une impossibilité. Une preuve par décomposition/recomposition (directe ou par récurrence) ne peut pas convenir parce qu’un polymino qui n’est pas