Une manipulation qui augmente le nombre de solutions

La premi`ere manipulation que nous proposons d’´etudier consiste `a augmenter artificiellement le nombre de structures de coalitions ´etant `a la fois satisfaisantes pour l’agent am et stables. C’est pour cela que nous appelons cette manipulation, une manipulation constructive. Pour ce faire, l’agent am fournit un faux profil de pr´ef´erence (d´efinition 3.2.1) o`u il se dit indiff´erent vis-`a-vis de toutes les coalitions de C_a^N_m et introduit un agent Sybil pr´esentant ses v´eritables pr´ef´erences.

D´efinition 4.1.1 - Manipulation constructive : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence _am= C_am,1 _am C_am,2 _am . . . _am C_am,2n−1. La manipulation constructive M_C mise en œuvre par a_m sur HG est M_C = h{a_m,s},{^MC am , ^MC s }, _ami o`u : ^MC am = Cam,1∼^MC am Cam,2∼^MC am . . . ∼^MC am C_am,2n−1 ^MC s = Cam,1∪ {s} \ {a_m} ^MC s Cam,2∪ {s} \ {a_m} ^MC s . . . ^MC s C_am,2n−1 ∪ {s} \ {a_m} 62

4.1. Manipulation constructive

Remarquons que dans cette d´efinition, l’agent a_m et l’agent Sybil s consid`erent leur coali-tion singleton respective comme pr´ef´er´ee `a toutes les coalitions auxquels ils peuvent appartenir conjointement. Cela permet de garantir que la solution du jeu apr`es manipulation soit acceptable (d´efinition 3.2.4).

Exemple 4.1.1 - Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec : N = {a₁,a₂,a₃,a_m} _a1= {a1,a2} _a1 {a₁,a3,am} _a1 {a₁,a3} ∼_a1 {a₁,a2,am} _a1 {a₁,a2,a3,am} ∼_a1 {a₁} _a2= {a1,a2} ∼_a2 {a₂,a3,am} _a2 {a₁,a2,a3} ∼_a2 {a₂,am} _a2 {a₁,a2,am} _a2 {a₂,a3} _a2 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼_a2 {a₂} _a3= {a₁,a₃} ∼_a3 {a₂,a₃,a_m} _a3 {a₃,a_m} _a3 {a₁,a₂,a₃} _a3 {a₂,a₃} _a3 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼_a3 {a₃} _am= {a1,am} _am {a₂,am} _am {a₃,am} _am{a_m} La manipulation constructive mise en œuvre par am est :

MC am = {a₁,a_m} ∼MC am {a₂,a_m} ∼MC am {a₃,a_m} ∼MC am {a₁,a₂,a_m} ∼MC am {a₁,a₃,a_m} ∼MC am {a₂,a₃,a_m} ∼MC am {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼MC am {a_m} MC s = {a₁,s} ^MC s {a₂,a_m} MC s {a₃,s} ^MC s {s}

L’application de MC sur HG donne donc le jeu HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi o`u : N^MC = {a1,a2,a3,am,s} ^MC 1 = {a₁,a₂} ∼MC a1 {a₁,a₂,s} ^MC a1 {a₁,a₃,a_m} ∼MC a1 {a₁,a₃,a_m,s} MC a1 {a₁,a₃} ∼MC a1 {a₁,a₃,s} ∼^MC a1 {a₁,a₂,a_m} ∼MC a1 {a₁,a₂,a_m,s} MC a1 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼MC a1 {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ∼^MC a1 {a₁} ∼MC a1 {a₁,s} ^MC 2 = {a₁,a₂} ∼^MC a2 {a₁,a₂,s} ∼^MC a2 {a₂,a₃,a_m} ∼^MC a2 {a₂,a₃,a_m,s} ^MC a2 {a₁,a₂,a₃} ∼^MC a2 {a₁,a₂,a₃,s} ∼^MC a2 {a₂,a_m} ∼^MC a2 {a₂,a_m,s} ^MC a2 {a₁,a₂,a_m} ∼^MC a2 {a₁,a₂,a_m,s} ^MC a2 {a₂,a₃} ∼^MC a2 {a₂,a₃,s} ^MC a2 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼^MC a2 {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ∼^MC a2 {a₂} ∼^MC a2 {a₂,s} ^MC 3 = {a₁,a₃} ∼^MC a3 {a₁,a₃,s} ∼^MC a3 {a₂,a₃,a_m} ∼^MC a3 {a₂,a₃,a_m,s} ^MC a3 {a₃,a_m} ∼^MC a3 {a₃,a_m,s} ^MC a3 {a₁,a₂,a₃} ∼^MC a3 {a₁,a₂,a₃,s} ^MC a3 {a₂,a₃} ∼^MC a3 {a₂,a₃,s} ^MC a3 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼^MC a3 {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ∼^MC a3 {a₃} ∼^MC a3 {a₃,s} ^MC a = {a1,am} ∼^MC a {a₂,am} ∼^MC a {a₃,am} ∼^MC a {a₁,a2,am} ∼^MC a {a₁,a3,am}

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste N SH G a1, a2 a3, am a1, a3 a2, am N S_{H G}MC a1, a2 a3, am s a1, a3 a2, am s a1, s a2, a3, am a1, a2, am a3, s a1, a2, a3, am s

Figure 4.1 – Structures de coalitions stables au sens de Nash de HG et de HG^MC

La figure 4.1 pr´esente les structures de coalitions stables pour les jeux HG et HG^MC.

Comme nous le montre la figure 4.1, la manipulation constructive permet d’augmenter le nombre de structures de coalitions stables. Cette augmentation est due au fait que la manipula-tion constructive rend stable les structures de coalimanipula-tions o`u l’agent a_m est l’unique agent de N pr´ef´erant rejoindre une autre coalition. L’agent malhonnˆete est alors appel´e l’unique responsable de la non-stabilit´e de ces structures de coalitions.

D´efinition 4.1.2 - Agent responsable de la non-stabilit´e : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et Π 6∈ N S_HG une structure de coalitions. L’agent a_i ∈ N est l’unique responsable de la non-stabilit´e de Π si :

1. ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {ai} _ai C_a^Π_i; 2. ∀aj ∈ N \ {a_i},∀C ∈ Π ∪ {∅},CΠ

aj _aj C ∪ {aj}. Nous notons dans toute la suite U RHG

ai l’ensemble des structures de coalitions dont l’agent ai est l’unique responsable de la non-stabilit´e.

Exemple 4.1.2 - Reprenons l’exemple 4.1.1. La figure 4.2 pr´esente les trois structures de coalitions de P_N dont l’agent a_m est l’unique responsable de la non-stabilit´e.

Dans la suite de cette section, nous ´etudions la stabilit´e des structures de coalitions r´ esul-tantes de l’ajout de l’agent s dans l’une des coalitions de Π ou de la coalition singleton {s}. Nous montrons alors que l’ensemble des structures de coalitions stables de HG^MC peut ˆetre calcul´e `a partir de HG. Pour simplifier la lecture, nous notons f (Π,s,C<sub>0</sub>) = Π<sup>0</sup> ∈ P<sub>NMC</sub> la fonction qui ajoute l’agent s `a la coalition C0 ∈ Π ∪ {∅} et f⁻¹(Π⁰) la fonction qui supprime l’agent s de Π⁰. Remarquons que pour toute structure de coalitions Π⁰ ∈ P_NMC, il existe une est une seule structure Π ∈ P_N telle que f⁻¹(Π⁰) = Π.

Exemple 4.1.3 - Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi o`u N = {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,a<sub>m</sub>}. Consid´erons la structure de coalitions Π = {{a1,a2},{a<sub>3</sub>},{a<sub>m</sub>}}. L’ajout de l’agent s `a Π produit 4 structures de coalitions possibles dans P_N :

4.1. Manipulation constructive

U R^{H G}am

a1 a2, a3, am

a1, a2, am a3

a1, a2, a3, am ax

Figure 4.2 – Partitions de PN dont a_m est l’unique responsable de la non-stabilit´e

– f (Π,s,∅) = { {a₁,a₂},{a₃},{a_m},{s} } ; – f (Π,s,{a1,a2}) = { {a₁,a2,s},{a3},{a_m} } ; – f (Π,s,{a₃}) = { {a₁,a₂},{a₃,s},{a_m} } ; – f (Π,s,{a_m}) = { {a₁,a₂},{a₃},{a_m,s} }.

Afin d’´etudier la rationalit´e de M_C, nous devons d´efinir l’ensemble des structures de coa-litions stables de HG^MC. Dans la suite, pour toute partition Π ∈ P_N, nous d´esignons par cardMC(Π|HG) le nombre de structures de coalitions Π⁰∈ N S_HGMC construites `a partir de Π :

card_MC(Π|HG) = |{ Π⁰ ∈ N S_HGMC|f⁻¹(Π⁰) = Π }|

Par extension, pour tout ensemble de structures de coalitions P ⊆ P_N, nous d´esignons par card_MC(P|HG) le nombre de structures de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMC construites `a partir des structures de coalitions de l’ensemble P :

card_MC(P|HG) = ^X

Π∈P

card_MC(Π|HG)

Regardons dans un premier temps l’effet de la manipulation constructive sur les structures de coalitions stables pour le jeu HG.

Propri´et´e 4.1.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am ∈ N sur HG. Soit Π ∈ N SHG une structure de coalitions stable au sens de Nash de HG. La structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) de HG^MC est stable au sens de Nash si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

1. C₀ 6= CΠ am;

2. ∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅} : C₀∪ {a_m} _am C ∪ {a_m}.

D´emonstration : Fixons une structure de coalitions Π ∈ N S_HG et une coalition C₀ ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅}. Montrons dans un premier temps que la condition (1) est n´ecessaire pour que la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C0) de HG^MC soit stable au sens de Nash. Par d´efinition

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste coalitions Π⁰ n’est pas stable pour le jeu HG^MC.

Supposons maintenant que la condition (1) est satisfaite et montrons que la condition (2) est ´

egalement n´ecessaire `a la stabilit´e de la structure de coalitions Π⁰. Par d´efinition des pr´ef´erences de am dans la manipulation constructive, nous avons :

∀C ∈ (Π⁰\ {C₀}) ∪ {∅},C_a^Π

m ∼^MC

am C ∪ {am}

Par cons´equent, pour la structure de coalitions Π⁰, l’agent a_mne pr´ef`ere pas changer de coalition. Comme Π ∈ N S_HG, nous avons ∀a_i ∈ N \ {a_m},∀C ∈ Π ∪ {∅},CΠ

ai _ai C ∪ {a_i}. Par les hypo-th`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute (hypoth`eses 3.2.3 et 3.2.4), ∀a_i∈ N \ {a_m},∀C ∈ Π0∪ {∅}, nous avons :

C_a^Π_i ∼MC

ai C_a^Π_i∪ {s} MC

ai C ∪ {a_i} ∼MC

ai C ∪ {a_i,s} Par construction de Π⁰, ∀ai ∈ N \{a_m}, nous avons soit CΠ⁰

ai = C_a^Π_i, soit C_a^Π_i⁰ = C_a^Π_i∪{s}. Dans les deux cas, les agents honnˆetes ne pr´ef`erent pas changer de coalition pour la structure de coalitions Π⁰. Supposons que ∃C ∈ (Π \ {CΠ

am}) ∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} _am C₀ ∪ {a_m}. Par d´efinition de ^MC

s , nous avons alors C ∪ {s} ^MC

s C0 ∪ {s}. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable sous cette hypoth`ese. Supposons maintenant que ∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅}, C₀∪ {a_m} _am C ∪ {a_m}. Par d´efinition des pr´ef´erences de s dans la manipulation constructive, nous avons :

∀C ∈ (Π⁰\ {C_a^Π_m}) ∪ {∅},C_s^Π0 ^MC

s C ∪ {s}

En cons´equence, si la condition (2) est satisfaite, la structure de coalitions Π⁰ est stable.  Ainsi, selon la propri´et´e 4.1.1, l’agent Sybil peut rejoindre toute coalition qu’il ne pr´ef`ere pas `a une autre au sein d’une structure de coalitions Π stable de HG et garantir la stabilit´e de cette nouvelle structure. Remarquons que, comme la partition Π est stable, nous avons C_a^Π_m _am C0∪ {a_m}. Le corollaire de cette propri´et´e est qu’il existe au moins une structure de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMC pour chaque structure de coalitions Π stable dans le jeu HG.

Corollaire 4.1.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m ∈ N sur HG. Pour toute structure de coalitions Π ∈ N SHG, nous avons :

card_MC(Π|HG) = |{C0 ∈ Π|∀C ∈ (Π \ {C_a^Π

m}) ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am}}| ≥ 1

L’intuition derri`ere ce corollaire est qu’il existe n´ecessairement au moins une coalition C0∈ (Π\{C<sub>a</sub><sup>Π</sup><sub>m</sub>}) respectant la seconde condition de la propri´et´e 4.1.1 (et elle respecte aussi la premi`ere condition par d´efinition de C₀). Remarquons que si le profil de pr´ef´erence de l’agent malhon-nˆete est strict, c’est-`a-dire qu’il n’existe pas de coalition ´egalement pr´ef´er´ee `a une autre, alors card_MC(Π|HG) = 1 pour toute structure de coalitions Π ∈ N S_HG.

Exemple 4.1.4 - Reprenons l’exemple 4.1.1. Il existe deux structures de coalitions stables : {{a₁,a₂},{a₃,a_m}} et {{a₁,a₃},{a₂,a_m}}. Consid´erons la structure de coalitions {{a₁,a₂},{a₃,a_m}}. Si s rejoint la coalition {a1,a2}, la partition ,Π⁰ = { {a1,a2,s},{a3,am} } 6∈ N S_HG car {s} ^MC

s

{a₁,a2,s}. De mˆeme, comme C_a^Π_m ∈ {a₃,am}, { {a₁,a2},{a₃,am,s} } 6∈ N S_HG. En revanche, la 66

4.1. Manipulation constructive Π C₀ f (Π,s,C₀) Π⁰ ∈ N S_HGMC ? {a₁,a₂} { {a₁,a₂,s},{a₃,a_m} } × { {a₁,a₂},{a₃,a_m} } {a₃,a_m} { {a₁,a₂},{a₃,a_m,s} } × ∅ { {a₁,a2},{a₃,am},{s} } ^√ {a₁,a3} { {a₁,a3,s},{a2,am} } × { {a₁,a3},{a₂,am} } {a₂,am} { {a₁,a3},{a₂,am,s} } × ∅ { {a₁,a₃},{a₂,a_m},{s} } ^√

Tableau 4.2 – Stabilit´e des structures de coalitions en fonction de C0 lorsque Π ∈ N SHG

structure de coalitions { {a₁,a₂},{a₃,a_m},{s} } est stable. Le tableau 4.2 r´ecapitule la propri´et´e de stabilit´e pour les structures de coalitions construites `a partir de N SHG en fonction de la coalition C0 que rejoint l’agent Sybil s. Nous avons donc :

card_MC({ {a1,a2},{a₃,am} }|HG) = 1 cardMC({ {a1,a3},{a₂,am} }|HG) = 1 cardMC(N SHG|HG) = 2

´

Etudions maintenant l’influence de la manipulation constructive sur les structures de coali-tions de HG qui ne sont pas stables, car au moins un agent honnˆete d´esire changer de coalition. Propri´et´e 4.1.2 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m ∈ N sur HG. Suppons Π 6∈ N SHG telle qu’il existe un agent ai ∈ N \ {a_m} et une coalition C ∈ Π ∪ {∅} v´erifiant C ∪ {ai} _ai C_a^Π_i. Pour toute C0∈ Π ∪ {∅}, nous avons :

Π⁰= f (Π,s,C0) 6∈ N S_HGMC

D´emonstration : Fixons une structure de coalitions Π 6∈ N SHG car il existe un agent ai ∈ N \ {a_m} tel que ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute (hypoth`ese 3.2.3 et 3.2.4), nous avons :

C ∪ {a_i} ∼MC

ai C ∪ {a_i,s} ^MC

ai C_a^Π_i ∼MC

ai C_a^Π_i ∪ {s}

Par construction de Π⁰, soit C ∈ Π⁰, soit C ∪ {s} ∈ Π⁰. Dans les deux cas, il existe une coalition C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_i} MC

ai C_a^Π_i⁰. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable. 

Ainsi selon la propri´et´e 4.1.2, toute structure de coalitions r´esultante de l’ajout de s dans l’une des coalitions de Π n’est pas stable au sens de Nash pour le jeu HG^MC.

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste ´

Etudions maintenant le dernier cas, c’est-`a-dire l’influence de la manipulation constructive sur les structures de coalitions qui ne sont pas stables, car l’agent malhonnˆete a_m est l’unique responsable de la non-stabilit´e (d´efinition 4.1.2).

Propri´et´e 4.1.3 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m ∈ N sur HG. Soit Π une structure de coalitions dont l’agent malhonnˆete am est l’unique responsable de la non-stabilit´e. La structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C0) est stable pour le jeu HG^MC si et seulement si :

∀C₁ ∈ Π ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C₁∪ {a_m}

D´emonstration : Fixons une structure de coalitions Π ∈ U R^HG_am et une coalition C0 ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅}. Soit Π0 = f (Π,s,C₀) la structure de coalitions construite par l’ajout de s dans la coalition C0.

Montrons dans un premier temps que s’il existe une coalition C1 ∈ Π ∪ {∅} : C₁∪ {a_m} _am C₀ ∪ {a_m} alors la structure de coalitions Π0 ne peut pas ˆetre stable au sens de Nash. Par d´efinition des pr´ef´erences de l’agent Sybil s dans la manipulation constructive (d´efinition 4.1.1), nous avons C1 ∪ {s} MC

s C0 ∪ {s}. Par ailleurs, par construction de Π⁰, soit C1 ∈ Π⁰, soit C₁ = ∅. Dans les deux cas, par d´efinition de la stabilit´e, ,Π⁰ 6∈ N S_HGMC car l’agent s souhaite rejoindre la coalition C₁.

Montrons maintenant que si ∀C1 ∈ Π ∪ {∅},C₀ ∪ {a_m} _am C1∪ {a_m} alors la structure de coalitions Π⁰ est stable au sens de Nash. Par d´efinition d’un agent responsable de la non-stabilit´e d’une structure de coalitions (d´efinition 4.1.2), cela vrai si et seulement si C₀ 6= CΠ

m. Par d´efinition des pr´ef´erences de am et de s dans la manipulation constructive ∀C ∈ Π⁰∪ {∅}, nous avons :

C_a^Π_m⁰ ^MC

am C ∪ {am} C_s^Π0 ^MC

s C ∪ {s}

Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute (hypoth`eses 3.2.3 et 3.2.4), ∀a_i ∈ N \ {a_m},∀C ∈ Π ∪ {∅}, nous avons :

C ∪ {a_i} ∼MC

ai C ∪ {a_i,s} ^MC

ai C_a^Π_i ∼MC

ai C_a^Π_i∪ {s} Par construction de Π⁰, ∀ai ∈ N \ {a_m}, soit CΠ⁰

ai = C_a^Π_i, soit C_a^Π_i⁰ ∪ {s}. Dans les deux cas, ∀a_i∈ N \ {a_m}, nous avons ∀C ∈ Π0∪ {∅},CΠ0

ai MC

ai C ∪ {a_i}. Par d´efinition, la partition Π⁰ est donc stable dans le jeu HGMC. 

Remarquons que, par d´efinition d’agent responsable de la non-stabilit´e de Π (d´efinition 4.1.2), il existe n´ecessairement au moins une coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅} telle que ∀C₁ ∈ Π ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C₁∪ {a_m}. Nous pouvons ainsi d´eduire le nombre de structures de coalitions stables dans le jeu HG^MC construit `a partir d’une structure de coalitions o`u l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e.

Corollaire 4.1.3 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am ∈ N sur HG. Pour 68

4.1. Manipulation constructive toute structure de coalitions Π ∈ U R^HG_am , nous avons :

cardM_C(Π|HG) = |{C0∈ Π|∀C ∈ Π ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am}}| ≥ 1

Exemple 4.1.5 - Reprenons l’exemple 4.1.1. L’ensemble des structures de coalitions o`u l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e sont : {{a₁},{a₂,a₃,a_m}}, {{a₁,a₂,a_m},{a₃}} et { {a1,a2,a3,am} }. La table 4.3 indique si une structure de coalitions Π⁰ est stable en fonction de la coalition C0 que rejoint l’agent Sybil s.

Π C₀ f (Π,s,C₀) Π⁰ ∈ N S_HGMC ? {a₁} { {a₁,s},{a₂,a₃,a_m} } ^√ { {a₁},{a₂,a3,am} } {a₂,a3,am} { {a₁},{a₂,a3,am,s} } × ∅ { {a₁},{a₂,a3,am},{s} } × {a₁,a2,am} { {a₁,a2,am,s},{a3} } × { {a₁,a₂,a_m},{a₃} } {a₃} { {a₁,a₂,a_m},{a₃,s} } ^√ ∅ { {a₁,a₂,a_m},{a₃},{s} } × { {a₁,a₂,a₃,a_m} } {a₁,a₂,a₃,a_m} { {a₁,a₂,a₃,a_m,s} } × ∅ { {a₁,a2,a3,am},{s} } ^√

Tableau 4.3 – Stabilit´e au sens de Nash de f (Π,s,C0) en fonction de C0 et de Π ∈ U R^HG_am

De ce fait, nous avons :

card_MC({ {a₁},{a₂,a₃,a_m}} }|HG) = 1 cardM_C({ {a1,a2,am},{a₃} }|HG) = 1 cardMC({ {a1,a2,a3,am} }|HG) = 1 cardMC(U R^HG_am|HG) = 3

Remarquons que si le profil de pr´ef´erence de a_m est strict comme dans l’exemple 4.1.5 alors il existe une seule et unique structure de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMC construite de toute structure de coalitions Π ∈ U R^HG_am .

Grˆace aux corollaires 4.1.1, 4.1.2 et 4.1.3, nous avons montr´e que la manipulation construc-tive permet d’augmenter le nombre de structures de coalitions stables sans pour autant rendre instables dans HG^MC celles qui l’´etaient dans HG. En effet, comme le montrent les exemples 4.1.1, 4.1.4 et 4.1.5, la manipulation constructive permet de passer d’un jeu h´edonique ayant deux structures de coalitions stables `a un jeu HG<sup>M</sup>C o`u il en a cinq.

Dans le document De la manipulation dans les systèmes multi-agents : une étude sur les jeux hédoniques et les systèmes de réputation (Page 71-78)