Une manipulation qui r´ eduit le nombre de solutions

Un agent malhonnˆete qui effectue une manipulation constructive cherche `a augmenter sa probabilit´e de satisfaction (d´efinition 3.1.6) en rendant stables les structures de coalitions dont il est l’unique responsable de la non-stabilit´e (d´efinition 4.1.2). Nous proposons ici une seconde manipulation o`u l’agent malhonnˆete r´eduit le nombre de structures de coalitions stables au sens

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste

malhonnˆete r´ev`ele son v´eritable profil de pr´ef´erence et introduit un agent Sybil s d´esirant re-joindre toutes coalitions de C_a^N_m hormis une coalition C_am,k pr´ealablement fix´ee.

D´efinition 4.2.1 - Manipulation destructive : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et un agent malhonnˆete a_m ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1 _am . . . _am C_am,k _am . . . _am C_am,2n−1. La manipulation destructive mise en œuvre par a_m sur HG est M_D = h{a_m,s},{^MD am , ^MD s }, _ami o`u : ^MD am = Cam,1^MD am . . . ^MD am Cam,k^MD am . . . ^MD am C_am,2n−1 ^MD s = Cam,1∪ {s} ^MD s . . . ^MD s Cam,k−1∪ {s} ^MD s Cam,k+1∪ {s} ^MD s . . . ^MD s C_am,2n−1∪ {s} ^MD s Cam,k∪ {s}

Dans cette manipulation, l’agent Sybil pr´etend vouloir ˆetre dans toutes les coalitions conte-nant am autre que C_am,k tandis que am refuse donc toutes les coalitions contenant s car il pr´esente son v´eritable profil de pr´ef´erence.

Exemple 4.2.1 - Reprenons l’exemple 4.1.1.

N = {a₁,a₂,a₃,a_m} _a1= {a₁,a₂} _a1 {a₁,a₃,a_m} _a1 {a₁,a₃} ∼_a1 {a₁,a₂,a_m} _a1 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼_a1 {a₁} _a2= {a1,a2} ∼_a2 {a₂,a3,am} _a2 {a₁,a2,a3} ∼_a2 {a₂,am} _a2 {a₁,a2,am} _a2 {a₂,a3} _a2 {a₁,a2,a3,am} ∼_a2 {a₂} _a3= {a₁,a₃} ∼_a3 {a₂,a₃,a_m} _a3 {a₃,a_m} _a3 {a₁,a₂,a₃} _a3 {a₂,a₃} _a3 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼_a3 {a₃} _am= {a₁,a_m} _am {a₂,a_m} _am {a₃,a_m} _am {a_m}

Les solutions stables du jeu sont N S_HG = { { {a₁,a₂},{a₃,a_m} },{ {a₁,a₃},{a₂,a_m} } }. Supposons que l’agent malhonnˆete fixe Cam,k = {a2,am}, la manipulation destructive a_m est alors :

^MD am = {a1,am} ^MD am {a₂,am} ^MD am {a₃,am} ^MD am {a_m} ^MD s = {a1,am,s} ^MD s {a₃,am,s} ^MD s {s} 74

4.2. Manipulation destructive La mise en œuvre de MD sur HG donne le jeu HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi o`u :

N^MD = {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ^MD 1 = {a₁,a₂} ∼^MD a1 {a₁,a₂,s} ^MD a1 {a₁,a₃,a_m} ∼^MD a1 {a₁,a₃,a_m,s} ^MD a1 {a₁,a₃} ∼^MD a1 {a₁,a₃,s} ∼^MD a1 {a₁,a₂,a_m} ∼^MD a1 {a₁,a₂,a_m,s} ^MD a1 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼^MD a1 {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ∼^MD a1 {a₁} ∼^MD a1 {a₁,s} ^MD 2 = {a₁,a₂} ∼^MD a2 {a₁,a₂,s} ∼^MD a2 {a₂,a₃,a_m} ∼^MD a2 {a₂,a₃,a_m,s} ^MD a2 {a₁,a₂,a₃} ∼^MD a2 {a₁,a₂,a₃,s} ∼^MD a2 {a₂,a_m} ∼^MD a2 {a₂,a_m,s} ^MD a2 {a₁,a₂,a_m} ∼^MD a2 {a₁,a₂,a_m,s} ^MD a2 {a₂,a₃} ∼^MD a2 {a₂,a₃,s} ^MD a2 {a₁,a₂,a₃,a_m} ∼^MD a2 {a₁,a₂,a₃,a_m,s} ∼^MD a2 {a₂} ∼^MD a2 {a₂,s} ^MD 3 = {a1,a3} ∼^MD a3 {a₁,a3,s} ∼^MD a3 {a₂,a3,am} ∼^MD a3 {a₂,a3,am,s} ^MD a3 {a₃,am} ∼^MD a3 {a₃,am,s} ^MD a3 {a₁,a2,a3} ∼^MD a3 {a₁,a2,a3,s} ^MD a3 {a₂,a3} ∼^MD a3 {a₂,a3,s} ^MD a3 {a₁,a2,a3,am} ∼^MD a3 {a₁,a2,a3,am,s} ∼^MD a3 {a₃} ∼^MD a3 {a₃,s} ^MD am = {a1,am} ^MD am {a₂,am} ^MD am {a₃,am} ^MD am {a_m} ^MD s = {a1,am,s} ^MD s {a₃,am,s} ^MD s {s}

La figure 4.3 repr´esente l’ensemble des structures de coalitions stables pour les jeux HG et HG^MD. N SH G a1, a2 a3, am a1, a3 a2, am N S_{H GMD} a1, a2 a3, am s

Figure 4.3 – Structures de coalitions stables au sens de Nash de HG et de HG^MD

Dans cet exemple, la manipulation r´eduit le nombre de structures de coalitions stables afin que seules les structures de coalitions appartenant au concept d’acceptation de profondeur k aient une probabilit´e de s´election non nulle. Cela est vrai pour tout jeu h´edonique. Pour prouver cela, ´etudions tout d’abord les conditions n´ecessaires `a la stabilit´e d’une structure de coalitions dans HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi.

Propri´et´e 4.2.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a ∈ N sur HG. Une

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m ∈ N sur HG. Supposons une structure de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMD.

Supposons dans un premier temps que C_a^Π_m⁰ = C_s^Π0. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, nous avons {am} MD

am C ∪ {s},∀C ∈ C_a^N_m. Par cons´equent, si C_a^Π_m⁰ = C_s^Π0 alors {am} MD am C_a^Π_m⁰. Ceci contredit Π⁰ ∈ N S_HGMD et donc C_a^Π_m⁰ 6= CΠ0

s .

Supposons maintenant que C_a^Π_m⁰ 6= C_am,k. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons CΠ⁰

am∪ {s} MD s CΠ⁰

s car CΠ⁰

am 6= CΠ⁰

s . Ceci contredit Π⁰ ∈ N S_HGMD et donc CΠ⁰

am= C_am,k. Supposons enfin que C_s^Π0 6= {s}. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} ^MD

s

C_s^Π0 car C_a^Π_m⁰ 6= CΠ⁰

s . Ceci contredit Π⁰∈ N S_HGMD et donc C_s^Π0 = {s}. 

Cette propri´et´e nous permet d’affirmer que si le jeu N S_HGMD n’est pas vide, alors toute structure de coalitions stable contient n´ecessairement la coalition Cam,k et les probabilit´es de satisfaction de l’agent malhonnˆete sont caract´eris´ees par le corollaire suivant :

Corollaire 4.2.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m ∈ N sur HG. Si N S_HGMD 6= ∅, nous avons alors :

1. ∀i ∈ [1,k[: P^∗(am,i|HG^MD) = 0 ; 2. ∀i ∈ [k,2ⁿ⁻¹] : P^∗(a_m,i|HG^MD) = 1.

Regardons maintenant quelles sont les structures de coalitions stables apr`es mise en œuvre de la manipulation destructive. Pour cela, montrons dans un premier temps que si une structure de coalitions n’est pas stable dans HG, la structure de coalitions construite en y ajoutant un agent Sybil n’est pas stable dans HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi.

Propri´et´e 4.2.2 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par am ∈ N sur HG. Soit Π 6∈ N S_HG une structure de coalitions non stable dans HG. ∀C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) n’est pas stable.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et une structure de coalitions Π 6∈ N SHG. Par la propri´et´e 4.2.1, ∀C0 ∈ Π, nous avons Π⁰ = f (Π,s,C0) 6∈ N S_HGMD. En effet, par construction de Π⁰, nous avons C_s^Π0 6= {s} et donc Π0 ne peux pas ˆetre stable.

Consid´erons maintenant la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,∅) et supposons que Π⁰ ∈ N S_HGMD. Par d´efinition de la stabilit´e (d´efinition 2.1.9), nous avons ∀ai ∈ NMD, 6 ∃C ∈ Π⁰ ∪ {∅},C ∪ {a_i} MD

ai C_a^Π_i⁰.

Comme C_s^Π0 = {s}, nous avons ∀ai ∈ N ,CΠ⁰

ai = C_a^Π_i. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, si 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} MD

am C_a^Π_m⁰ alors 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅},C ∪ {a_m} _am C_a^Π_m.

De mˆeme par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute (hypoth`eses 3.2.3 et 3.2.4), si ∀ai ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π⁰ ∪ {∅},C ∪ {a_i} MD

ai C_a^Π_i⁰ alors ∀a_i ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅},C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i. Ainsi, par d´efinition de la stabilit´e si Π⁰ ∈ N S_HGMD alors Π ∈ N S, ce qui est en contradiction avec Π 6∈ N S_HG.

Ainsi, pour toute structure de coalitions Π 6∈ N SHG, quelle que soit C0 ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) n’est pas stable dans le jeu HG^MD. 

´

Etudions maintenant l’effet de la manipulation destructive sur les structures de coalitions stables.

4.2. Manipulation destructive Propri´et´e 4.2.3 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m ∈ N sur HG. Pour toute structure de coalitions Π ∈ N S_HG telle que C_am,k ∈ Π (respectivement C_am,k 6∈ Π), la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,∅) est stable (respectivement non stable) pour le HG^MD.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et une structure de coalitions Π ∈ N SHG. Soit Π⁰ = f (Π,s,∅) la structure de coalitions obtenue apr`es ajout de l’agent s dans sa coalition singleton.

Montrons dans un premier que si C_am,k 6∈ Π alors Π⁰n’est pas stable. Par construction de Π⁰, nous avons C_a^Π_m⁰ = C_a^Π_m. Comme C_am,k 6∈ Π, nous avons CΠ⁰

am 6= C_am,k. Ainsi, par la propri´et´e 4.2.1, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,∅) n’est pas stable.

Montrons dans un second que si C_am,k∈ Π alors Π⁰ est stable. Par construction de Π⁰, nous avons ∀a_i ∈ N ,CΠ

ai = C_a^Π_i⁰. Par la d´efinition 2.1.9, nous avons ∀ai∈ N, 6 ∃C ∈ Π∪{∅} : C ∪{a_i} _ai C_a^Π_i. Par d´efinition des pr´ef´erences de a_m et de s dans la manipulation destructive (d´efinition 4.2.1), nous avons donc :

6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} : C ∪ {a_m} ^MD am C_a^Π_m⁰ C ∪ {s} ^MD

s C_s^Π0

Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute (hypoth`ese 3.2.3 et 3.2.4), ∀ai∈ N \ {a_m}, nous avons aussi :

6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅},C ∪ {a_i} ^MD ai C_a^Π_i⁰ Ainsi, la structure de coalitions Π⁰ est stable pour le jeu HG^MD. 

De cette propri´et´e, nous pouvons d´eduire qu’il existe des structures de coalitions stables dans HG^MD sous les conditions suivantes :

Corollaire 4.2.2 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m∈ N sur HG. Il existe au moins une structure de coalitions stable pour le jeu HG^MD si et seulement si :

∃Π ∈ N S_HG telles que C_am,k ∈ Π

4.2.2 Conditions de rationalit´e

Le corollaire 4.2.1 stipule que la manipulation destructive garantit `a un agent malhonnˆete que, pour un k fix´e, toute solution du jeu stable au sens de Nash contient la coalition C<sub>am,k</sub>. Cependant, comme nous allons le montrer dans cette section, la manipulation destructive n’est pas n´ecessairement rationnelle. ´Etudions dans un premier temps le cas o`u le jeu h´edonique HG ne poss`ede aucune structure de coalitions stable.

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec N = {a1, . . . ,an−1,am} tel que N S_HG = ∅ et que la solution soit donc l’ensemble des coalitions singletons. Par la propri´et´e 4.2.2, nous avons N S_HGMD = ∅ et la solution est aussi l’ensemble des coalitions singleton. Ainsi, par l’hypoth`ese de rationalit´e individuelle minimale (hypoth`ese 3.1.1), nous avons P(HG) = { {a1}, . . . ,{a_n−1},{a_m} } et P(HGMD) = { {a₁}, . . . ,{a_n−1},{a_m},{s} }. Par cons´equent, par d´efinition de la probabilit´e de satisfaction (d´efinition 3.1.6), nous avons :

∀i ∈ [1,k[,P^∗(am,i|HG) = P^∗(am,i|HG^MD) = 0 ∀i ∈ [k,2ⁿ⁻¹],P^∗(am,i|HG) = P^∗(am,i|HG^MD) = 1

C’est pourquoi la manipulation destructive M_D n’est pas k-rationnelle selon la d´efinition 3.2.5 car P^∗(a_m,k|HG) = P^∗(a_m,k|HGMD). 

´

Etudions maintenant le cas o`u le jeu h´edonique n’a qu’une unique structure de coalitions stable.

Propri´et´e 4.2.5 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et am ∈ N un agent malhonnˆete. Si |N SHG| = 1 alors la manipulation destructive M_D n’est pas k-rationnelle, ∀k ∈ [1,2ⁿ⁻¹].

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec N = {a1, . . . ,a_n−1,a_m} tel que N S_HG = {Π₀}. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de l’agent s dans la manipulation destructive (d´efinition 4.2.1) et la propri´et´e 4.2.3, nous avons N S_HGMD = {Π0∪ {{s}}}. Par cons´equent, par le corollaire 4.2.1, nous avons :

∀i ∈ [1,k[,P^∗(a_m,i|HG) = P^∗(a_m,i|HG^MD) = 0 ∀i ∈ [k,2n−1],P^∗(a_m,i|HG) = P^∗(a_m,i|HG^MD) = 1

C’est pourquoi la manipulation destructive MD n’est pas k-rationnelle selon la d´efinition 3.2.5 car P^∗(a_m,k|HG) = P^∗(a_m,k|HG^MD). 

Ces deux propri´et´es nous permettent de montrer que mettre en œuvre une manipulation destructive sur un jeu HG n’est pas rationnelle si |N S_HG| ≤ 1. Plus pr´ecis´ement, la manipulation destructive est k-rationnelle si et seulement si les conditions suivantes sont satisfaites :

Propri´et´e 4.2.6 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et am ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am C_am,2n−1. La manipulation destructive MD est k-rationnelle si et seulement si :

1. ∀i ∈ [1,k[, 6 ∃Π ∈ N SHG : Cam,i∈ Π ; 2. ∃Π ∈ N SHG : Cam,k = C_a^Π_m;

3. ∃Π ∈ N SHG : Cam,k _am C_a^Π_m.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que |N SHG| > 1, un k ∈ [1,2ⁿ⁻¹] et un agent malhonnˆete am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am

C_am,2n−1.

Montrons dans un premier temps que s’il existe un i ∈ [1,k[ tel que ∃Π ∈ N S_HG : C_am,i∈ Π, la manipulation destructive n’est pas k-rationnelle. Pour cela, supposons qu’il existe un tel i. Par d´efinition de la probabilit´e de s´election, nous avons P^∗(am,i|HG) > 1. Par le corollaire 4.2.1, 78

4.3. Robustesse de la stabilit´e au sens de Nash