Conditions de rationalit´ e

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste

est k-rationnelle si ces nouvelles structures de coalitions appartiennent au concept d’acceptation de profondeur k.

Exemple 4.1.6 - Prenons le jeu HG = hN,  ,Pi suivant : N = {a₁,a₂,a₃,a_m}

_a1= {a1,a2,a3} _a1 {a₁,a2,a3,am} _a1 {a₁,a2} _a1 {a₁} _a2= {a1,a2,a3} _a2 {a₁,a2,a3,am} _a2 {a₁,a2} _a2 {a₂} _a3= {a₁,a₂,a₃} ∼_a3 {a₃,a_m} _a3 {a₁,a₂,a₃,a_m} _a3 {a₃} _am= {a₃,a_m} _am {a₁,a₂,a₃,a_m} _am {a_m}

Parmi les 15 structures de coalitions possibles, seulement 2 d’entre elles sont stables {{a₁,a₂},{a₃,a_m}} et { {a₁,a₂,a₃,a_m}}. Ainsi, les probabilit´es de satisfaction de l’agent malhonnˆete sont :

P^∗(a_m,1|HG) = 1/2 ∀i ∈ [2,8] : P^∗(a_m,i|HG) = 1

Comme l’agent malhonnˆete am est l’unique responsable de la non-stabilit´e de la structure de coalitions { {a₁,a₂,a₃},{a_m} }, nous avons :

N S_HGMC = { { {a₁,a₂},{a₃,a_m},{s} },{ {a₁,a₂,a₃,a_m},{s} },{ {a₁,a₂,a₃,s},{a_m} } } Ainsi, les probabilit´es de satisfaction du jeu HG^MC sont :

P^∗(am,1|HG^MC) = 1/3 ∀i ∈ [2,8] : P^∗(am,i|HG^MC) = 1

La manipulation constructive mise en œuvre par am r´eduit ainsi la probabilit´e de satisfaction de degr´e 1 et n’est donc pas rationnelle.

Cet exemple nous montre qu’effectuer une manipulation constructive n’est pas toujours ra-tionnel. L’agent malhonnˆete doit calculer si la manipulation est rationnelle avant sa mise en œuvre. Dans la suite de cette section, nous montrons quelles sont les conditions minimales n´ e-cessaires `a la k-rationalit´e de la manipulation constructive. Par les corollaires 4.1.1, 4.1.2 et 4.1.3, nous avons :

∀Π ∈ N S_HG,cardMC(Π|HG) ≥ 1 ∀Π ∈ U R^HG_am,cardMC(Π|HG) ≥ 1 ∀Π 6∈ N S_HG∪ U R^HG_am,cardMC(Π|HG) = 0 Par extension aux ensembles de structures de coalitions, nous avons donc :

cardMC(N SHG|HG) = ^X Π∈N SHG cardMC(Π|HG) ≥ |N SHG| cardMC(U R^HG_am |HG) = ^X Π∈U RHG am cardMC(Π|HG) ≥ |U R^HG_am|

Ces in´egalit´es nous permettent de d´eduire le nombre de structures de coalitions stables dans le jeu HG^MC `a partir de la connaissance des structures de coalitions stables dans HG et des structures de coalitions dont l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e. 70

4.1. Manipulation constructive Propri´et´e 4.1.4 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m ∈ N sur HG. Le nombre de structures de coalitions stables au sens de Nash dans HGMC est :

|N S_HGMC| = card_MC(N S_HG|HG) + card_MC(U R^HG_am |HG) ≥ |N S_HG| + |U R^HG_a

m| `

A partir des propri´et´es 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 et 4.1.4, nous pouvons d´eduire les conditions n´ eces-saires `a la rationalit´e de la manipulation constructive. Rappelons que, de par la d´efinition 3.2.5, la manipulation constructive est k-rationnelle si elle permet d’am´eliorer la probabilit´e de l’agent malhonnˆete d’ˆetre dans la coalition C<sub>am,k</sub> sans diminuer pour autant la probabilit´e d’ˆetre dans toutes les coalitions Cam,i pr´ef´er´ees `a Cam,k. De mani`ere g´en´erique, nous avons la propri´et´e suivante.

Propri´et´e 4.1.5 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique tel que N SHG 6= ∅ et a_m∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence _am= C_am,1 _am C_am,2 _am . . . _am C_am,2n−1. La manipulation constructive mise en œuvre par am est k-rationnelle seulement si :

∀i ∈ [1,k[,^{|{Π ∈ N SHG|C} Π am ∼_am Cam,i}| |N S_HG| ⁼ (1)i+ (2)i (3) et ^{|{Π ∈ N SHG|C} Π am ∼_am C_am,k}| |N S_HG| ^< (1)_k+ (2)_k (3) o`u : – (1)k= cardMC({Π ∈ N SHG|CΠ am ∼_am Cam,k}|HG) ; – (2)_k= card_MC({Π ∈ U R^HG_am|∃C₀∈ Π ∪ {∅} : (2.1)_k∧ (2.2)}|HG) ; – (2.1)_k= C₀∪ {a_m} ∼_am C_am,k; – (2.2) = ∀C ∈ Π,C0∪ {a_m} _amC ∪ {am} ; – (3) = card_MC(N S_HG|HG) + card_MC(U R_a^HG_m |HG).

Pour des raisons de lisibilit´e, la d´emonstration de cette propri´et´e peut ˆetre trouv´ee en annexe B. Intuitivement, ces conditions correspondent au fait que l’ajout de l’agent s cr´e´e un plus grand nombre de structures de coalitions contenant la coalition C_am,k que de structures de coalitions ne la contenant pas. Dans cette propri´et´e,

– (1)k est le nombre de structures de coalitions de N S_HGMC contenant Cam,k construites `a partir des coalitions de N S_HG;

– (2)_k est le nombre de structures de coalitions de N S_HGMC contenant (C_am,k\ {a_m}) ∪ {s} construites `a partir des coalitions de U R^HG_am ;

– (3) est la cardinalit´e de l’ensemble N S_HGMC.

Cette propri´et´e caract´erise les conditions n´ecessaires `a la k-rationalit´e d’une manipulation constructive dans le cas o`u N SHG6= ∅. Si N S_HG= ∅ ces conditions changent. En effet, lorsque N S_HG= ∅, ^{|{Π∈N S}HG|CΠ

am∼_amC_am,k}|

Chapitre 4. Stabilit´e au sens de Nash : un concept de solution robuste constructive mise en œuvre par am est k-rationnelle si :

∀i ∈ [1,k[: ∀Π ∈ U RHG

am,C_am,i\ {a_m} 6∈ Π ∃Π ∈ U RHG

am : C_am,k\ {a_m} ∈ Π

Intuitivement, en l’absence de structures de coalitions stables pour HG, la manipulation est k-rationnelle s’il existe une structure de coalitions dont l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e, car il d´esire rejoindre la coalition C_am,k\ {a_m}.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que N SHG = ∅ et un agent malhonnˆete am ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am C_am,2n−1. Soit x ∈]k,2ⁿ⁻¹] tel que C_am,x = {a_m}. Nous supposons ,k < x car, dans le cas contraire, l’agent malhonnˆete n’a pas d’int´erˆet `a manipuler le jeu. Par l’hypoth`ese de rationalit´e minimale (hypoth`ese 3.1.1), la solution du jeu HG^MC est la structure de coalitions { {a1}, . . . ,{a_n−1},{a_m} }. Nous avons donc ∀i ∈ [1,x[,P∗(a_m,i|HG^MC) = 0.

Prouvons la premi`ere condition. Par d´efinition de la k-rationalit´e (d´efinition 3.2.5), la manipu-lation constructive est k-rationnelle si ∀i : 1 ≤ i < k,P^∗(am,i|HG) = P^∗(am,i|HG^MC) = 0. Or, comme la solution du jeu est suppos´ee tir´ee al´eatoirement uniform´ement parmi l’ensemble des structures de coalitions stables, P^∗(a_m,i|HGMC) = 0 si et seulement si 6 ∃Π⁰ ∈ N S_HGMC telle que C_a^Π_m⁰ ∼_am Cam,k ou (C_s^Π0 \ {s}) ∪ {a_m} ∼_am Cam,k. Comme N SHG = ∅, par la pro-pri´et´e 4.1.3, nous avons f⁻¹(Π⁰) ∈ U R^HG_am pour toute structure de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMC. Par cons´equent, ∀Π ∈ U R^HG_am,C_am,i\ {a_m} 6∈ Π et donc 6 ∃Π0 ∈ N S_HGMC telle que C_a^Π_m⁰ ∼_am Ca_m,k ou (CΠ⁰

s \ {s}) ∪ {a_m} ∼_am Ca_m,k.

Prouvons la seconde condition. Pour qu’il existe une structure de coalitions Π⁰ ∈ N S_HGMC afin que l’in´egalit´e P^∗(a_m,k|HG^MC) > 0 soit satisfaite, il est n´ecessaire que ∃Π ∈ U R_a^HG_m : C_am,k\ {a_m} ∈ Π. 

Exemple 4.1.7 - Soit le jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec : N = {a1,a2,am}

_a1= {a1,a2} _a1 {a₁,am} _a1 {a₁} _a2= {a₁,a₂} _a2 {a₂,a_m} _a2 {a₂} _am= {a₁,a₂,a_m} _am {a₁,a_m} _am {a_m}

Ce jeu ne dispose pas de structure de coalitions stable. Par contre, U R^HG_am = { {{a1,a2},{a_m}} }. Ainsi, l’agent malhonnˆete am peut mettre en œuvre la manipulation constructive M_C en ´etant sˆur que cette derni`ere est 1-rationnelle. En effet, comme nous avons N S<sub>HG</sub> = ∅ et N S<sub>HGMC</sub> = { {{a<sub>1</sub>,a2,s},{am}} }, les probabilit´es de satisfaction de am`a une profondeur 1 dans HG et dans HG^MC sont respectivement :

P^∗(a_m,1|HG) = 0 P^∗(a_m,1|HG^MC) = 1

4.2. Manipulation destructive