La manipulation constructive reste rationnelle

Si la manipulation destructive n’est pas rationnelle dans le cadre de la stabilit´e individuelle et de la stabilit´e au sens du cœur, ces deux concepts de solution sont tout de mˆeme sensibles `

a la manipulation constructive. Dans le cadre de la stabilit´e individuelle, le fait que la mani-pulation constructive soit rationnelle d´ecoule des hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute. Intuitivement, pour toute structure de coalitions indi-viduellement stable contenant une coalition que veut rejoindre a<sub>m</sub>, l’agent Sybil s peut rejoindre cette coalition. Il en est de mˆeme pour les structures de coalitions o`u l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e.

Propri´et´e 5.2.3 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi IS_HG, l’ensemble des structures de coalitions individuellement stables dans HG. Soit a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1_am . . . am Cam,k_am . . . am C_am,2n−1. Soit HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mis en œuvre par am. Soit Π ∈ IS_HGune structure de coalitions individuellement stable dans le jeu HG. Pour toute coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C0) est individuellement stable dans le jeu HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. C₀6= CΠ am;

2. 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_m} _am C₀∪ {a_m} ; 3. 6 ∃ai ∈ N \ {a_m} tel que CΠ

am∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et ∀aj ∈ CΠ

am\ {a_m},CΠ

am∪ {a_i} _aj C_a^Π_m.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, un agent malhonnˆete am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am Cam,k _am . . . am C_am,2n−1, une structure de coalitions Π ∈ CS_HG et une coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}. Soit la structure de coalitions Π0 telle que Π⁰ = f (Π,s,C₀).

Montrons dans un premier temps que si C0 = C_a^Π_m, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas indivi-duellement stable dans HG^MC. Supposons que C₀= C_a^Π_m. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} MC

s CΠ

am∪ {s}. Ainsi, si C₀ = CΠ

am alors la structure Π⁰ n’est pas indivi-duellement stable dans HG^MC.

Montrons ensuite que si ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_m} _am C₀∪ {a_m}, la structure Π⁰ n’est pas indi-viduellement stable dans le jeu HG^MC. Supposons qu’il existe une telle coalition C ∈ Π ∪ {∅}. Par d´efinition de profil de pr´ef´erence de s, nous avons C ∪ {s} ^MC

s C0 ∪ {s}. Par les hy-poth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons ∀a_j ∈ C,C ∼M_C

aj C ∪ {s}. Par cons´equent, la structure Π⁰ n’est pas individuellement stable. Montrons maintenant que la troisi`eme condition est n´ecessaire pour que la structure de coalitions Π⁰ soit individuellement stable. Spposons qu’il existe ai∈ N \ {a_m} tel que CΠ

am∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et que ∀a_j ∈ CΠ

am\ {a_m},CΠ

am∪ {a_i} _aj C_a^Π_m. Comme Π ∈ IS_HG, nous avons C_a^Π_m _am C_a^Π_m∪ {a_i}. Par l’hypoth`ese d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes, nous avons alors ai ∈ N \ {a_m} tel que C_a^Π_m⁰ ∪ {a_i} MC ai C_a^Π_i⁰ et que ∀aj ∈ CΠ⁰ am\ {a_m},CΠ⁰ am∪ {a_i} MC aj C_a^Π_m⁰. Par d´efinition du 94

5.2. Robustesse des autres concepts de solution profil de pr´ef´erence de am, nous avons C_a^Π_m⁰ ∼MC

am C_a^Π_m⁰ ∪ {a_i}. Par cons´equent, la structure Π⁰ n’est pas individuellement stable.

Montrons enfin que si les conditions (1), (2) et (3) sont satisfaites, la structure de coalitions Π⁰ est individuellement stable dans HG^MC. Supposons que la structure de coalitions Π v´ eri-fie 6 ∃a_i ∈ N \ {a_m} tel que CΠ

am ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et ∀a_j ∈ CΠ

am \ {a_m},CΠ

am ∪ {a_i} _aj C_a^Π_m et fixons la structure de coalitions C₀ telle que C₀ 6= CΠ

am et que 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} telle que C ∪ {am} _am C0∪ {a_m}. Comme C₀ 6= CΠ

am, par construction de Π⁰, nous avons C_a^Π_m = C_a^Π_m⁰. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, nous avons 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} : C ∪ {a_m} MC

am C_a^Π_m⁰. Comme 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} _am C₀∪ {a_m}, par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons ´egalement 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} M_C

s C_a^Π_m⁰. Par cons´equent, ni a_m, ni s ne d´esirent changer de coalition dans Π⁰.

Comme Π ∈ IS_HG, nous avons ∀a_i ∈ N, 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} telle que C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et ∀a_j ∈ C,C ∪ {a_i} _aj C_a^Π_j. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes, de b´en´efice du doute et par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, nous avons donc ∀ai∈ N, 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_i} MC

ai C_a^Π_i⁰ et ∀aj ∈ C,C ∪ {a_i} MC

aj C. Par cons´equent, tout agent honnˆete d´esirant changer de coalition dans Π⁰ sera rejet´e.

Ainsi, si les conditions (1), (2) et (3) sont satisfaites, la structure de coalitions Π⁰ est individuel-lement stable dans HG^MC. 

Nous pouvons alors en d´eduire le nombre de structures de coalitions individuellement stables dans HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi construites `a partir d’une structure Π ∈ ISHG. Si la troisi`eme condition qui porte sur les pr´ef´erences des agents, et donc sur les structures stables, n’est pas satisfaite, il n’existe pas de structure stable. Sinon, il en existe autant que de coalitions C₀ ∈ Π ∪ {∅} v´erifiant les deux premi`eres conditions.

Corollaire 5.2.1 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et am ∈ N agent malhonnˆete. Pour toute structure de coalitions Π ∈ ISHG, si ∃ai ∈ N \ {a_m} tel que CΠ

am ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et ∀aj ∈ CΠ

am \ {a_m},CΠ

am ∪ {a_i} _aj C_a^Π_m alors card_MC(Π|HG) = 0. Sinon card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π ∪ {∅} \ CΠ

am| 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_m} _amC₀∪ {a_m}}|. ´

Etudions dans un second temps l’influence de la manipulation constructive sur les structures de coalitions qui ne sont pas individuellement stables. Intuitivement, l’ajout de l’agent s dans l’une des coalitions d’une structure non stable la rend stable uniquement si l’agent malhonnˆete est l’unique responsable de la non-stabilit´e de Π.

Propri´et´e 5.2.4 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi ISHG, l’ensemble des structures de coalitions individuellement stables dans HG. Soit a_m∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1_am . . . am Cam,k _am . . . am C_am,2n−1. Soit HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mis en œuvre par am. Soit Π 6∈ ISHG une structure de coalitions individuellement stable. Pour toute coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π0 = f (Π,s,C0) est individuellement stable dans le jeu HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. C₀ 6= CΠ a ;

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux

La d´emonstration des deux premi`eres conditions est identique `a celle de la d´ emonstra-tion 5.2.2. Pour des raisons de lisibilit´e, nous ne pr´esentons ici que la d´emonstration de la troisi`eme condition.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, un agent malhonnˆete am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1 _am . . . _am C_am,k _am . . . _am C_am,2n−1, une structure de coalitions Π 6∈ CSHG et une coalition C0 ∈ Π ∪ {∅}. Soit la structure de coalitions Π⁰ telle que Π⁰ = f (Π,s,C₀). Supposons que les conditions (1) et (2) sont satisfaites et que Π⁰ ∈ IS_HGMC. Par d´efinition de la stabilit´e individuelle, nous avons ∀a_i ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π⁰ telle que C ∪ {ai} MC

ai C_a^Π_i⁰ et ∀aj ∈ C,C ∪ {a_i} MC

ai C. Par construction de Π⁰, pour toute coalition C ∈ Π⁰, soit C ∈ Π, soit C \ {s} ∈ Π. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons ∀a_i ∈ N \{a_m}, 6 ∃C ∈ Π telle que C∪{a_i} _ai CΠ ai

et ∀aj ∈ C,C∪{a_i} _ai C. Or, Π 6∈ ISHG. Comme il n’existe pas d’agent ai ∈ N \{a_m} souhaitant changer de coalition pour un autre o`u il est accept´e, nous avons Π ∈ U R^HG_am.

Montrons enfin que si les conditions (1), (2) et (3) sont satisfaites, la structure de coalitions Π⁰ est individuellement stable dans HG^MC. Supposons Π ∈ U R^HG_am et fixons C0 6= CΠ

am o`u 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} _am C₀∪ {a_m}. Comme C₀ 6= CΠ

am, par construction de Π⁰, nous avons C_a^Π_m = C_a^Π_m⁰. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de a_m, nous avons 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} : C ∪ {a_m} M_C

am C_a^Π_m⁰. Comme 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} _am C₀∪ {a_m}, par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons ´egalement 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} MC

s C_a^Π_m⁰. Par cons´equent, ni am, ni s ne d´esirent changer de coalition dans Π⁰.

Comme Π ∈ U R^HG_am, nous avons ∀a_i ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} tel que C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i et ∀a_j ∈ C,C ∪ {a_i} _aj CΠ

aj. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes, de b´en´efice du doute et par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, nous avons donc ∀ai ∈ N, 6 ∃C ∈ Π0∪ {∅} telle que C ∪ {a_i} MC

ai C_a^Π_i⁰ et ∀a_j ∈ C,C ∪ {a_i} MC

aj C. Par cons´equent, tout agent honnˆete d´esirant changer de coalition dans Π⁰ sera rejet´e.

Par cons´equent, si les conditions (1), (2) et (3) sont satisfaites alors Π⁰ est individuellement stable. 

Nous pouvons aussi en d´eduire le nombre de structures de coalitions individuellement stables dans HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi construites `a partir d’une structure de coalitions Π 6∈ ISHG.

Corollaire 5.2.2 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et am ∈ N agent malhonnˆete. Pour toute structure de coalitions Π 6∈ IS_HG, si Π 6∈ U R^HG_am alors card_MC(Π|HG) = 0. Sinon card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π ∪ {∅} \ CΠ

am| 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_m} _amC₀∪ {a_m}}|. `

A partir des corollaires 5.2.1 et 5.2.2, nous pouvons d´eduire les conditions `a la rationalit´e de la manipulation constructive sur les jeux utilisant la stabilit´e individuelle comme concept de solution.

Propri´et´e 5.2.5 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi IS_HG, l’ensemble des structures de coalitions individuellement stables dans HG et a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence _am= Cam,1 _am Cam,2 _am . . . am C_am,2n−1. Soit (1)i le nombre de structures de coalitions Π ∈ IS_HG telles que :

C_am,i∼_am C_a^Π_m∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am C_am,i et 6 ∃C ∈ Π : C ∪ {am} _am Cam,i

5.2. Robustesse des autres concepts de solution Soit (2)i le nombre de structures de coalitions Π ∈ U R^HG_am telles que :

Cam,i∼_am C_a^Π_m∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am Cam,i

Si IS_HG= ∅, la manipulation constructive mise en œuvre par a_mest k-rationnelle si et seulement si ∀i ∈ [1,k[, (2)_i = 0 et (2)_k> 0. Si IS_HG 6= ∅, la manipulation constructive mise en œuvre par am est k-rationnelle si et seulement si :

∀i ∈ [1,k[,^{|{Π ∈ ISHG|C} Π am ∼_am Cam,i}| |IS_HG| ⁼ (1)i+ (2)i card_MC(P_HG|HG) et ^{|{Π ∈ ISHG|C} Π am ∼_am Cam,k}| |IS_HG| ^< (1)_k+ (2)_k cardMC(PHG|HG)

Intuitivement, (1)_i (respectivement (2)_i) repr´esente le nombre de structures de coalitions individuellement stables dans HG^MC construites `a partir d’une structure de coalitions Π ∈ ISHG

(respectivement Π ∈ U R_a^HG_m ) telles que soit am, soit l’agent Sybil forme la coalition Cam,i.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi IS_HG et un agent malhonnˆete a_m ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am Cam,k _am . . . am C_am,2n−1. Fixons HG^MC le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m sur HG. Rappelons que par la d´efinition 3.2.5, la manipulation M_C est k-rationnelle si, ∀i ∈ [1,k[, P^∗(a_m,i|HG) = P^∗(am,i|HG^M) et P^∗(am,k|HG) < P^∗(am,k|HG^M).

Montrons dans un premier temps les conditions n´ecessaires lorsque IS_HG = ∅. Comme IS_HG= ∅, pour tout k tel que C_{am,k am} {a_m}, nous avons P∗(a_m,k|HG) = 0. Par cons´equent, la manipulation MC est k-rationnelle si :

1. pour tout i ∈ [1,k[, il n’existe pas de structure de coalitions Π⁰ ∈ IS_HGMC telle que CΠ⁰

am ∼_am C_am,i ou que (CΠ⁰

s \ {s}) ∪ {a_m} ∼_amC_am,i;

2. il existe une structure de coalitions Π⁰ ∈ IS_HGMC telle que C_a^Π_m⁰ ∼_am C_am,k ou que (C_s^Π0 \ {s}) ∪ {a_m} ∼_am C_am,k.

Par la propri´et´e 5.2.4, s’il existe une structure de coalitions Π ∈ U R^HG_am telle que Cam,i ∼_am C_a^Π_m ∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am Cam,i alors il existe au moins une structure de coalitions Π⁰ ∈ IS_HGMC telle que C_a^Π_m⁰ ∼_am C_am,i ou que (C_s^Π0 \ {s}) ∪ {a_m} ∼_am C_am,i. Si nous notons par (2)_i le nombre de ces structures Π alors les conditions n´ecessaires `a la k-rationalit´e de la manipulation constructive lorsque ISHG= ∅ sont ∀i ∈ [1,k[, (2)i= 0 et (2)k > 0.

Montrons maintenant les conditions n´ecessaires `a la k-rationalit´e de la manipulation constructive lorsque IS_HG 6= ∅. Par d´efinition, la manipulation constructive est k-rationnelle si :

∀i ∈ [1,k[,^{|{Π ∈ ISHG|C}

Π

am∼_am C_am,i}|

|IS_HG| ⁼

|{Π ∈ IS_HGMC|Cond₁(i) ∨ Cond2(i)}| card_MC(P_HG|HG) et ^{|{Π ∈ ISHG|C} Π am∼_am C_am,k}| |IS_HG| ^< |{Π ∈ IS_HGMC|Cond₁(k) ∨ Cond2(k)}| |IS_HGMC|

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux

de coalitions telle que Π = f⁻¹(Π⁰) et C0 = C_s^Π0. Par la propri´et´e 5.2.3, si Π ∈ ISHG alors Cond₁(i) ∨ Cond₂(i) est satisfaite si :

C_am,i∼_am C_a^Π_m∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am C_am,i et 6 ∃C ∈ Π : C ∪ {am} _am Cam,i

Notons par (1)i le nombre de structures de coalitions Π⁰ ∈ IS_HGMC telles que f⁻¹(Π⁰) ∈ IS_HG satisfait Cond₁(i) ∨ Cond₂(i). Comme nous l’avons montr´e pr´ec´edemment par la propri´et´e 5.2.7, (2)i repr´esente le nombre de structures de coalitions Π⁰ ∈ IS_HGMC tel que f⁻¹(Π⁰) 6∈ ISHG

satisfaisant Cond1(i) ∨ Cond2(i). Ainsi, nous avons |{Π ∈ IS_HGMC|Cond₁(i) ∨ Cond2(i)}| = (1)_i+ (2)_i.

Par cons´equent, comme |IS_HGMC| = card_MC(PHG|HG), si IS_HG 6= ∅ alors la manipulation constructive est k-rationnelle si et seulement si :

∀i ∈ [1,k[,^{|{Π ∈ ISHG|C} Π am ∼_am C_am,i}| |IS_HG| ⁼ (1)_i+ (2)_i card_MC(P_HG|HG) et ^{|{Π ∈ ISHG|C} Π am ∼_am C_am,k}| |IS_HG| ^< (1)_k+ (2)_k card_MC(P_HG|HG)  ´

Etudions maintenant le cas de la stabilit´e au sens du cœur. La rationalit´e de la manipulation constructive pour ce concept de solution d´ecoule ´egalement du fait que l’agent Sybil s est accept´e dans toute coalition par les agents honnˆetes. Ainsi, l’agent Sybil peut rejoindre la coalition qu’il d´esire.

Propri´et´e 5.2.6 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi CSHG, l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG. Soit a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1_am . . . _am C_am,k_am . . . _am C_am,2n−1. Soit HGMC = hNMC, MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mis en œuvre par am. Soit Π ∈ CSHGune structure de coalitions stable au sens du cœur dans HG. Pour toute coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) est stable au sens du cœur dans HGMC = hNMC, MC ,Pi si et seulement si :

C₀∪ {a_m}  {a_m} et C₀ 6= C_a^Π_m

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, un agent malhonnˆete am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1 _am . . . _am C_am,k _am . . . _am C_am,2n−1, une structure de coalitions Π ∈ CS_HG et une coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}. Soit la structure de coalitions Π0 telle que Π⁰ = f (Π,s,C0).

Montrons dans un premier temps que si {a_m} _am C₀∪ {a_m} ou que C₀ = C_a^Π_m, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur dans le jeu HG^MC. Supposons que {a_m} _am C0∪ {a_m}. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} ^MC

s C0∪ {s}. Or, par construction de Π⁰, C0 ∪ {s} ∈ Π⁰. Par cons´equent, si {am} _am C0 ∪ {a_m}, la structure de coalitions Π n’est pas stable au sens du cœur dans le jeu HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi. Supposons maintenant que C0 = C_a^Π_m. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} ^MC

s

C_a^Π_m ∪ {s}. Ainsi, si C₀ = C_a^Π_m, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur 98

5.2. Robustesse des autres concepts de solution dans le jeu HG^MC.

Montrons maintenant que si C₀∪ {a_m}  {a_m} et que C₀ 6= CΠ

am, la structure de coalitions Π⁰ est stable au sens du cœur. Par construction du profil de pr´ef´erence de a_m, comme C₀ 6= CΠ

am, nous avons 6 ∃N2 ⊆ N ∪ {s} tel que a_m ∈ N₂ et que N2 MC

am C_a^Π_m⁰. Comme Π ∈ CSHG, par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons 6 ∃N₂⊆ N ∪ {s} : ∀a_i ∈ N₂\ {a_m,s},N₂ MC

ai C_a^Π_i. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ est stable au sens du cœur dans le jeu HG^MC. 

Nous pouvons en d´eduire le nombre de structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi construites `a partir d’une structure de coalitions Π ∈ CSHG. Intuiti-vement, il en existe autant que de coalitions dans Π v´erifiant les conditions de la propri´et´e 5.2.3. Corollaire 5.2.3 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mise en œuvre par un agent malhonnˆete a_m ∈ N . Pour toute structure de coalitions Π ∈ CS_HG, nous avons :

card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π ∪ {∅} \ C_a^Π_m|C₀∪ {a_m}  {a_m}}|

´

Etudions dans un second temps l’influence de la manipulation constructive sur les structures de coalitions non stables au sens du cœur.

Propri´et´e 5.2.7 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi tel que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi CSHG, l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG. Soit a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1_am . . . _am C_am,k _am . . . _am C_am,2n−1. Soit HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mis en œuvre par am. Soit Π 6∈ CSHGune structure de coalitions non stable au sens du cœur dans HG. Pour toute coalition C₀∈ Π∪{∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) est stable au sens du cœur dans HG^MC si et seulement si :

1. C₀∪ {a_m}  {a_m} et C₀ 6= CΠ am;

2. ∀N2⊆ N : ∀a_i ∈ N₂,N2 _ai C_a^Π_i, am∈ N₂.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, un agent malhonnˆete am∈ N ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am Cam,k _am . . . am C_am,2n−1, une structure de coalitions Π 6∈ CS_HG et une coalition C₀ ∈ Π ∪ {∅}. Soit la structure de coalitions Π0 telle que Π⁰ = f (Π,s,C₀).

Montrons dans un premier temps que si {am} _am C0∪ {a_m} ou que C₀ = C_a^Π_m, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur dans le jeu. Pour cela, supposons que {a_m} _am C₀∪ {a_m}. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} ^MC

s C₀∪ {s}. Or, par construction de Π⁰, C0∪ {s} ∈ Π⁰. Par cons´equent, si {am} _am C0 ∪ {a_m} alors la structure de coalitions Π n’est pas stable au sens du cœur dans HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi. Supposons maintenant que C₀ = C_a^Π_m. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons {s} ^MC

s

C_a^Π_m ∪ {s}. Ainsi, si C₀ = C_a^Π_m alors la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur dans HG^MC.

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux

alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons : ∀ai ∈ N₂,N2 MC

ai C_a^Π_i MC ai

C_a^Π_i ∪ {s}. Par construction de Π0, nous avons ∀a_i ∈ N , soit CΠ0

ai = C_a^Π_i, soit C_a^Π_i⁰ = C_a^Π_i∪ {s}. Dans les deux cas, il existe N2 ⊆ N ∪ {s} : ,N₂ MC

ai C_a^Π_i⁰. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur dans le jeu HG^MC.

Supposons enfin que ∀N₂ ⊆ N : ∀a_i ∈ N₂,N_{2 ai} CΠ

ai, a_m ∈ N₂. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, nous avons N2 ∼MC

am C_a^Π_i. Ainsi, dans le jeu HG^MC, ∃ai ∈ N₂ : C_a^Π_i ∼MC am N2. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons donc 6 ∃N₂ ⊆ N ∪ {s} : ∀a_i∈ N₂,N_2ai C_a^Π_i. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ est stable au sens du cœur dans HG^MC. 

Nous pouvons d´eduire le nombre de structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi construites `a partir d’une structure de coalitions Π 6∈ CSHG.

Corollaire 5.2.4 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation constructive mise en œuvre par un agent malhonnˆete am∈ N . Pour toute structure de coalitions Π 6∈ CS_HG, si ∃N2⊆ N : ∀a_i ∈ N₂,N2 _ai C_a^Π_iet que am 6∈ N₂ alors card_MC(Π|HG) = 0. Sinon :

card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π ∪ {∅} \ C_a^Π

m|C₀∪ {a_m}  {a_m}}|

`

A partir des corollaires 5.2.3 et 5.2.4, nous pouvons d´eduire les conditions `a la rationalit´e de la manipulation constructive sur les jeux utilisant la stabilit´e du cœur comme concept de solution.

Propri´et´e 5.2.8 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique telle que P retourne la solution du jeu HG al´eatoirement uniform´ement parmi CS_HG, l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG et am ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence _am= C_am,1 _am C_am,2 _am . . . _am C_am,2n−1. Soit (1)_i le nombre de structures de coalitions Π ∈ CS_HG telles que :

C_am,i∼_am C_a^Π_m∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am C_am,i Soit (2)_i le nombre de structures de coalitions Π 6∈ CS_HG telles que :

C_am,i∼_am C_a^Π_m∨ ∃C ∈ Π : C ∪ {a_m} ∼_am C_am,i et ∀N₂⊆ N : ∀a_i∈ N₂,N_2ai C_a^Π_i,a_m ∈ N₂

Si CS_HG = ∅, la manipulation constructive mise en œuvre par a_mest k-rationnelle si et seulement si ∀i ∈ [1,k[, (2)i= 0 et (2)k > 0. Si CSHG6= ∅, la manipulation constructive mise en œuvre par am est k-rationnelle si et seulement si :

∀i ∈ [1,k[,^{|{Π ∈ CSHG|C} Π am∼_am Cam,i}| |CS_HG| ⁼ (1)_i+ (2)_i cardMC(PHG|HG) et ^{|{Π ∈ CSHG|C} Π am∼_am C_am,k}| |CS_HG| ^< (1)_k+ (2)_k card_MC(P_HG|HG)

Pour des raisons de lisibilit´e, la d´emonstration de cette propri´et´e peut ˆetre trouv´ee en an-nexe B et repose sur le mˆeme principe que la d´emonstration de la propri´et´e 5.2.5. Intuitivement, 100

5.2. Robustesse des autres concepts de solution (1)i (respectivement (2)i) repr´esente le nombre de structures de coalitions stables au sens du cœur dans HG^MC construites `a partir d’une structure de coalitions Π ∈ CS_HG (respectivement Π 6∈ CS_HG) telles que soit a_m, soit l’agent Sybil forme la coalition C_am,i.

Dans le document De la manipulation dans les systèmes multi-agents : une étude sur les jeux hédoniques et les systèmes de réputation (Page 103-110)