Rationalit´ e d’une manipulation

A partir de ceci, l’agent malhonnˆete peut calculer le r´esultat d’un jeu HG^M et de d´ecider de mettre en œuvre M si cette derni`ere lui permet d’am´eliorer sa probabilit´e de satisfaction. Notons que ces hypoth`eses sont optimistes du point de vue de l’agent malhonnˆete. Cette approche nous permettra de montrer dans le chapitre 4 que si, dans des conditions favorables, il est difficile pour un agent malhonnˆete de manipuler le jeu alors cela est encore plus difficile dans un contexte d´efavorable.

3.2.3 Rationalit´e d’une manipulation

Pour d´efinir si un agent a un int´erˆet `a effectuer une manipulation, nous nous int´eressons `a la rationalit´e de sa mise en œuvre. Une manipulation M est dite rationnelle sur un jeu HG si elle permet `a l’agent malhonnˆete d’augmenter ces probabilit´es de satisfaction. Nous proposons de quantifier cette rationalit´e en nous fondant sur le degr´e de satisfaction des agents (d´ efini-tion 3.1.4) et de leur probabilit´e de satisfaction (d´efinition 3.1.6).

Rappelons que la satisfaction d’un agent d´epend du concept d’acceptation (d´efinition 3.1.3) auquel la solution du jeu appartient. Dans un jeu HG^M, l’agent malhonnˆete am et ses agents Sybil s1, . . . sx sont en r´ealit´e le mˆeme agent. Par ailleurs, les profils de pr´ef´erence fournis par a_m et ses agents Sybil ne correspondent pas n´ecessairement aux v´eritables pr´ef´erences de a_m. Par cons´equent, nous devons red´efinir le concept d’acceptation de l’agent malhonnˆete dans le jeu qu’il manipule. Nous nommons ce nouveau concept, concept d’acceptation malhonnˆete.

D´efinition 3.2.3 - Concept d’acceptation malhonnˆete : Soit un jeu HG = hN,  ,Pi et a_m ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1 _am . . . _am C_am,x _am . . . am C_am,2n−1. Soit HG^M = hN^M, ^M ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation M sur HG. Le concept d’acceptation malhonnˆete de am sur HG^M `a une profondeur x ∈ [1,2ⁿ⁻¹] (not´e AP_a^x_m(HG^M)) d´esigne l’ensemble des structures de coalitions Π ∈ P_NM tel qu’il existe un agent ai∈ {a_m,s1, . . . ,sx} dont la coalition CΠ

ai v´erifie :

( C_a^Π_i\ {a_i} ) ∪ {a_m} _am C_am,x

3.2. Manipulation d’un jeu h´edonique Intuitivement, une partition Π ∈ P_NM appartient au concept d’acceptation malhonnˆete de profondeur x si au moins l’une des deux conditions suivantes est satisfaite :

1. l’agent malhonnˆete est dans une coalition pr´ef´er´ee `a C<sub>am,x</sub>: C<sub>a</sub><sup>Π</sup><sub>m</sub> <sub>am</sub> C<sub>am,x</sub>; 2. il existe un agent si ∈ {s<sub>1</sub>, . . . ,sx} est dans une coalition pr´ef´er´ee `a Cam,x.

Comme le concept d’acceptation malhonnˆete est d´efini `a partir des v´eritables pr´ef´erences de a<sub>m</sub> (<sub>am</sub>), a<sub>m</sub> n’a pas d’int´erˆet `a ˆetre en coalition avec lui-mˆeme (sous la forme de l’un des agents Sybil). De ce fait, les structures de coalitions o`u l’agent malhonnˆete et au moins un de ses agents Sybils sont membres d’une mˆeme coalition n’appartiennent pas au concept d’acceptation malhonnˆete. Ces partitions sont dites non acceptables.

D´efinition 3.2.4 - Structure de coalitions non acceptable : Soit un jeu HG^M = hNM, M ,Pi le jeu h´edonique r´esultant de la manipulation M mise en œuvre par un agent am. La structure de coalitions Π ∈ P_NM est non acceptable si :

∀a_i ∈ {a_m,s₁, . . . ,s_x},∃a_j ∈ {a_m,s₁, . . . ,s_x} \ {a_i} : CΠ ai = C_a^Π_j

Exemple 3.2.3 - Soit le jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec N = {a1,a₂,a_m} o`u l’agent a<sub>m</sub> est un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence {a<sub>1</sub>,a<sub>m</sub>} <sub>am</sub> {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>m</sub>} <sub>am</sub> {a<sub>2</sub>,a<sub>m</sub>} <sub>am</sub> {a<sub>m</sub>}. Soit HGM le jeu r´esultant de la manipulation M = h{am,s},{<sub>a</sub><sup>M</sup><sub>m</sub> , <sup>M</sup><sub>s</sub> }, <sub>am</sub>i sur HG. La figure 3.2 repr´esente les diff´erents concepts d’acceptation de amsur le jeu HG<sup>M</sup>. La figure 3.3 repr´esente, quant `a elle, les 4 structures de coalitions non acceptables pour a_m car il est en coalition avec s. AP1 a_m(HGM ) a1, s1 a2, am a1, am a2, s a1, s a2 am a1, am a2 s AP2 a_m(HGM ) a1, a2, s am a1, a2, am s a1 a2, am, s AP3 a_m(HGM ) a1 a2, s am a1 a2, am s AP4 a_m(HGM ) a1 a2 am s a1, a2 am s

Figure 3.2 – Concepts d’acceptation de l’agent am dans le jeu HG^M

Le concept d’acceptation malhonnˆete permet de calculer la probabilit´e de satisfaction (d´ e-finition 3.1.6) de l’agent malhonnˆete. Comme son objectif est d’augmenter cette probabilit´e de

Chapitre 3. Un mod`ele de manipulation

Partitions non acceptables a1 a2 am, s

a1, a2 am, s

a1, am, s a2

a1, a2, am, s

Figure 3.3 – Partitions de HG^M non acceptables pour a_m

D´efinition 3.2.5 - Manipulation k-rationnelle : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et un agent malhonnˆete a_m ∈ N . Soit HGM le jeu h´edonique r´esultant d’une manipulation M mise en œuvre par am sur HG. La manipulation M est k-rationnelle si :

∀i : 1 ≤ i < k,P^∗(am,i|HG) = P^∗(am,i|HG^M) P^∗(am,k|HG) < P^∗(am,k|HG^M)

La manipulation M est rationnelle sur HG s’il existe un k ∈ [1,2ⁿ⁻¹] tel que M soit k-rationnelle.

Intuitivement, une manipulation est k-rationnelle si elle permet d’am´eliorer la probabilit´e de l’agent malhonnˆete (sous sa v´eritable identit´e ou celle d’un de ses Sybil) d’ˆetre dans la coalition C_am,k sans diminuer pour autant la probabilit´e d’ˆetre dans toutes les coalitions C_am,ipr´ef´er´ees `a Cam,k. Notons que, par d´efinition et par l’hypoth`ese de rationalit´e individuelle minimale (hypo-th`ese 3.1.1), si {a_m} _am C_am,k alors la manipulation ne peut pas ˆetre k-rationelle. Dans toute la suite, nous consid´erons trivialement que C_am,k _am {a_m} : aucun agent ne d´esire ˆetre dans une coalition qu’il ne d´esire pas.

Exemple 3.2.4 - Soit le jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi suivant : N = {a1,a2,am}

_a1= {a1,a2,am} _a1 {a₁}

_a2= {a₂,a_m} _a2 {a₁,a₂,a_m} _a2 {a₂} _am= {a₂,a_m} _am {a₁,a₂,a_m} _am {a_m}

Supposons que le protocole de s´election satisfait la stabilit´e individuelle. Ainsi, nous avons : P({ {a₁,a₂,a_m} }|HG) = 1/2

P({ {a₁},{a₂,a_m} }|HG) = 1/2

Par cons´equent, la probabilit´e de satisfaction de a_m est : P^∗(a_m,1|HG) = 1/2 P^∗(a_m,2|HG) = 1

3.2. Manipulation d’un jeu h´edonique Consid´erons la manipulation M1 = h{am},{M1

am}, _ami o`u : ^M1 am= {a₂,a_m} ^M1 am {a_m} ^M1 am {a₁,a_m} ^M1 am {a₁,a₂,a_m}

Dans HG^M1, seule la partition { {a1},{a₂,am} } est individuellement stable. Comme le montre l’in´egalit´e ci-dessous, la manipulation M₁ est 1-rationnelle.

P^∗(am,1|HG) < P^∗(am,1|HG^M) = 1 Consid´erons maintenant la manipulation M2= h{am,s},{^M2

am , ^M2 s }, _ami avec : ^M2 am= {a2,am} ^M2 am {a₁,a2,am} ^M2 am {a_m} ^M2 s = {a2,s} ^M2 s {a₂,a3,s} ^M2 s {s}

Si les hypoth`eses de b´en´efice du doute et d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes (hypo-th`eses 3.2.4 et 3.2.3) sont satisfaites, HG^M2 a 4 structures de coalitions individuellement stables (figure 3.4). Les probabilit´es de s´election des solutions sont :

P({{a₁},{a₂,a_m},{s}}|HG^M2) = 1/4 P({{a₁,s},{a₂,a_m}}|HG^M2) = 1/4 P({{a₁,a₂,a_m},{s}}|HG^M2) = 1/4 P({{a₁,a₂,s},{a_m}}|HG^M2) = 1/4 a1 a2, am s a1, s a2, am a1, a2, am s a1, a2, s am

Figure 3.4 – Ensemble des structures de coalitions individuellement stables du jeu HG^M2

Par cons´equent, la probabilit´e de satisfaction de a_m dans HG^M2 est : P^∗(a_m,1|HG^M2) = 1/2

Chapitre 3. Un mod`ele de manipulation