Satisfaction individuelle

Dans ce manuscrit, nous consid´erons que les agents sont rationnels, c’est-`a-dire qu’un agent ne va accepter la solution d’un jeu que si celle-ci est satisfaisante de son point de vue, ind´ epen-damment des pr´ef´erences des autres agents. De ce fait, un agent ne va accepter de coop´erer avec d’autres agents en formant une coalition que s’il consid`ere celle-ci comme pr´ef´erable `a l’absence de coop´eration, c’est-`a-dire former la coalition singleton. Cette propri´et´e est une propri´et´e de rationalit´e individuelle (d´efinition 2.1.13). Nous consid´erons donc que le protocole de s´election doit satisfaire au minimum cette rationalit´e individuelle.

Hypoth`ese 3.1.1 - Rationalit´e individuelle minimale : Le protocole de s´election P satisfait au minimum la rationalit´e individuelle :

∀HG = hN,  ,Pi,SHG= ∅ =⇒ P(HG) = { {a1}, . . . ,{a_n} }

Cette hypoth`ese signifie que si le concept de solution est vide alors le protocole de s´election doit renvoyer la structure de coalitions uniquement compos´ee de coalitions singletons. Le fait de consid´erer que le protocole de s´election satisfait au minimum la rationalit´e individuelle permet de repr´esenter les profils de pr´ef´erence des agents de mani`ere plus compacte, car toutes les coalitions qu’un agent consid`ere comme moins pr´ef´er´ees `a la coalition singleton ne peuvent pas se former et n’ont donc pas d’int´erˆet `a ˆetre repr´esent´ees. C’est pourquoi, dans la suite, nous utilisons une repr´esentation IRCL⁴ des profils de pr´ef´erence.

Exemple 3.1.3 - Reprenons l’exemple 3.1.1. Les profils de pr´ef´erence des agents peuvent d´esormais ˆetre repr´esent´es de mani`ere plus compacte par :

_a1= {a₁,a₂} _a1 {a₁,a₃,a₄} _a1 {a₁,a₃} ∼_a1 {a₁,a₂,a₄} _a1 {a₁,a₂,a₃,a₄} ∼_a1 {a₁} _a2= {a1,a2} ∼_a2 {a₂,a3,a4} _a2 {a₁,a2,a3} ∼_a2 {a₂,a4} _a2 {a₁,a2,a4} _a2 {a₂,a3} _a2 {a₁,a2,a3,a4} ∼_a2 {a₂} _a3= {a1,a3} ∼_a3 {a₂,a3,a4} _a3 {a₃,a4} _a3 {a₁,a2,a3} _a3 {a₂,a3} _a3 {a₁,a₂,a₃,a₄} ∼_a3 {a₃} _a4= {a₁,a₄} _a4 {a₂,a₄} _a4 {a₃,a₄} _a4 {a₄}

4. Listes de coalitions individuellement rationnelles (cf. section 2.1.1). 48

3.1. Coop´eration entre agents ´ego¨ıstes De nombreux concepts de solution, comme l’optimalit´e au sens de Pareto (d´efinition 2.1.8), satisfont l’optimalit´e de la solution d’un point de vue collectif, mais ne garantissent pas la rationalit´e individuelle de la solution. De ce fait, nous ne consid´erons dans ce manuscrit que les trois concepts de solution canoniques qui satisfont ´egalement la rationalit´e individuelle : la stabilit´e au sens de Nash (d´efinition 2.1.9), la stabilit´e individuelle (d´efinition 2.1.10) et la stabilit´e du cœur (d´efinition 2.1.12).

Ces trois concepts de solution permettent de garantir qu’´etant donn´e la solution d’un jeu, aucun agent n’aura individuellement ou collectivement int´erˆet `a changer de coalition. Cependant, ils ne garantissent pas l’optimalit´e individuelle de la solution (d´efinition 2.1.6). Afin de mesurer le degr´e de satisfaction de chaque agent, nous d´efinissons un concept d’acceptation des structures de coalitions. Intuitivement, dans une structure de coalitions Π, l’agent a<sub>i</sub> est satisfait avec un degr´e x si au plus x coalitions sont pr´ef`er´ees `a la coalition C_a^Π_i.

D´efinition 3.1.3 - Concept d’acceptation : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique. Soit ai ∈ N un agent ayant pour profil de pr´ef´erence Cai,1 _ai . . . ai Cai,x_ai . . . ai C_ai,2n−1. Le concept d’acceptation AP_a^x_i(HG) de profondeur x ∈ [1,2ⁿ⁻¹] pour l’agent a_i d´esigne l’ensemble des structures de coalitions tel que :

AP_a^x_i(HG) = {Π ∈ P_N|C_a^Π

i _ai Cai,x}

Ainsi, le concept d’acceptation de profondeur x d´esigne l’ensemble des structures de coalitions de N tel que a_i est dans C_ai,x ou dans une coalition pr´ef´er´ee `a C_ai,x.

Exemple 3.1.4 - Soit l’agent a₄ de l’exemple 3.1.1 ayant le profil de pr´ef´erence : _a4= {a1,a4} _a4 {a₂,a4} _a4 {a₃,a4} _a4 {a₄}

Comme C_4,1 = {a₁,a₄}, le concept d’acceptation de a₄ de profondeur 1 est : AP_a¹₄(HG) = {Π4,Π10}

= {{ {a₁,a₄},{a₂},{a₃} },{ {a₁,a₄},{a₂,a₃} }}

Remarquons que par d´efinition, le concept d’acceptation d’un agent ai `a une profondeur x ∈ [1,2<sup>n−1</sup>[ inclut toutes les structures de coalitions appartenant au concept d’acceptation de profondeur x + 1. De mˆeme, le concept d’acceptation d’un agent `a la profondeur 2ⁿ⁻¹correspond `

a l’ensemble des structures de coalitions possibles, soit PN.

Propri´et´e 3.1.1 : Par d´efinition des concepts d’acceptation (d´efinition 3.1.3), pour tout jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et pour tout agent ai∈ N , on a :

Chapitre 3. Un mod`ele de manipulation

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et un agent ai ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_ai,1 _ai . . . _ai C_ai,x_ai . . . _ai C_ai,2n−1.

Montrons dans un premier temps que ∀x ∈ [1,2n−1[, APx

ai(HG) ⊆ APx+1

ai (HG). Soit une structure de coalitions Π ∈ AP_a^x_i(HG). Par d´efinition du concept d’acceptation (d´efinition 3.1.3), C_a^Π_i _ai C_ai,x. Comme C_ai,x _ai C_ai,x+1, nous avons par transitivit´e C_a^Π_i _ai C_ai,x+1. Comme ∀Π ∈ APx ai(HG),CΠ ai _ai C_ai,x+1, nous avons Π ∈ APx+1 ai (HG). Ainsi, ∀x ∈ [1,2n−1[, APx ai(HG) ⊆ AP_a^x+1_i (HG).

Montrons maintenant que AP_a²_iⁿ⁻¹(HG) = P_N. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de l’agent a_i, ∀C ∈ C_a^N_i, on a C _ai C_ai,2n−1. Ainsi, ∀Π ∈ P_N,C_a^Π_i _ai C_ai,2n−1. Or, par d´ efini-tion du concept d’acceptaefini-tion, AP_a²_iⁿ⁻¹(HG) = {Π ∈ PN|CΠ

ai _ai C_ai,2n−1}. Par cons´equent, AP_a²_iⁿ⁻¹(HG) = P_N. 

Exemple 3.1.5 - Dans l’exemple 3.1.1, les concepts d’acceptation de l’agent a4 sont :

AP_a¹₄(HG) = {Π₄,Π₁₀} AP_a²₄(HG) = AP_a¹₄(HG) ∪ {Π6,Π9} AP_a³₄(HG) = AP_a²₄(HG) ∪ {Π₇,Π₈} AP_a⁴₄(HG) = AP_a³₄(HG) ∪ {Π1,Π2,Π3,Π5,Π11} AP_a⁵₄(HG) = AP_a⁴₄(HG) ∪ {Π₁₂} AP_a⁶₄(HG) = AP_a⁵₄(HG) ∪ {Π13,Π14} AP_a⁷₄(HG) = AP_a⁶₄(HG) ∪ {∅} AP_a⁸₄(HG) = AP_a⁷₄(HG) ∪ {Π15}

Les concepts d’acceptation d’un agent permettent de d´efinir un degr´e de satisfaction de cet agent vis-`a-vis de la solution du jeu. Intuitivement, le degr´e de satisfaction d’un agent correspond au plus petit concept d’acceptation auquel la solution du jeu appartient.

D´efinition 3.1.4 - Degr´e de satisfaction : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique. Soit P(HG) la solution de HG. L’agent ai ∈ N a un degr´e de satisfaction de x si :

P(HG) ∈ APa^xi(HG) \ AP_a^x−1_i (HG)

Notons que notre d´efinition du degr´e de satisfaction implique que plus le degr´e est petit, plus l’agent est satisfait. Ainsi, si un protocole de s´election satisfait la rationalit´e individuelle, il n’existe pas d’agent a_i∈ N dont le degr´e de satisfaction est sup´erieur `a x<sub>i</sub> tel que C<sub>ai,xi</sub> = {a<sub>i</sub>}. Exemple 3.1.6 - Reprenons l’exemple 3.1.1 et consid´erons un protocole P satisfaisant la stabilit´e au sens de Nash. La solution du jeu appartient donc `a l’ensemble N SHG = {Π8,Π9}. Le tableau 3.2 montre alors le degr´e de satisfaction des agents en fonction de la solution du jeu. Le degr´e de satisfaction de a1 est de 1 si la solution du jeu est la structure de coalitions Π8 car C_a^Π₁ = {a1,a2} est la coalition qu’il pr´ef`ere `a toutes les autres. `A l’inverse, l’agent a4 aurait un degr´e de satisfaction de 3 puisqu’il pr´ef´ererait former les coalitions {a₁,a₄} et {a₂,a₄}.

a1 a2 a3 a4

Π₈= {{a₁,a₂},{a₃,a₄}} 1 1 2 3 Π₉= {{a₁,a₃},{a₂,a₄}} 3 2 1 2

Tableau 3.2 – Degr´es de satisfaction des agents en fonction de la solution du jeu HG

3.1. Coop´eration entre agents ´ego¨ıstes Notons que pour un protocole de s´election satisfaisant le concept de solution S, une structure de coalitions Π ∈ P_N est `a la fois solution de HG et satisfaisante pour a_i avec un degr´e x si Π ∈ S_HG∩ APx

ai(HG).