Concepts de solution

Chapitre 2. Syst`emes consid´er´es

de coalitions pour que celle-ci soit acceptable par les agents et comment former une structure de coalitions respectant ces propri´et´es ? Ces propri´et´es sont caract´eris´ees par un concept de solution. Bien que les jeux de coalitions fond´es sur l’utilit´e disposent de concepts de solution sp´ecifiques comme le nucl´eole [Schmeidler, 1969], nous ne pr´esentons ici que les concepts sp´ecifiques aux jeux h´edoniques. Notons cependant que ces concepts peuvent ˆetre g´en´eralis´ees aux jeux `a utilit´e transf´erable en consid´erant que pour deux coalitions C₁ et C₂: C_{1 ai} C₂ ⇐⇒ u_ai(C₁) > u_ai(C₂) et C1∼_ai C2⇐⇒ u_ai(C1) = uai(C2).

D’un point de vue collectif, la meilleure structure de coalitions possible est celle qui satisfait parfaitement l’ensemble des participants, c’est-`a-dire que chaque agent est dans la coalition qu’il pr´ef`ere `a toutes les autres. Une telle structure de coalitions est alors dite individuellement optimale.

D´efinition 2.1.6 - Optimalit´e individuelle : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_HG est individuellement optimale si :

∀a_i ∈ N , 6 ∃C ∈ C_a^N

i : C ai C_a^Π_i

Exemple 2.1.3 - Consid´erons un jeu HG = hN, i tel que : N = {a1,a2,a3}

_a1= {a1,a2,a3} _a1 {a₁,a2} _a1 {a₁,a3} _a1 {a₁} _a2= {a₁,a₂,a₃} _a2 {a₁,a₂} _a2 {a₂,a₃} _a2 {a₂} _a3= {a₁,a₂,a₃} _a3 {a₁,a₃} _a3 {a₂,a₃} _a3 {a₃}

Dans un tel jeu, la structure de coalitions {{a1,a2,a3}} est individuellement optimale puisque, pour chaque agent, il n’existe pas de meilleure coalition.

Si l’optimalit´e individuelle d’une structure de coalitions correspond `a un partitionnement parfait des agents, il est fr´equent qu’une telle structure de coalitions n’existe pas, surtout lorsque si les agents sont h´et´erog`enes et ont des profils de pr´ef´erence oppos´es. En effet, il est fr´equent qu’au moins un agent pr´ef`ere une autre coalition que celle `a laquelle il est affect´e. Dans ce contexte, un moyen de comparer deux structures de coalitions est la dominance au sens de Pareto. Intuitivement, une structure de coalitions en domine une autre si tous les agents pr´ef`erent leur coalition respective dans premi`ere structure compar´ee `a celle de la seconde.

D´efinition 2.1.7 - Dominance de Pareto : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π1 ∈ P_N domine au sens de Pareto la structure de coalitions Π2 ∈ P_N si : ∀a_i ∈ N, CΠ1 ai _ai C^Π2 ai ∃a_i ∈ N, CΠ1 ai _ai C^Π2 ai

La dominance au sens de Pareto permet de d´efinir un concept de solution optimal au sens de Pareto, garantissant que la structure de coalitions n’est pas domin´ee par une autre [Dr`eze et Greenberg, 1980, Pardalos et al., 2008].

2.1. Jeux de coalitions h´edoniques D´efinition 2.1.8 - Optimalit´e au sens de Pareto : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π₁ ∈ P_N est optimale au sens de Pareto si :

6 ∃Π₂ ∈ P_N : ∀ai ∈ N,C^Π2 ai _ai C^Π1 ai ∃a_i ∈ N,C^Π2 ai _ai C^Π1 ai

Exemple 2.1.4 - Consid´erons un jeu HG = hN, i tel que : N = {a1,a2,a3}

_a1= {a₁,a₂} _a1 {a₁,a₃} _a1 {a₁,a₂,a₃} _a1 {a₁} _a2= {a₁,a₂} _a2 {a₂,a₃} _a2 {a₁,a₂,a₃} _a2 {a₂} _a3= {a1,a3} _a3 {a₂,a3} _a3 {a₁,a2,a3} _a3 {a₃} Consid´erons le profil de pr´ef´erence de l’agent a₁ suivant :

_a1= {a1,a2} _a1 {a₁,a3} _a1 {a₁,a2,a3} _a1 {a₁}

La structure de coalitions { {a₁},{a₂},{a₃} } est domin´ee au sens de Pareto par la structure { {a₁,a2},{a₃} } car a₁ et a2 pr´ef`erent ˆetre ensembles et que a3 ne change pas de coalition. La figure 2.3 montre les dominances au sens de Pareto pour les diff´erentes structures de coalitions. Ici, les trois structures { {a₁,a₂},{a₃} }, { {a₁,a₃},{a₂} }, { {a₁},{a₂,a₃} } sont optimales au sens de Pareto. a1, a2, a3 a1, a2 a3 a1, a3 a2 a1 a2, a3 a1 a2 a3

Figure 2.3 – Dominance au sens de Pareto des structures de coalitions pour le jeu HG

Intuitivement, l’optimalit´e au sens de Pareto signifie qu’il n’existe pas d’autre structure de coalitions telle que, pour tout agent, la seconde structure soit pr´ef´er´ee. Ce concept de solution permet ainsi de garantir qu’un agent pr´ef´erant former une autre coalition ne peut pas le faire sans que cela rende un autre agent moins satisfait. Si ce concept de solution est particuli`erement int´eressant pour maximiser le bien-ˆetre social, elle n’a que peu d’int´erˆet pour des agents ´ego¨ıstes. C’est pourquoi la notion de stabilit´e d’une structure de coalitions consid`ere les comportements individuels des agents [Nash, 1950, Morgenstern et Von Neumann, 1953]. La stabilit´e d’une structure de coalitions est d´efinie en opposition `a la volont´e et la possibilit´e d’un agent seul ou en groupe `a changer de coalition.

Chapitre 2. Syst`emes consid´er´es

D´efinition 2.1.9 - Nash stabilit´e : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_N est stable au sens de Nash si et seulement si :

∀a_i ∈ N , 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i

Exemple 2.1.5 - Reprenons l’exemple 2.1.4. La structure de coalitions { {a1,a2,a3} } est stable au sens de Nash, car les trois agents pr´ef`erent former la grande coalition plutˆot que d’ˆetre dans leur coalition singleton. `A l’oppos´e, la structure de coalitions { {a₁,a₂},{a₃} } n’est pas stable au sens de Nash puisque a3 pr´ef`ere quitter sa coalition singleton pour rejoindre les autres agents du jeu.

Dans la suite de ce manuscrit, nous notons N SHG l’ensemble des structures de coalitions stables au sens de Nash du jeu HG. Remarquons que cet ensemble peut ˆetre vide (ou ˆetre com-pos´e de plusieurs structures distinctes). Si la non-stabilit´e au sens de Nash d’une structure de coalitions repose uniquement sur le d´esir d’un agent ai de rejoindre une coalition C et ce ind´ e-pendamment du fait que les agents de C l’accepte, la stabilit´e individuelle permet de consid´erer comme stables non seulement les structures de coalitions o`u aucun agent ne souhaite changer de coalition, mais ´egalement les structures o`u les agents d´esirant changer de coalition peuvent ˆ

etre refus´es par ceux qu’ils d´esirent rejoindre.

D´efinition 2.1.10 - Stabilit´e individuelle : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_HG est individuellement stable si et seulement si :

∀a_i∈ N , 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i

∀a_j ∈ C,C ∪ {a_i} _aj C

Exemple 2.1.6 - Reprenons l’exemple 2.1.4. La structure de coalitions { {a₁,a₂},{a₃} } n’est pas stable au sens de Nash, car a3 pr´ef`ere rejoindre la coalition {a1,a2}. Par contre, comme ni a<sub>1</sub>, ni a<sub>2</sub> ne pr´ef`erent la grande coalition `a leurs coalitions actuelles, ils peuvent tous deux rejeter a<sub>3</sub>. Par cons´equent, la structure de coalitions { {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>},{a<sub>3</sub>} } est individuellement stable. Inversement, la structure de coalitions { {a1,a3},{a<sub>2</sub>} } n’est pas individuellement stable, car a<sub>1</sub> pr´ef`ere quitter la coalition {a₁,a₃} pour former la coalition {a₁,a₂} o`u il est accept´e par a₂.

Dans la suite de ce manuscrit, nous d´esignerons par ISHG l’ensemble des structures de coalitions individuellement stables. Comme N S_HG, IS_HG peut ˆetre vide. Avec la stabilit´e indi-viduelle, un agent d´esirant changer de coalition prend en compte les pr´ef´erences des agents de la coalition qu’il souhaite rejoindre. Cependant, ceci se fait ind´ependamment des pr´ef´erences des agents de la coalition quitt´ee. La stabilit´e individuelle contractuelle d´efinit l’ensemble des struc-tures de coalitions o`u aucun agent ne peut changer de coalitions s’il est refus´e dans la coalition qu’il souhaite rejoindre ou si son d´epart est refus´e par au moins l’un des agents de la coalition qu’il souhaite quitter.

D´efinition 2.1.11 - Stabilit´e individuelle contractuelle : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_HG est individuellement contractuellement stable si 32

2.1. Jeux de coalitions h´edoniques et seulement si : ∀a_i∈ N , 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅} : C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i ∀a_j ∈ C,C ∪ {a_i} _aj C ∀a_k∈ C_a^Π i,C_a^Π_i\ {a_i} _ak C_a^Π_i

Exemple 2.1.7 - Reprenons l’exemple 2.1.4. Comme montr´e pr´ec´edemment la structure de coalitions { {a1,a3},{a₂} } n’est pas individuellement stable, car a₁ souhaite changer de coalition et est accept´e par a₂. Par contre, comme a₃ refuse le d´epart de a₁, elle est individuellement contractuellement stable.

Si ces trois concepts de solution d´efinissent la stabilit´e en ne consid´erant que les d´eviations individuelles des agents, la stabilit´e au sens du cœur permet de consid´erer comme stable toute structure de coalitions o`u il n’existe pas de sous-groupes d’agents pr´ef´erant collectivement quitter leurs coalitions respectives afin de former ensemble une nouvelle coalition [Dimitrov et al., 2006].

D´efinition 2.1.12 - Stabilit´e au sens du cœur : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_HG est stable au sens du cœur si :

6 ∃N₂⊆ N : ∀a_j ∈ N₂,N2 _aj C_a^Π_j

Exemple 2.1.8 - Reprenons l’exemple 2.1.4. Si la structure de coalitions { {a₁,a₂,a₃} est stable au sens de Nash, car individuellement aucun agent ne d´esire changer de coalition, elle n’est pas stable au sens du cœur, car les agents a₁ et a₂ pr´ef`erent quitter la grande coalition pour former ensemble la coalition {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>}. Par contre, la structure de coalitions { {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>},{a<sub>3</sub>} } est stable au sens du cœur, car, mˆeme si l’agent a3 pr´ef`ere former la grande coalition, ce n’est pas le cas des agents a₁ et a₂.

Nous notons dans la suite CS_HG l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur pour le jeu h´edonique HG. Comme pour N S_HG, CS_HG peut contenir 0, 1 ou plusieurs structures stables. Enfin, le fait de consid´erer des agents rationnels permet de d´efinir un dernier concept de solution fond´e sur le fait qu’un agent ne va accepter de former une coalition avec d’autres agents que si celle-ci est pr´ef´erable `a l’absence de coop´eration, c’est-`a-dire former sa coalition singleton. Ce concept de solution est appel´e la rationalit´e individuelle [Ballester, 2004].

D´efinition 2.1.13 - Rationalit´e individuelle : Soit HG = hN, i un jeu h´edonique. La structure de coalitions Π ∈ P_HG est individuellement rationnelle si :

Chapitre 2. Syst`emes consid´er´es

Exemple 2.1.9 - Soit le jeu h´edonique HG = hN, i o`u : N = {a1,a2,a3}

_a1= {a1,a2} _a1 {a₁,a2,a3} _a1 {a₁} _a1 {a₁,a3} _a2= {a₁,a₂} ₂{a₁,a₂,a₃} _a2 {a₂} _a2 {a₂,a₃} _a3= {a₁,a₃} _a3 {a₂,a₃} _a3 {a₃} _a3 {a₁,a₂,a₃}

Ici, la structure de coalitions { {a₁,a₂,a₃} } n’est pas individuellement rationnelle puisque a₃ pr´ef`ere quitter la grande coalition et ne pas former de coalition. Les structures de coalitions { {a₁,a₂},{a₃} } et { {a₁},{a₂},{a₃} } sont, elles, individuellement rationnelles.

Remarquons que la structure de coalitions { {a1},{a₂}, . . . ,{a_n} } est toujours individuelle-ment rationnelle.

Stab^ilit´e contractuelle

Stabi^lit´e individuelle

Sta^bilit´e de Nash

Pa ret_o optim_alit´e Stabilit´^{e du} cœ^ur Optimalit´e Rationalit´e indiv^idue lle

Figure 2.4 – Inclusions des diff´erents concepts de solution

Par d´efinition, certains de concepts sont des g´en´eralisations des autres : il existe une relation d’inclusion entre les ensembles stable au sens de Nash, individuellement stables et individuel-lement contractuelindividuel-lement stables [G´enin, 2010]. La figure 2.4 r´esume les relations entre les dif-f´erents concepts que nous avons pr´esent´es. Dans la suite de ce manuscrit, nous ne consid´erons que les concepts de stabilit´e au sens de Nash, stabilit´e individuelle et stabilit´e au sens du cœur car les autres concepts de solution soit ne satisfont pas la rationalit´e individuelle (hypoth`ese mo-d´elisant des agents rationnels), soit sont individuellement optimales (n’incitant pas les agents `a manipuler).

Au-del`a de la d´efinition de concepts de solution, prouver l’existence d’une structure de coali-tions appartenant `a l’un de ces concepts est important [Yun Yeh, 1986,Rothkopf et al., 1998,Bal-lester, 2004, Elkind et Wooldridge, 2009, Sung et Dimitrov, 2010, Peters et Elkind, 2015]. Le ta-bleau 2.2 r´esume les r´esultats de complexit´e pour les diff´erentes repr´esentations des pr´ef´erences et concepts de solution que nous consid´erons.