Destruction du cœur

Si la manipulation destructive n’est pas k-rationnelle, existe-t-il d’autres formes de mani-pulation destructive rationnelles, c’est-`a-dire r´eduisant l’ensemble des structures de coalitions stables, pour la stabilit´e au sens du cœur ? C’est le cas lorsque l’agent malhonnˆete fournit un faux profil de pr´ef´erence tout en introduisant deux agents Sybils s1 et s2.

D´efinition 5.2.1 - Destruction du cœur : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi avec un agent a_m ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1 _am . . . _am C_am,k _am . . . _am C_am,2n−1

et k ∈ [1,2ⁿ⁻¹] tel que :

1. ∀i ∈ [1,k[, 6 ∃Π ∈ CSHG: Cam,i∈ Π ; 2. ∃Π ∈ CS_HG: C_am,k ∈ Π.

La destruction du cœur est la manipulation d´efinie par : M_K = h{a_m,s₁,s₂},{MK am , ^MK s1 , ^MK s2 }, _ami avec MK am = C_am,k MK am {a_m,s1} MK am {a_m,s2} MK am {a_m} MK s1 = {s₁,s2} MK s1 {a_m,s1} MK s1 {s₁} MK s2 = {a_m,s₂} MK s2 {s₁,s₂} MK s2 {s₂}

Cette manipulation consiste `a cr´eer des profils de pr´ef´erence circulaires entre am, s1, et s2

afin que toutes les structures de coalitions Π⁰ ∈ P_{N ∪{s1,s2}} ne contenant pas la coalition C_am,k ne puissent pas ˆetre stables au sens du cœur.

Exemple 5.2.1 - Consid´erons le jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi suivant : N = {a₁,a2,am}

_a1 = {a₁,a₂,a_m} _a1 {a₁,a₂} ∼_a1 {a₁,a_m} _a1 {a₁} _a2 = {a₁,a₂,a_m} _a2 {a₁,a₂} _a2 {a₂,a_m} _a2 {a₂} _am = {a₁,am} _am {a₂,am} _am {a_m}

Comme illustr´e sur la figure 5.1, nous avons CS_HG = { { {a1,am},{a₂} },{ {a₁,a2},{a_m} } }. Ainsi, l’agent a_m peut fixer C_am,k = {a₁,a_m} et construire la manipulation M_K suivante :

M_K = h{a_m,s₁,s₂},{MK am , ^MK s1 , ^MK s2 }, _ami avec MK am = {a₁,am} MK am {a_m,s1} MK am {a_m,s2} MK am {a_m}

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux Π6∈ CSH G a₁ a₂ am a₁ a₂ s₂ a₁, a₂, am CSH G a₁, a₂ am a₁, am a₂

Figure 5.1 – Stablit´e au sens du cœur des structures de coalitions de HG

La manipulation M_K produit le jeu HG^MK o`u CS_HGMK = { { {a₁,a_m},{a₂},{s₁,s₂} } }.

Dans cet exemple, la destruction du cœur est 1-rationnelle. Cependant, sa rationalit´e n’est pas garantie pour l’ensemble des jeux h´edoniques. En effet trivialement, comme pour la manipu-lation destructive, la manipumanipu-lation M_K n’est pas rationnelle lorsque l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur est vide. Caract´erisons maintenant les conditions n´ecessaires `

a la k-rationalit´e de M_K lorsque CS_HG6= ∅.

Propri´et´e 5.2.9 : Soit un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et am ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1am. . . _amC_{am,k am}. . . _amC_am,2n−1. Soit P un protocole de s´election tirant la solution d’un jeu parmi l’ensemble des structures de coalitions stables au sens du cœur. La manipulation MK est k-rationnelle si et seulement si :

1. ∃Π ∈ CS_HG : C_a^Π_m = C_am,k;

2. ∃i ∈]k,2ⁿ⁻¹],∃Π ∈ CS_HG : C_a^Π_m= C_am,i.

Cette propri´et´e repose sur le fait que les profils de pr´ef´erence de am, de s1 et de s2 rendent toute structure de coalitions ne contenant pas C_am,k non stable au sens du cœur.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et un agent malhonnˆete am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1_am . . . _am C_am,k_am . . . _am C_am,2n−1.

Par d´efinition du profils de pr´ef´erence de a_mdans la destruction du cœur, il n’existe pas de struc-ture de coalitions Π ∈ CSHG telle que ∃i ∈ [1,k[: Cam,i ∈ Π et donc ∀i ∈ [1,k[P^∗(am,i|HG) = 0. Par d´efinition de la k-rationalit´e d’une manipulation, la destruction du cœur est k-rationnelle si ∀i ∈ [1,k[P∗(a_m,i|HG^MK) = 0. Par ailleurs, s’il n’existe pas de i ∈]k,2ⁿ⁻¹] tel que ∃Π ∈ CS_HG : C_a^Π_m = Cam,i, nous avons P^∗(am,k|HG^MK) = 1 et donc la destruction du cœur ne peut pas ˆetre k-rationnelle.

Fixons une structure de coalitions Π⁰ ∈ P_{N ∪{s1,s2}}. Supposons dans un premier temps que C_a^Π_m⁰ 6= C_am,k. Par d´efinition des profils de pr´ef´erence de a_m, s₁ et de s₂, si ∃a_i ∈ N \ {a_m} tel que CΠ⁰

ai = CΠ⁰

s1 (respectivement si CΠ⁰

ai = CΠ⁰

s2) alors la structure de coalitions Π⁰ ne peut pas ˆ

etre stable au sens du cœur puisque {s1} MK

s1 C_s^Π₁⁰ (respectivement {s2} MK

s2 C_s^Π₂⁰). De mˆeme, si C_a^Π_m⁰ = {a_m,s₁,s₂} alors Π0 n’est pas stable. Enfin, si ∃a_i∈ N \ {a_m} tel que CΠ0

ai = C_a^Π_m⁰ alors Π⁰ n’est toujours pas stable.

Ainsi, il ne reste que quatre coalitions possibles pour les agents am, s2 et s1 : {am},{s₁},{s₂}, 102

5.2. Robustesse des autres concepts de solution {a_m,s1},{s₂}, {a_m,s2},{s₁} et {a_m},{s₁,s2}. Dans ces quatre cas, ind´ependamment des coalitions des agents de N \ {a_m}, la structure de coalitions Π0 ne peut pas ˆetre stable au sens du cœur, car au moins 2 des agents (parmi a_m, s₂ et s₁) d´esirent changer de coalition pour en former une nouvelle ensemble. Ainsi, si C_a^Π_m⁰ 6= C_am,k alors la structure de coalitions Π⁰ ne peut pas stable au sens du cœur. La figure 5.2 repr´esente pour ces 4 cas quels agents rendent la structure non stable. a_m s1 s2 . . . a_m ,s1 s2 . . . a_m,s2 s1 . . . a_m s1,s2 . . .

Figure 5.2 – Instabilit´e du cœur due aux agents malhonnˆetes

Consid´erons maintenant que C_a^Π_m⁰ = Cam,k. Par d´efinition des profils de pr´ef´erence de s1 et de s2, pour toute structure de coalitions Π⁰ ∈ P_{N ∪{s1,s2}}, si C_s^Π₁⁰ 6= {s₁,s2} alors la structure de coalitions Π⁰ ne peut pas ˆetre stable au sens de du cœur. Nous avons deux cas :

1. Consid´erons une structure de coalitions Π ∈ CS_HG telle que C_am,k ∈ Π et la structure Π⁰ = Π ∪ {s₁,s₂}. Par d´efinition des profils de pr´ef´erence de s₁ et de s₂, les agents a_m, s1 et s2 ne d´esirent pas changer de coalition dans Π⁰. Comme la structure de coalitions Π ∈ CS_HG, par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´ e-fice du doute (hypoth`ese 3.2.3 et 3.2.4), aucun autre sous-ensemble de N \{a_m} ne souhaite aussi changer de coalition dans Π⁰. Donc, Π⁰est stable au sens du cœur dans le jeu HG^MK.

2. Consid´erons enfin une structure de coalitions Π 6∈ CSHGtelle que Cam,k ∈ Π et la structure Π⁰ = Π ∪ {s1,s2}. Comme Π 6∈ CS_HG, C_am,k ∈ Π, nous avons ∃N₂ ⊆ N \ {a_m} tel que ∀a_i ∈ N₂,N_{2 ai} C_a^Π_i. Comme par construction, comme {s₁,s₂} ∈ Π0, C_a^Π_i = C_a^Π_i⁰. Ainsi, par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de b´en´efice du doute, nous avons ∀ai∈ N₂,N2MK

ai C_a^Π_i⁰ et donc la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens du cœur dans le jeu HG^MK.

Ainsi, il existe une structure de coalitions Π⁰ ∈ CS_HGMK si et seulement s’il existe Π ∈ CS_HG telle que C_am,k ∈ Π. Comme toute structure de coalitions Π0 ∈ CS_HGMK contient la coalition Cam,k, nous avons :

– ∀i ∈ [1,k[P^∗(am,i|HG^MK) = P^∗(am,i|HG) = 0 ; – P^∗(a_m,k|HG^MK) = 1 > P^∗(a_m,k|HG).

Par cons´equent, la manipulation MK n’est k-rationnelle que si et seulement si les conditions (1) et (2) sont satisfaites. 

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux