La stochocratie : un vote al´ eatoire sur la cr´ edibilit´ e

Si le KL-filtrage (d´efinition 8.2.2) et par k-fautes (d´efinition 8.2.4) permettent `a un agent de d´etecter et filtrer une partie des faux t´emoignages, la cr´edibilit´e de chaque t´emoignage reste uniquement fond´ee sur les observations personnelles de l’agent qui la calcule. Or, il est possible que les t´emoignages des autres agents ne soient pas faux mais que les observations personnelles de celui qui les juge soient erron´ees. Ceci est le cas en pr´esence de discrimination, c’est-`a-dire lorsqu’un agent malveillant choisi son comportement en fonction de l’agent avec qui il interagit, de traˆıtrises car elle n’est observ´ee que par ceux avec qui l’agent malveillant a interagi ou plus simplement de bruit dans les observations de l’agent qui juge le t´emoignage.

C’est pourquoi nous proposons ici une troisi`eme fonction de filtrage permettant `a un agent de remettre en cause ses propres observations. Cette fonction s’inspire du syst`eme de vote par stochocratie, aussi appel´e suffrage par le sort. En politique, la stochocratie d´esigne un ´Etat dont le gouvernement est s´electionn´e al´eatoirement. L’objectif est d’introduire de l’al´ea dans la constitution d’instances de d´ecision afin de limiter les risques de collusion a priori et d’assurer une diversit´e des points de vue [Delannoi et Dowlen, 2010]. Dans notre contexte, nous proposons d’utiliser un m´ecanisme de stochocratie dans le processus de jugement de chaque t´emoignage. Il s’agit intuitivement de soumettre chaque t´emoignage face `a un jury de k agents s´electionn´es al´eatoirement uniform´ement. Ce jury d´ecide alors par vote majoritaire si le t´emoignage est cr´edible.

8.2. Filtrer les t´emoignages non cr´edibles D´efinition 8.2.5 - Cr´edibilit´e par k-stochocratie : Soit un syst`eme d’´echange de services hN,Si, a_i ∈ N un agent, k ∈ N et un t´emoignage Fi,j,k0,x. Le t´emoignage F_i,j,k0,x est dit cr´edible par k-stochocratie si, pour un sous-ensemble N⁰ ⊆ N \ {a_j,a_k0} de k agents tir´es al´eatoirement uniform´ement, au moins dk/2e agents de N⁰ jugent Fi,j,k,x comme cr´edible.

Dans la suite, nous appelons juge un agent s´electionn´e par stochocratie pour juger de la cr´edibilit´e d’un t´emoignage. Afin de ne pas inciter certains agents honnˆetes `a voter strat´ egique-ment, les agents aj et a_k ne sont pas s´electionn´es en tant que juges. En effet, aj est suppos´e consid´erer comme cr´edible son propre t´emoignage et a_k peut ˆetre tent´e de voter pour ou contre le t´emoignage pour se promouvoir ou ´eviter une mauvaise r´eputation. Dans la suite, nous notons L^k_i(F_i,j,k0,x) un t´emoignage F_i,j,k0,xjug´e cr´edible par k-stochocratie. Nous pouvons alors d´efinir la fonction de filtrage qui rejette tous les t´emoignages qui ne sont pas cr´edibles par k-stochocratie.

D´efinition 8.2.6 - Fonction de filtrage par k-stochocratie : Soit un syst`eme d’´echange de services hN,Si, ai ∈ N un agent et k ∈ N. La fonction de filtrage par k-stochocratie est la fonction φi d´efinie par :

φi(Fi) = {F_i,j,k0,x∈ F_i|L^k_i(F_i,j,k0,x)}

Notons que les observations de l’agent a_isont elles aussi soumises au filtrage par k-stochocratie. Ainsi, si a_ia peu d’observations ou une trop grande incertitude sur ses observations, ces derni`eres peuvent ne pas ˆetre utilis´ees lors du calcul de la r´eputation.

Cependant, la cr´edibilit´e par k-stochocratie est un processus stochastique et deux jugements successifs peuvent rendre des r´esultats diff´erents. De plus, comme elle repose sur un vote ma-joritaire, elle peut ˆetre influenc´ee par un vote strat´egique (d´efinition 1.2.1). En effet, un juge malveillant peut volontairement d´eclarer comme non cr´edible un t´emoignage qu’il consid`ere en r´ealit´e comme cr´edible ou inversement d´eclarer cr´edible un t´emoignage qu’il consid`ere ne pas l’ˆetre, afin de promouvoir ou de diffamer un autre agent. Toutefois, nous consid´erons la cr´edibilit´e par k-stochocratie comme robuste car :

1. Nous pouvons simuler les votes pour ´eviter les votes strat´egiques et r´eduire dans le mˆeme temps les coˆuts de communication. L’hypoth`ese faite par la stochocratie est qu’un juge honnˆete a<sub>i</sub>0 vote pour un t´emoignage F<sub>i,j,k,x</sub> en mesurant la cr´edibilit´e de F<sub>i,j,k,x</sub>au regard de ses propres observations O<sub>i</sub>0,k,x. Or, comme les t´emoignages sont cens´es ˆetre les obser-vations des agents, si le juge est honnˆete alors Oi0,k,x = Fi,i0,k,x. Par cons´equent, un agent ai peut lui-mˆeme calculer D<sub>i</sub>0,j,k,x et d´ecider si le t´emoignage de F<sub>i,j,k,x</sub> serait jug´e comme cr´edible par a<sub>i</sub>0. Ainsi, bien que nous ayons d´ecrit le filtrage par k-stochocratie comme un vote, il n’en est pas un au sens strict du terme car un agent peut utiliser les t´emoignages qu’il a re¸cus pour calculer a priori quel serait le vote de chacun des juges qu’il consid`ere. Cette m´ethode empˆeche alors un agent malveillant de voter strat´egiquement puisque son vote est formul´e `a partir de t´emoignages qu’il a lui-mˆeme pr´ealablement fournis et qui sont utilis´es `a son insu.

2. La probabilit´e que la majorit´e des juges soient malveillants est faible. En effet, pour qu’un autre agent malveillant a_i0 puisse accorder sa voix pour rendre un t´emoignage (promotion

Chapitre 8. Cr´edibilit´e des t´emoignages

Propri´et´e 8.2.1 : Soit hN,Si un syst`eme d’´echange de services, ai ∈ N et F_i,j,k0,x ∈ F_i un t´emoignage. Notons l ∈ [0,|N | − 2] le nombre d’agents a_z ∈ N \ {a_j,a_k0} tels que KL_z(F_i,j,k0,x) (resp. KL_z(F_i,j,k0,x)). Le t´emoignage F_i,j,k0,x est jug´e par erreur par k-stochocratie comme cr´ e-dible (resp. non cr´edible) alors qu’il est faux (resp. vrai) avec une probabilit´e p ∈ [0,1] telle que : p = k X K=dk/2e |N0| K
× ^{|N |−|N}_k−K^0|−2
|N |−2 k

o`u N \ {a_j,a_k} est l’ensemble des agents pouvant ˆetre s´electionn´es comme juges, k est le nombre de juges s´electionn´es, N⁰ l’ensemble des agents en erreur sur le t´emoignage F_i,j,k0,x, et K le nombre d’agents de N⁰ s´electionn´es comme juges.

D´emonstration : Consid´erons le cas o`u le t´emoignage F<sub>i,j,k</sub>0,xest un faux t´emoignage fourni par l’agent malveillant a<sub>j</sub>. Soit N<sup>0</sup>⊆ N \{a<sub>j</sub>,a<sub>k</sub>0} l’ensemble des agents a<sub>z</sub> tels que KL<sub>z</sub>(F<sub>i,j,k</sub>0,x). La probabilit´e que le t´emoignage F<sub>i,j,k</sub>0,xsoit jug´e par k-stochocratie comme cr´edible correspond `

a la probabilit´e qu’au moins dk/2e parmi les k juges appartiennent `a N⁰. Or, la probabilit´e que exactement K ∈ [0,|N⁰|] des agents de N⁰ soient s´electionn´es al´eatoirement uniform´ement parmi les k juges suit une loi hyperg´eom´etrique H(N \ {aj,a_k},k,|N⁰|), soit :

PK= |N0| K
× |N |−|N0|−2 k−K
|N |−2 k

Pour un ensemble N⁰ fix´e, la probabilit´e p ∈ [0,1] minimale pour qu’au moins dk/2e agents de N⁰ soit s´electionn´es parmi les k juges est :

p = k X K=dk/2e PK = k X K=dk/2e |N0| K
× ^{|N |−|N}_k−K^0|−2
|N |−2 k

Un raisonnement identique peut ˆetre tenu dans le cas o`u le t´emoignage Fi,j,k0,xest un vrai t´ emoi-gnage. Il suffit de consid´erer cette fois N⁰ comme l’ensemble des agents az tels que KLz(F_i,j,k0,x). 

Le tableau 8.6 donne la probabilit´e qu’un faux t´emoignage soit jug´e par k-stochocratie comme cr´edible en fonction de |N |, |N⁰| et de k. Dans les cas o`u k > |N | − 2 nous consid´erons que l’agent a_i simule un vote majoritaire parmi tous les agents de N \ {a_j,a_k0}.

Bien qu’il y ait des cas particuliers o`u la probabilit´e d’erreur soit nulle ou ´egale `a 1, la probabilit´e d’erreur est faible dans un contexte r´ealiste o`u |N |/2 > |N<sup>0</sup>| > k/2. Par exemple |N | = 100, |N<sup>0</sup>| = 10, k = 10, cette probabilit´e est de 0,0008. Il est int´eressant de remarquer que lorsque le nombre d’agents dans l’erreur est majoritaire (troisi`eme colonne pour chaque valeur de |N |) la parit´e de k influe sur la probabilit´e d’erreur puisqu’il faut r´eussir un vote majoritaire. Cela est en particulier visible sur lorsque |N | = 100 et |N⁰| = 50. Ainsi, la k-stochocratie est une fonction de filtrage qui permet `a un agent de r´eduire le taux de faux t´emoignages utilis´es lors du calcul de la valeur de r´eputation tout en remettant en cause les observations de l’agent, et ce avec une faible probabilit´e d’erreur.