Hypoth` ese de sur-additivit´ e

Consid´erons maintenant une autre relaxation intuitive du b´en´efice du doute : une hypoth`ese de sur-additivit´e, correspondant au fait que les agents honnˆetes vont pr´ef´erer la coalition C ∪{aj} `

a la coalition C lorsqu’un agent aj qu’ils ne connaissent pas rejoint le jeu. Cette hypoth`ese repr´esente une pr´ef´erence `a la pr´esence d’agents inconnus dans les coalitions.

Hypoth`ese 5.1.2 - Pr´ef´erences sur-additives : Un agent ai ∈ N a un profil de pr´ef´erence sur-additif vis-`a-vis d’un ensemble d’agents U qu’il ne connaˆıt pas si, dans le jeu HG⁰ = hN ∪ U, ⁰i, ⁰_a

i est d´efini tel que : ∀C₁,C2⊆ C_a^N

i telles que C1_ai C2,∀C3 ⊆ U : C₁∪ C₃ ⁰_a

i C1 ⁰_a

i C2

Intuitivement cette hypoth`ese semble ˆetre avantageuse pour les agents malhonnˆetes utilisant au moins un agent Sybil puisque la pr´esence de ce dernier dans une coalition est pr´ef´erable `a

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux

Propri´et´e 5.1.7 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique, am ∈ N un agent malhonnˆete et HG^M = hN^M, ^M ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation M utilisant un ensemble S = {s₁, . . . ,s_l} (non vide) d’agents Sybil. Soit Π0 ∈ P_NM une structure de coalitions. Si ∃ai∈ N \ {a_m} tel que CΠ⁰

ai = {ai} et que ∃s_j ∈ S tel que CΠ⁰

sj = {sj} alors, sous l’hypoth`ese de sur-additivit´e, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens de Nash.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, am ∈ N un agent malhonnˆete et HGM = hNM, M ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation M utilisant un ensemble S = {s1, . . . ,sl} (non vide) d’agents Sybil. Fixons une structure de coalitions Π⁰∈ P_NM

telle qu’il existe a_i ∈ N \ {a_m} : CΠ0

ai = {a_i} et qu’il existe s_j ∈ S : CΠ0

sj = {s_i}. Par l’hypoth`ese de sur-additivit´e, nous avons {a_i,s_j} M

am {a_i}. Par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens de Nash. 

Cette propri´et´e indique qu’une structure de coalitions contenant un agent honnˆete et un agent Sybil dans leur coalition singleton respective ne peut pas ˆetre stable au sens de Nash, car l’agent honnˆete pr´ef`ere toujours rejoindre l’agent Sybil. Ainsi, l’hypoth`ese de sur-additivit´e rend caduque la propri´et´e 4.1.1. Cette derni`ere doit donc ˆetre r´e´ecrite :

Propri´et´e 5.1.8 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HGMC = hNMC, MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am ∈ N sur HG. Soit Π ∈ N S_HG une structure de coalitions stable au sens de Nash de HG. Sous l’hypoth`ese de sur-additivit´e, ∀C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π0 = f (Π,s,C₀) de HG^MC est stable si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. C06= CΠ am;

2. ∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅} : C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am} ; 3. C06= ∅ ∨ 6 ∃a_i∈ N \ {a_m} : CΠ

ai = {ai}.

Remarquons que la propri´et´e 5.1.7 ne remet en cause la v´eracit´e des propri´et´es 4.1.2 et 4.1.3. Propri´et´e 5.1.9 : Sous l’hypoth`ese de sur-additivit´e, les propri´et´es 4.1.2 et 4.1.3 restent vraies.

Intuitivement, la propri´et´e 4.1.2 est toujours vraie, car, sous hypoth`ese de sur-additivit´e, un agent honnˆete pr´ef´erant changer de coalition dans une structure de coalitions pr´ef`ere toujours en changer ind´ependamment de la coalition C0 que rejoint l’agent Sybil. Quant `a la propri´et´e 4.1.3, elle est incluse implicitement dans la propri´et´e 5.1.7. Ainsi, l’hypoth`ese de sur-addivit´e n’a pas d’influence directe sur les conditions de la k-rationalit´e de la manipulation constructive, mais influe sur les valeurs de cardM_C(Π|HG).

Corollaire 5.1.2 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m ∈ N sur HG. Sous hypoth`ese de sur-additivit´e, nous avons :

1. pour toute structure Π ∈ N SHG :

cardM_C(Π|HG) = |{C0∈ Π|∀C ∈ Π ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am} ∧ ( C₀ 6= ∅ ∨ 6 ∃a_i ∈ N \ {a_m} : C_a^Π

i = {ai} )}| 90

5.1. Remise en cause du b´en´efice du doute 2. pour toute structure Π 6∈ N SHG∪ U RHG

am :

card_MC(Π|HG) = 0 3. pour toute structure Π ∈ U R^HG_am :

cardMC(Π|HG) = |{C0 ∈ Π|∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am}}|

´

Etudions dans un second temps l’influence de l’hypoth`ese de sur-additivit´e sur la manipula-tion destructive. La caract´erisation de cette manipulation repose sur les propri´et´es 4.2.1, 4.2.2 et 4.2.3. Trivialement, les deux premi`eres propri´et´es sont toujours vraies sous l’hypoth`ese de sur-additivit´e. Ce n’est pas le cas pour la propri´et´e 4.2.3 qui doit ˆetre reformul´ee.

Propri´et´e 5.1.10 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m ∈ N sur HG. Sous hypoth`ese de sur-addivit´e, pour toute structure de coalitions Π ∈ N SHG, la structure Π⁰ = f (Π,s,∅) est stable dans HG^MD si et seulement si C_am,k ∈ Π et 6 ∃a_i ∈ N \ {a_m} tel que C_a^Π_i = {a_i}.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am C_am,2n−1. Fixons HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par am ∈ N sur HG. Fixons les structures de coalitions Π ∈ N S_HG et Π⁰ = f (Π,s,∅). Comme par construction de Π⁰, nous avons ∀a_i ∈ N,CΠ

ai = CΠ⁰

ai si C_am,k 6∈ Π. Donc, nous avons C_am,k 6∈ Π⁰. Par la propri´et´e 4.2.1, la structure de coalitions Π⁰ n’est donc pas stable.

Suppons maintenant que ,C_am,k ∈ Π mais qu’il existe un agent a_i∈ N \ {a_m} tel que CΠ

ai = {a_i}. Par l’hypoth`ese de sur-additivit´e, nous avons {a_i,s} MD

ai {a_i}. Comme par construction nous avons {s} ∈ Π⁰, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens de Nash. 

Ainsi, sous hypoth`ese de sur-additivit´e, les conditions n´ecessaires `a la rationalit´e de la ma-nipulation destructive sont :

Propri´et´e 5.1.11 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et am ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence Cam,1 _am . . . am C_am,2n−1. Sous l’hypoth`ese de sur-additivit´e, la manipulation destructive M_D est k-rationnelle si et seulement si :

1. ∀i ∈ [1,k[, 6 ∃Π ∈ N S_HG : C_am,i∈ Π ; 2. ∃Π ∈ N S_HG telle que :

(a) Cam,k = C_a^Π_m;

(b) 6 ∃ai∈ N \ {a_m} tel que CΠ

ai = {ai} ; 3. ∃Π ∈ N SHG: C_{am,k am} C_a^Π_m.

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux