Hypoth` ese de sous-additivit´ e

Consid´erons dans un temps une hypoth`ese de sous-additivit´e, c’est-`a-dire que les agents honnˆetes vont pr´ef´erer la coalition C `a la coalition C ∪{a_j} lorsque l’agent a_jqu’ils ne connaissent pas rejoint le jeu. Cela repr´esente une forme de m´efiance.

Hypoth`ese 5.1.1 - Pr´ef´erences sous-additives : Un agent ai ∈ N a un profil de pr´ef´erence sous-additif vis-`a-vis d’un ensemble d’agents U qu’il ne connaˆıt pas si, dans le jeu HG⁰ = hN ∪ U, ⁰i, ⁰_a

i est d´efini tel que : ∀C₁,C2 ⊆ C_a^N

i telles que C1 _ai C2,∀C3 ⊆ U : C₁⁰_a

i C1∪ C₃ ⁰_a

i C2

Ceci nous permet de d´efinir le profil de pr´ef´erence des agents honnˆetes. Exemple 5.1.1 - Consid´erons le jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi o`u :

N = {a1,a2,a3,am}

_a1= {a1,a2} _a1 {a₁,a3,am} _a1 {a₁,a3} _a1 {a₁,a2,am} _a1 {a₁,a2,a3,am} _a1 {a₁} Consid´erons une manipulation M mise en œuvre par amutilisant un agent Sybil s. Soit HG^M = hNM, ^M ,Pi le jeu r´esultant de la manipulation M sur HG. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de sous-additivit´e, nous avons :

^M₁ = {a1,a2} ^M_a 1 {a₁,a2,s} ^M_a1 {a₁,a3,am} ^M_a 1 {a₁,a3,am,s} ^M_a 1 {a₁,a3} ^M_a 1 {a₁,a3,s} ^M_a1 {a₁,a2,am} ^M_a 1 {a₁,a2,am,s} ^M_a 1 {a₁,a2,a3,am} ^M_a 1 {a₁,a2,a3,am,s} ^M_a1 {a₁} ^M_a 1 {a₁,s} ´

Etudions dans un premier temps l’influence de cette hypoth`ese sur la manipulation construc-tive. De mani`ere g´en´erale, elle restreint les conditions n´ecessaires `a la stabilit´e d’une structure de coalitions.

5.1. Remise en cause du b´en´efice du doute Propri´et´e 5.1.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par a_m∈ N sur HG. Pour toute Π ∈ P_N, si ∃C₀ ∈ Π telle que |C₀| = 1 alors la structure de coalitions Π0 = f (Π,s,C₀) n’est pas stable au sens de Nash dans HG^MC.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi, une structure de coalitions Π ∈ P_N et une coalition C₀∈ Π telle que C₀ = {a_i}. Soit la structure Π⁰ = f (Π,s,C₀).

Supposons dans un premier temps que ai = am. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am

dans la manipulation constructive, {a_m} MC

am {a_m,s}. Par construction de Π⁰, nous avons donc {a_m,s} ∈ Π⁰ et, par cons´equent, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable au sens de Nash dans HG^MC.

Supposons maintenant que a_i ∈ N \ {a_m}. Par les hypoth`eses d’ind´ependance des alternatives non-pertinentes et de sous-additivit´e, nous avons {a_i} MC

ai {a_i,s}. Or, par construction de Π⁰, C_a^Π_i⁰ = {ai,s}. Par cons´equent, il existe une coalition C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_i} MC

ai C_a^Π_i⁰. La structure de coalitions Π⁰ n’est donc pas stable au sens de Nash dans lHG^MC.

Ainsi, pour toute structure de coalitions Π et toute coalition C0 ∈ Π telle que |C₀| = 1, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C) n’est pas stable au sens de Nash dans HG^MC. 

Intuitivement, sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, si l’agent Sybil d´esire rejoindre un agent honnˆete isol´e, ce dernier pr´ef`ere former sa coalition singleton, rendant la structure de coalitions non stable au sens de Nash. Ainsi, l’hypoth`ese de sous-additivit´e rend caduques les propri´ e-t´es 4.1.1 et 4.1.3. Ces deux propri´et´es doivent alors se r´e´ecrire :

Propri´et´e 5.1.2 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am ∈ N sur HG. Soit Π ∈ N S_HG une structure de coalitions stable au sens de Nash de HG. Sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) de HG^MC est stable au sens de Nash si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. C0 6= CΠ am;

2. ∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅} : C₀∪ {a_m} _am C ∪ {am} ; 3. |C₀| 6= 1.

Propri´et´e 5.1.3 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HG^MC = hN^MC, ^MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am∈ N sur HG. Soit Π une structure de coalitions dont l’agent malhonnˆete a_m est l’unique responsable de la non-stabilit´e. Sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) est stable pour le jeu HG^MC si et seulement si :

1. ∀C1 ∈ Π ∪ {∅} : C₀∪ {a_m} _am C1∪ {a_m} ; 2. |C₀| 6= 1.

Chapitre 5. Forces et faiblesses des autres jeux

Propri´et´e 5.1.4 : Sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, la propri´et´e 4.1.2 reste vraie.

Intuitivement, cette propri´et´e est toujours vraie, car sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, un agent honnˆete pr´ef´erant changer de coalition dans une structure de coalitions pr´ef`ere toujours en changer ind´ependamment de la coalition C₀ que rejoint l’agent Sybil.

Ainsi, l’hypoth`ese de sous-additivit´e n’a pas d’influence directe sur les conditions de la k-rationalit´e de la manipulation constructive, mais influe sur les valeurs de card_MC(|HG).

Corollaire 5.1.1 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et HGMC = hNMC, MC ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation constructive par am ∈ N sur HG. Pour toute structure de coalitions Π ∈ N S_HG, nous avons :

card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π|∀C ∈ (Π \ {C_a^Π_m}) ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _am C ∪ {a_m} ∧ |C₀| 6= 1}| Pour toute structure de coalitions Π 6∈ N S_HG∪ U RHG

am, nous avons : card_MC(Π|HG) = 0

Pour toute structure de coalitions Π ∈ U R^HG_am, nous avons :

card_MC(Π|HG) = |{C₀ ∈ Π|∀C ∈ Π ∪ {∅},C₀∪ {a_m} _amC ∪ {a_m} ∧ |C₀| 6= 1}|

De mani`ere int´eressante, la sous-additivit´e permet de caract´eriser trivialement certaines si-tuations o`u la manipulation constructive n’est pas k-rationnelle.

Propri´et´e 5.1.5 : Soit HG = hN,  ,Pi un jeu h´edonique et am ∈ N un agent malhonnˆete ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1_am . . . _am C_am,2n−1. Sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e, si |C_am,k| = 2 alors la manipulation constructive n’est pas k-rationnelle.

´

Etudions dans un second temps l’influence de l’hypoth`ese de sous-additivit´e sur la manipu-lation destructive.

Propri´et´e 5.1.6 : Les conditions n´ecessaires `a la k-rationalit´e de la manipulation destructive sur un jeu HG sont les mˆemes sous l’hypoth`ese de sous-additivit´e que sous l’hypoth`ese de b´en´efice du doute.

Pour rappel, la propri´et´e 4.2.6 est d´eduite des propri´et´es 4.2.1, 4.2.2 et 4.2.3.

D´emonstration : Fixons un jeu h´edonique HG = hN,  ,Pi et am ∈ N ayant le profil de pr´ef´erence C_am,1_am . . . _am C_am,2n−1. Fixons HG^MD = hN^MD, ^MD ,Pi le jeu r´esultant de la mise en œuvre de la manipulation destructive par a_m ∈ N sur HG.

Montrons dans un premier temps que la propri´et´e 4.2.1 est vraie : une structure de coalitions Π⁰ ∈ P_NMD n’est pas stable au sens de Nash si C_a^Π_m⁰ = C_am,k ou C_s^Π0 = {s} ne sont pas v´erifi´ees. Consid´erons une structure de coalitions Π⁰ ∈ P_NMD. Supposons que C_a^Π_m⁰ 6= C_am,k. Par d´efinition des profils de pr´ef´erence de a_m et de s, soit CΠ⁰

am = CΠ⁰ s et donc {a_m} MD am CΠ⁰ am, soit CΠ⁰ am 6= CΠ⁰ s et donc C_a^Π_m⁰ ∪ {s} MD

s C_s^Π0. Dans les deux cas, la structure de coalitions Π⁰ n’est pas stable. Supposons maintenant que C_a^Π_m⁰ = C_am,k et que C_s^Π0 6= {s}. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, nous avons C_a^Π_m⁰ ∪ {s} MD

s C_s^Π0 et donc Π⁰ n’est pas stable au sens de Nash. Ainsi, la 88

5.1. Remise en cause du b´en´efice du doute propri´et´e 4.2.1 est vraie sous hypoth`ese de sous-additivit´e.

Montrons dans un second temps que la propri´et´e 4.2.2 est vraie : ∀Π 6∈ N S_HG, ∀C₀ ∈ Π ∪ {∅}, la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,C₀) n’est pas stable. Consid´erons une structure de coalitions Π 6∈ N SHG. Par la propri´et´e 4.2.1, ∀C0 ∈ Π, nous avons Π⁰ = f (Π,s,C0) 6∈ N S_HGMD. En effet, par construction de Π⁰, nous avons C_s^Π0 6= {s} et donc Π⁰ n’est pas stable. Consid´erons maintenant la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,∅) et supposons que Π⁰ ∈ N S_HGMD. Par d´efinition de la stabilit´e (d´efinition 2.1.9), nous avons ∀ai∈ NMD, 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅},C ∪ {a_i} MD ai

C_a^Π_i⁰. Comme C_s^Π0 = {s}, nous avons ∀a_i ∈ N ,CΠ0

ai = C_a^Π_i. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de am, si 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} telle que C ∪ {a_m} MD

am C_a^Π_m⁰ alors 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅},C ∪ {am} _am C_a^Π_m. De mˆeme, par les hypoth`eses de sous-additivit´e et de b´en´efice du doute si ∀a_i∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅},C ∪ {a_i} M_D

ai C_a^Π_i⁰ alors ∀a_i ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π ∪ {∅},C ∪ {a_i} _ai C_a^Π_i. Ainsi, si Π⁰ ∈ N S_HGMD alors Π ∈ N S, ce qui est en contradiction avec Π 6∈ N SHG. La propri´et´e 4.2.2 est donc vraie sous hypoth`ese de sous-additivit´e.

Montrons enfin que la propri´et´e 4.2.3 est vraie : ∀Π ∈ N S_HGtelle que C_am,k∈ Π (respectivement Cam,k6∈ Π), la structure de coalitions Π⁰ = f (Π,s,∅) est stable (respectivement non stable) pour le HG^MD. Consid´erons une structure de coalitions Π ∈ N S_HG. Par construction de Π⁰, ∀ai ∈ N , ∀a_i ∈ N ,CΠ0

ai = C_a^Π_i. Supposons que C_am,k 6∈ Π. Par la propri´et´e 4.2.1, comme C_a^Π_m⁰ 6= C_am,k, la structure de coalitions Π⁰n’est pas stable. Supposons enfin que Cam,k ∈ Π. Par d´efinition du profil de pr´ef´erence de s, comme C_a^Π_m⁰ = C_am,k, nous avons 6 ∃C ∈ Π⁰∪{∅} : C ∪{s} _sM_D{s}. Comme Π ∈ N S_HG. Par d´efinition des profils de pr´ef´erence de a_m, nous avons ´egalement 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} : C ∪ {am} MD

am C_a^Π_m⁰. Par l’hypoth`ese de sous-additivit´e, pour tout agent ai ∈ N \ {a_m}, nous avons C_a^Π_i⁰ MD

am {a_i,s}. Comme Π ∈ N SHG, nous avons donc ∀ai ∈ N \ {a_m}, 6 ∃C ∈ Π⁰∪ {∅} : C ∪ {a_i} MD

ai C_a^Π_i⁰. Ainsi, si C_a^Π_m⁰ = C_am,k alors la structure de coalitions Π⁰ est stable. Par cons´equent, la propri´et´e 4.2.3 est vraie sous hypoth`ese de sous-additivit´e. 

Ainsi, la relaxation de l’hypoth`ese de b´en´efice du doute par l’hypoth`ese de sous-additivit´e renforce la robustesse des jeux h´edoniques face `a la manipulation constructive mais pas face `a la manipulation destructive.