Il est nécessaire d’organiser certaines séries de données. En effet, quelques données correspondent aux variables telles quelles alors que d’autres nécessitent une opération mathématique (rendement, variation, écart par rapport à une autre variable) avant de pouvoir être modélisées.
5.4.1 Taux sans risque, Taux des bons du trésor 10 ans, taux des obligations corporatives Investment-Grade
En vue de simuler le taux sans risque à l’aide du modèle CIR, nous devons créer la série de variations du taux sans risque divisées par la racine carrée du taux sans risque de la période précédente :
∆𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡 �𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡−1=
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡− 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡−1
�𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡−1 (136)
C’est avec cette série de variations que nous pouvons effectuer la régression nécessaire à la simulation du modèle CIR (une explication plus détaillée suivra). Le même principe s’applique pour les autres variables simulées à l’aide du modèle CIR, soit les taux du gouvernement 10 ans et les taux des obligations corporatives Investment-Grade.
5.4.2 Taux de croissance moyen des loyers (𝑔𝑔̅)
La valeur qui est utilisée dans le modèle correspond à la moyenne des taux de croissance annuels. Nous utilisons simplement la moyenne arithmétique afin d’estimer cette valeur :
𝑔𝑔̅ =∑ 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛 (147)
5.4.3 Prime de risque immobilière (π)
Il faut savoir que les taux d’actualisation (k) mensuels liés à l’investissement immobilier (Yield) nous servent à déduire la prime de risque immobilière (π).
5.4.3.1 Délissage des yields immobiliers
Premièrement, les Yield doivent subir un délissage (unsmoothing). Fisher, Geltner et Webb (1994), expliquent que les données d’indices immobiliers commerciaux basés sur l’évaluation immobilière (appraisal-based), comme l’indice IPD UK Monthly Property Digest que nous utilisons26, sont lissées en raison de la méthodologie de construction de l’indice.
Afin de contrer ce phénomène de lissage (smoothing), nous utilisons le modèle de délissage AR(1) de Geltner (1993). Ce modèle ignore les effets de saisonnalité et d’accumulation temporelle ; autrement dit nous utilisons le modèle qui suppose que toutes les propriétés qui composent l’indice sont réévaluées une fois par année, et ce, toujours à la fin de l’année. L’auteur explique que les rendements observés 𝑅𝑅𝑡𝑡∗ (smoothed) de l’indice sont en fait un lissage exponentiel des rendements réels 𝑅𝑅𝑡𝑡 qui n’ont pas été observés (unsmoothed).
𝑅𝑅𝑡𝑡∗= 𝜙𝜙𝑅𝑅𝑡𝑡+ 𝜙𝜙(1 − 𝜙𝜙)𝑅𝑅𝑡𝑡−1+ 𝜙𝜙(1 − 𝜙𝜙)2𝑅𝑅𝑡𝑡−2+ ⋯ (18) L’auteur remplace ensuite la moyenne mobile infinie MA(∞) par le processus autorégressif d’ordre 1. Cette opération transforme ainsi le modèle de lissage exponentiel en modèle Exponentially Weighted Moving Average (EWMA), tout comme l’ont fait Riskmetrics (1995) que nous couvrirons plus loin.
𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙𝑅𝑅𝑡𝑡+ (1 − 𝜙𝜙)𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ (19) Il faut comprendre que le modèle AR(1) de 𝑅𝑅𝑡𝑡∗ s’écrit selon :
𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝛼𝛼𝑅𝑅
𝑡𝑡−1∗ + 𝜐𝜐𝑡𝑡 où 𝜐𝜐𝑡𝑡= (1 − 𝛼𝛼) 𝑅𝑅𝑡𝑡 (20) En effet, le terme d’erreur aléatoire 𝜀𝜀𝑡𝑡~𝑁𝑁(0,1) qui fait normalement partie du modèle est supposé nul dans ce contexte étant donné que les erreurs aléatoires engendrées par les propriétés individuelles sont complètement diversifiées dans l’indice. De cette manière, le terme restant 𝜐𝜐𝑡𝑡 correspond uniquement à la portion qui n’a pas été expliquée par 𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ , c’est-à-dire la portion expliquée par le rendement réel non observé (unsmoothed) au temps t (𝑅𝑅𝑡𝑡). En effet, puisque l’on suppose que 𝑅𝑅𝑡𝑡∗ ne peut pas être expliqué par autre chose que 𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ et 𝑅𝑅𝑡𝑡 selon 𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙𝑅𝑅𝑡𝑡+ (1 − 𝜙𝜙)𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ , alors :
𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝜙𝜙𝑅𝑅𝑡𝑡+ (1 − 𝜙𝜙)𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ = 𝛼𝛼𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ + 𝜐𝜐𝑡𝑡 (151)
𝜐𝜐𝑡𝑡 = 𝜙𝜙𝑅𝑅𝑡𝑡 et (1 − 𝜙𝜙) = 𝛼𝛼 ↔ (1 − 𝛼𝛼) = 𝜙𝜙 (162) Suite à cela, l’auteur isole le rendement non lissé 𝑅𝑅𝑡𝑡
𝑅𝑅𝑡𝑡= (𝑅𝑅𝑡𝑡 ∗− (1 − 𝜙𝜙) ∗ 𝑅𝑅 𝑡𝑡−1∗ ) 𝜙𝜙 (173) Ce qui équivaut à : 𝑅𝑅𝑡𝑡 =(𝑅𝑅𝑡𝑡∗(1 − 𝛼𝛼)− 𝛼𝛼 ∗ 𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ ) (184) Geltner (1993) indique qu’un coefficient 𝜙𝜙 de 0,4 est la valeur qui minimise les erreurs au carré modèle. Il est important de délisser les données provenant d’indices immobiliers avant d’effectuer des régressions sur ces données. Omettre cette étape ferait en sorte que la volatilité de l’indice serait sous-évaluée par rapport à la réalité. À propos du processus de délissage de l’indice basé sur l’évaluation (appraisal-based index), Geltner (1993) indique que les rendements de l’indice délissé affichent une volatilité annuelle environ deux fois plus élevée que les rendements de l’indice non ajusté. De plus, l’auteur indique que le délissage élimine une grande partie de l’autocorrélation positive présente dans les rendements de l’indice.
Plusieurs autres méthodes de délissage d’indices immobiliers ont été développées au cours des dernières années dans la littérature financière et immobilière. Cependant, ces méthodes plus complexes dépassent largement les objectifs de la recherche et ne seront pas couvertes dans le cadre du présent mémoire.
Afin de délisser convenablement notre série de Yield immobiliers, nous estimons premièrement le coefficient 𝛼𝛼 à partir du modèle AR(1) suivant :
𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝛼𝛼𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ + 𝜈𝜈𝑡𝑡 (195) Nous utilisons ensuite le modèle de délissage utilisé par l’auteur, soit
𝑅𝑅𝑡𝑡∗ = 𝛼𝛼𝑅𝑅𝑡𝑡−1∗ + (1 − 𝛼𝛼)𝑅𝑅𝑡𝑡 ↔ 𝑅𝑅𝑡𝑡= (𝑅𝑅𝑡𝑡
∗− 𝛼𝛼 ∗ 𝑅𝑅 𝑡𝑡−1∗ )
(1 − 𝛼𝛼) (206)
Une fois que les Yield sont délissés (unsmoothed), il est possible de déterminer la série chronologique des primes de risque immobilières du marché britannique en soustrayant le taux sans risque au Yield délissé, soit :
𝜋𝜋𝑡𝑡= 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑟𝑟𝑌𝑌𝑑𝑑𝑡𝑡− 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡 (27) Bien que cette méthode ne soit que très peu couverte dans la littérature, elle demeure largement utilisée dans la pratique.
5.4.4 Variation de l’IPC
La variation de l’IPC se calcule comme suit :
∆IPC𝑡𝑡 = IPC𝑡𝑡− IPC𝑡𝑡−1 (218)
5.4.5 Prime de risque de marché (Ri-Rf)
Afin d’obtenir la série de primes de risque de marché, il faut d’abord calculer les rendements mensuels des indices boursiers pour ensuite soustraire ces rendements aux taux sans risque.
Le rendement mensuel de l’indice se calcule selon : 𝑟𝑟𝑖𝑖 =𝑃𝑃𝑅𝑅𝑃𝑃− 𝑃𝑃𝑖𝑖
𝑖𝑖 (29)
Où𝑃𝑃𝑅𝑅 correspond au niveau de l’indice au mois t et 𝑃𝑃𝑖𝑖 correspond au niveau de l’indice au mois t-1.
Une fois les rendements calculés, il faut les soustraire aux taux sans risque correspondant au bon marché géographique et à la bonne période selon :
𝑅𝑅𝐸𝐸𝑇𝑇𝑌𝑌𝑟𝑟𝑦𝑦 𝑟𝑟𝑌𝑌𝑅𝑅𝑘𝑘 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚𝑌𝑌𝑇𝑇𝑚𝑚 = 𝑟𝑟𝑖𝑖 − 𝑟𝑟𝑅𝑅 (30)
5.4.6 Variation de l’indice du prix des maisons
La variation de l’indice du prix des maisons se calcule en effectuant la différence entre le niveau de l’indice au temps t et le niveau de l’indice au temps t-1.
5.4.7 Écart de crédit des obligations corporatives (Corp.-T)
L’écart de crédit se calcule en soustrayant les yield-to-maturity des obligations corporatives Investment-Grade (Corp.) aux taux des bons du Trésor 10 ans (T):
𝐹𝐹𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑌𝑌𝑟𝑟 𝐶𝐶𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚𝑌𝑌𝑇𝑇𝑚𝑚 = 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶. 𝑦𝑦𝑌𝑌𝑟𝑟𝑌𝑌𝑑𝑑 − 𝑅𝑅 (221) 5.4.8 Variance de l’indice REITs
À l’aide des données journalières des indices REITs, nous sommes en mesure d’estimer les variances mensuelles des indices REITs. Nous calculons d’abord les rendements journaliers selon :
𝑟𝑟𝑗𝑗 =𝑃𝑃𝑅𝑅𝑃𝑃− 𝑃𝑃𝑖𝑖
𝑖𝑖 (232)
Une fois les rendements journaliers calculés, nous pouvons calculer les variances mensuelles selon :
𝜎𝜎�𝑖𝑖2 = ��𝑟𝑟𝑗𝑗,𝑡𝑡− 𝑟𝑟̅𝑚𝑚𝑃𝑃𝑛𝑛𝐸𝐸.�2 𝑁𝑁𝑡𝑡
𝑡𝑡=1
(243) Où 𝑟𝑟̅𝑚𝑚𝑃𝑃𝑛𝑛𝐸𝐸. correspond à la moyenne des rendements journaliers du mois i.