1. Taux de croissance des flux monétaires (𝑔𝑔̅)
Le taux de croissance moyen des loyers, qui est une moyenne de l’ensemble des taux de croissance des loyers d’un même marché, peut être modélisé économétriquement. Bien qu’ils n’estiment pas directement le taux de croissance, McGough et Tsolacos (1995) développent un modèle de prévision ARIMA pour le niveau des loyers. Les auteurs concluent que les loyers d’immeubles commerciaux (retail) sont fortement liés à leurs valeurs passées alors que les loyers d’immeubles industriels et à bureaux sont plutôt liés aux variations de l’offre et la demande. Tsolacos, Keogh et McGough (1998) modélisent la variation des loyers d’immeubles à bureaux au Royaume-Uni en incluant trois variables, soit les variations passées (lagged) du PIB, du niveau d’emploi du secteur financier et du volume de nouveaux immeubles dans le marché. Les auteurs concluent que les changements dans les conditions économiques générales et les tendances dans le niveau d’emploi du secteur financier sont déterminants dans les variations des loyers réels d’immeubles à bureaux.
2. Indice du prix des maisons
Pour ce qui est du prix des maisons, Crawford et Fratantoni (2003) utilisent des modèles ARIMA, GARCH et des modèles de changement de régime (regime-switching model) en contexte univarié pour effectuer des prévisions sur les taux de croissance des prix des maisons en Californie, Floride, Massachusetts, Ohio et au Texas de janvier 1979 à avril 2001. Les auteurs concluent que les modèles de changement de régime performent mieux pour les prévisions à l’intérieur de l’échantillon (in-sample forecasting) alors que les modèles ARIMA et GARCH performent mieux pour les prévisions à l’extérieur de l’échantillon (out-of-sample forecasting). Finalement, les auteurs mentionnent que même si les modèles de changement de régime sont utiles pour modéliser la volatilité des prix des maisons, des modèles plus simples sont plus appropriés pour effectuer des prévisions. Similairement, Zietz et Traian (2014) effectuent des prévisions en contexte univarié à partir des données des indices mensuels Standard and Poor’s Case-Shiller Home Price index pour dix grandes villes américaines. Les auteurs utilisent les modèles de changement de régime de Markov (Markov Switching Model), les modèles ARIMA et les modèles structurels de séries temporelles (Structural time series model). Bien que les Structural time series model semblent être les modèles les plus prometteurs, les auteurs mentionnent que les Markov Switching model et les modèles ARIMA ont également été capables de prévoir une correction négative imminente du marché immobilier dès l’été 2006.
3. Taux sans risque
Pour le taux sans risque, les modèles dynamiques de prévision des taux d’intérêt ont, en général, deux composantes : un terme de tendance et un terme aléatoire. Le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985), ci-après nommé CIR, implique un retour vers la moyenne à long terme. En effet, le terme de tendance du modèle fait en sorte que les taux d’intérêt
diminuent sur le long terme lorsqu’ils sont au-dessus du taux d’équilibre, et augmentent sur le long terme lorsqu’ils sont en dessous du taux d’équilibre. Le modèle se formule comme suit :
𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡= 𝜅𝜅(𝜃𝜃 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑟𝑟 + 𝜎𝜎�𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡
Où 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡 est l’incrément dans le taux d’intérêt à court terme au temps t, 𝜅𝜅 est la vitesse de retour vers la moyenne (constante positive), 𝜃𝜃 est le taux d’équilibre à long terme (constant), 𝜎𝜎 est la volatilité du taux d’intérêt et 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 est un processus aléatoire de Wiener. Contrairement aux autres modèles de prévision des taux d’intérêt, le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) est conçu de façon à empêcher que les taux d’intérêt simulés deviennent négatifs. En effet, tant et aussi longtemps que la contrainte :
2𝜅𝜅𝜃𝜃 ≥ 𝜎𝜎2
est respectée, le modèle CIR est bien défini et le tirage de taux d’intérêt simulés négatifs est impossible. De plus, le facteur �𝑟𝑟𝑡𝑡 qui multiplie 𝜎𝜎 dans le terme aléatoire de la formule fait en sorte que le processus de simulation s’arrête lorsque 𝑟𝑟𝑡𝑡 atteint une valeur inférieure à zéro, ce qui est possible uniquement lorsque contrainte n’est pas respectée (2𝜅𝜅𝜃𝜃 ≱ 𝜎𝜎2). En effet, le modèle CIR sert à simuler un taux d’intérêt sur plusieurs périodes consécutives, soit la simulation de trajectoires. Cette simulation est itérative, c’est-à-dire qu’à chaque temps t, la sortie de la simulation précédente (t-1) est utilisée pour estimer la sortie de la prochaine simulation (t). Ainsi, lorsque 𝑟𝑟𝑡𝑡 atteint une valeur inférieure à zéro, la simulation s’arrête dès l’itération suivante, puisque le taux 𝑟𝑟𝑡𝑡−1 situé sous la racine carrée est négatif, rendant le tirage du taux de la période suivante impossible à estimer (à moins d’utiliser les nombres complexes). Le facteur �𝑟𝑟𝑡𝑡 a une double utilité, puisqu’il permet également à la volatilité d’augmenter lorsque les taux d’intérêt deviennent plus élevés.
Zeytun et Gupta (2007) effectuent une analyse comparative du modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) et du modèle de Vasicek (1977) pour les taux d’intérêt à court terme (sans risque) et concluent que bien que les deux modèles réagissent similairement aux changements dans les paramètres, une forte volatilité pouvait engendrer des taux d’intérêt négatifs avec le modèle de Vasicek ce qui n’est pas le cas avec le modèle CIR.
4. Taux de change
En ce qui concerne le taux de change, Lothian et Taylor (1996) analysent les données historiques de 1791-1990 pour le USD/GBP et de 1803-1990 pour le Franc/GBP et constatent que les deux séries affichent un phénomène de retour vers la moyenne. Les auteurs concluent que les modèles de prévision stationnaires, univariés et comprenant un processus autorégressif AR(1) expliquent environ 80 % de la variation dans le USD/GBP et 60% de la variation dans le Franc/GBP. Znaczko (2013) tente d’identifier le meilleur modèle de prévision pour trois taux de change, soit le CAD/USD, le JPY/USD et le GBP/USD. L’auteur utilise les modèles de lissage exponentiel, de moyenne mobile MA(1),
de marche aléatoire, ainsi que deux modèles de régression multiple incluant, entre autres, le PIB ainsi que l’indice des prix à la consommation (IPC). L’auteur conclut que la moyenne mobile est le meilleur modèle de prévision pour deux des trois taux de change étudiés et que les meilleurs indicateurs de la valeur future du taux de change demeurent les valeurs de taux de change actuelles et passées.
5. Prix des actifs immobiliers
Certains auteurs ont identifié des facteurs de risque immobilier sans toutefois modéliser les taux de capitalisation. En effet, puisque les taux de capitalisation affectent directement les prix des actifs immobiliers, certains auteurs ont plutôt tenté de modéliser directement ces prix. Plakandaras et al. (2015) modélisent les prix des maisons aux États-Unis en utilisant 11 variables macroéconomiques : le prix réel des maisons, une variable de la politique fiscale américaine, le PIB réel par habitant, le taux de chômage, le taux d’intérêt à long terme, le taux d’intérêt à court terme, le taux d’inflation, la population, les coûts réels de construction, le prix réel des actions et le prix réel du pétrole. Les auteurs concluent que leur modèle peut être utilisé comme instrument politique afin de déterminer à quelle phase du cycle immobilier se trouvent les maisons dans l’économie américaine, ce qui en fait un bon outil de prévision du prix des actifs.
6. Rendement des actifs immobiliers
D’autres auteurs, en revanche, ont plutôt choisi d’établir les facteurs de risque en fonction du rendement lié aux investissements immobiliers. Le risque n’est donc plus lié directement ou indirectement aux prix des actifs, mais bien aux rendements générés par ceux-ci. Ling et Naranjo (1997) modélisent les rendements immobiliers en fonction de 11 variables macroéconomiques, soit : le portefeuille de marché (portefeuille pondéré par la capitalisation boursière des indices NYSE, AMEX et NASDAQ), la prime de défaut des obligations corporatives (écart entre le yield-to-maturity des obligations corporatives cotées Baa et des bons du Trésor à long terme), le taux de croissance de la consommation réelle par habitant, le taux réel des Bons du Trésor 3 mois, la prime de la structure à terme des taux d’intérêt (écart entre les taux des Bons du Trésor 10 ans et 3 mois), le taux de croissance de la production industrielle, l’inflation non anticipée, la variation de l’inflation anticipée, le rendement en dividende (dividend yield) des actions, le rendement des revenus immobiliers (basés sur l’indice NCREIF) et la taille des marchés (logarithme de la capitalisation boursière des indices NYSE, AMEX et NASDAQ). Les auteurs constatent que parmi ces variables, il y en a quatre qui sont des facteurs fondamentaux affectant systématiquement les rendements immobiliers : le taux de croissance de la consommation réelle par habitant, le taux réel des Bons du Trésor 3 mois, la prime de la structure à terme des taux d’intérêt et l’inflation non anticipée.
7. Taux de capitalisation
Quelques auteurs ont tenté d’élaborer des modèles d’estimation des taux de capitalisation. Certains ont tenté de les estimer en basant leur modèle sur des modèles théoriques d’évaluation d’actifs provenant de la littérature financière comme le coût moyen pondéré
du capital (WACC), le Capital Asset Pricing Model (CAPM) introduit par Sharpe (1964), Lintner (1965), Mossin (1966), et le Three-factor model introduit par Fama et French (1996), pour n’en nommer que quelques-uns.
Evans (1990) modélise les taux de capitalisation d’immeubles multifamiliaux et d’immeubles non résidentiels américains à partir du ratio bénéfice sur cours (earnings/price ratio) tiré du marché boursier américain. L’auteur utilise un modèle ARIMA, et constate que les taux de capitalisation sont sensibles au ratio, malgré un décalage (lag) d’un trimestre. Jud et Winkler (1995) développent un modèle d’estimation du taux de capitalisation en excès par rapport au taux sans risque basé sur les modèles WACC et CAPM. Les auteurs modélisent le taux de capitalisation en excès en fonction de la prime de dette risquée (debt spread), de la prime de marché (equity spread) et de la variable structurelle propre à chaque région métropolitaine statistique (MSA) du pays. La prime de dette risquée correspond au taux des obligations corporatives BAA moins le taux sans risque et la prime de marché correspond aux rendements du S&P 500 moins le taux sans risque. Les variables structurelles servent à capturer les différences entre les niveaux de taux de capitalisation pour les 21 régions métropolitaines statistiques. Les auteurs constatent que les taux de capitalisation en excès répondent bien aux deux primes. Ils remarquent cependant un certain décalage (lag) dans l’ajustement des taux de capitalisation en excès suite aux changements dans les primes. Hendershott et MacGregor (2005) se basent sur le CAPM en introduisant un modèle à correction d’erreurs (ECM) qui lie le taux de capitalisation au taux de croissance réel (espéré) des loyers futurs (expected future real rental growth) et à deux variables tirées du marché boursier, soit le ratio dividende sur prix (current dividend/price ratio) et le taux de croissance réel (espéré) des dividendes (expected future real dividend growth). En effectuant ces estimations sur le marché du Royaume-Uni, les auteurs constatent que leurs résultats sont cohérents avec les anticipations rationnelles de retour vers la moyenne. Par exemple, lorsque les dividendes réels sont au-dessus de la moyenne à long terme, les investisseurs anticipent une baisse des dividendes réels, ce qui rendrait les actifs immobiliers plus attrayants ce qui, en fin de compte, ferait baisser les taux de capitalisation. McDonald et Dermisi (2009) se basent également sur le CAPM, mais introduisent une panoplie de facteurs intimement liés à l’immobilier, dont certains sont macroéconomiques alors que d’autres sont plutôt microéconomiques. À partir d’une base de données sur 132 transactions immobilières ayant eu lieu au centre-ville de Chicago entre 1996 et 2007, les auteurs se basent sur le modèle de Jud et Winkler (1995), et y ajoutent les facteurs spécifiques suivants : la qualité de l’immeuble (Class), l’âge ainsi qu’une variable binaire distinguant les immeubles ayant été rénovés. De plus, les auteurs ajoutent deux variables de changements du marché immobilier, soit la variation du taux de vacances et la variation du taux d’emploi du secteur financier.
D’autres auteurs ont également tenté de modéliser les taux de capitalisation à l’aide de régressions multiples, dont les variables explicatives ne sont plus exclusivement macroéconomiques, sans toutefois se baser sur les modèles classiques d’évaluation des
actifs financiers mentionnés précédemment. Sivitanides et al. (2001) utilisent des variables macroéconomiques et des variables liées aux marchés locaux dans l’estimation des taux de capitalisation moyens de quatre types de propriétés à travers 14 régions métropolitaines des États-Unis sur une période de 16 ans. Les variables macroéconomiques comprennent le taux d’intérêt (taux des Bons du Trésor américains 10 ans) et l’inflation annuelle. Les variables liées aux marchés locaux, quant à elles, comprennent les niveaux des loyers par région métropolitaine, la variation annuelle de ces niveaux ainsi qu’une variable structurelle propre à chaque région métropolitaine. Leur régression se fait à partir du logarithme des taux de capitalisation annuels, dont le premier décalage (first lag) est également une variable explicative de la régression, ce qui en fait un modèle avec spécification AR(1). Les auteurs concluent que l’évolution des taux de capitalisation dans les marchés spécifiques n’est pas seulement influencée par les facteurs locaux, mais également par les facteurs nationaux, et que les mouvements dans les taux de capitalisation peuvent être modélisés adéquatement à l’aide d’indicateurs des marchés locaux et à l’aide de prévisions du taux d’intérêt et du taux d’inflation. Elliehausen et Nichols (2012) effectuent des régressions multiples sur les taux de capitalisation en se basant sur un échantillon de 8000 taux de capitalisation d’immeubles à bureaux entre 2001 et 2009. Les auteurs utilisent différentes variables explicatives comme des variables macroéconomiques, des variables microéconomiques, une variable sur le type d’acheteur, une variable sur le type de financement, des variables sur les conditions du marché local et des variables binaires propres à chaque région métropolitaine. Les variables macroéconomiques sont : le taux des Bons du trésor américain 10 ans, les taux de rendement des obligations corporatives cotées AAA, la variation de l’IPC annuel, la variation de l’indice S&P500, la variation de l’indice des prix des maisons et l’écart entre le rendement exigé (yield-to-maturity) des obligations corporatives Baa et celui des obligations corporatives Aaa. Les variables microéconomiques sont des caractéristiques propres aux immeubles, soit : l’emplacement au centre-ville de la région métropolitaine, la présence d’un terrain excédentaire, la surface (en pieds carrés), la présence de multiples locataires, le taux d’occupation, l’âge de l’immeuble ainsi qu’une variable binaire distinguant les immeubles ayant été rénovés. La variable sur le type d’acheteur permet de distinguer si l’acheteur est un institutionnel, un investisseur étranger, un investisseur public, un syndicat ou un utilisateur, alors que la variable sur le type de financement distingue le type de prêt ayant servi à l’acquisition de la propriété, soit un prêt en titrisation (CMBS) ou un autre type de prêt. Les variables sur les conditions du marché local sont : le taux de vacances, le taux de croissance des loyers, l’offre d’espace de même que l’absorption nette du marché. Finalement, les auteurs incluent une variable binaire propre à chaque région métropolitaine. Les auteurs constatent que ce sont les variables macroéconomiques et les variables des conditions du marché local qui expliquent la plus grande partie des variations du taux de capitalisation. Par exemple, au niveau macroéconomique, une hausse des taux des Bons du trésor 10 ans entraîne la baisse des taux de capitalisation, ce qui hausse les prix des actifs. Cependant, lorsque les taux de rendement exigés (yield-to-maturity) des obligations corporatives, les prix des maisons, les
prix des actions et les primes de risque de marché augmentent, les taux de capitalisation ont plutôt tendance à augmenter, ce qui fait baisser les prix des actifs. Similairement à Elliehausen et Nichols (2012), Peng (2013) modélise le taux de capitalisation à partir de plusieurs variables explicatives différentes, soit des variables macroéconomiques, des variables propres aux conditions du marché et des variables spécifiques à l’immeuble. En utilisant 10000 taux de capitalisation issus de transactions d’immeubles résidentiels, commerciaux, industriels et à bureaux aux États-Unis entre 1980 et 2012, l’auteur constate que les variables binaires (fixed effects) des régions métropolitaines statistiques et les variables macroéconomiques, plus particulièrement l’offre de crédit disponible aux investisseurs (à partir du développement des CMBS), la performance ajustée au risque de l’investissement immobilier par le passé (à partir de l’Alpha de Jensen), l’appréciation décalée (lagged appreciation) de l’indice des prix des maisons et les dépenses en construction non résidentielle, sont les variables ayant le plus grand pouvoir explicatif du taux de capitalisation.
8. Taux de rendement exigé
Au lieu de modéliser les taux de capitalisation, certains auteurs ont plutôt choisi de modéliser le taux de rendement exigé (𝑘𝑘). Par exemple, Hoesli, Jani et Bender (2005) utilisent le modèle dynamique CIR pour simuler le taux d’intérêt à chaque période et y ajoutent deux primes de risque liées à l’immobilier afin d’estimer le taux de rendement exigé. La première correspond au risque lié à la classe d’actifs immobiliers en général, tandis que la deuxième correspond à une fonction linéaire des caractéristiques hédoniques de l’immeuble, soit la localisation, la qualité de l’immeuble et l’âge du bâtiment. Certaines de ces caractéristiques seront également utilisées par McDonald et Dermisi (2008), qui modélisent également le taux de rendement exigé par l’investisseur. En utilisant la même base de données sur le centre-ville de Chicago que McDonald et Dermisi (2009), les auteurs modélisent le taux de rendement exigé à partir du taux de capitalisation, qui sera par la suite ajusté en ajoutant d’autres variables explicatives, soit : la qualité de l’immeuble, l’âge du bâtiment, une variable binaire distinguant les immeubles ayant été rénovés, la variation du taux de vacances et la variation du taux d’emplois dans le secteur financier.
9. Prime de risque immobilière
Peu d’auteurs ont tenté de modéliser la prime de risque liée à l’investissement immobilier. Shilling (2003) tente de déterminer si la prime de risque liée aux actifs immobiliers est prévisible et bien mesurée par le marché en utilisant les données d’un sondage sur les attentes des investisseurs depuis les quinze dernières années. L’auteur mentionne que les primes de risques espérées (ex ante) pour le marché immobilier sont relativement élevées par rapport à leur risque. Trop élevées d’ailleurs pour être pleinement expliquées par des modèles économiques standards. L’auteur mentionne également que les rendements espérés (ex ante) sont plus élevés que les rendements moyens réalisés, suggérant ainsi que l’utilisation de moyennes historiques pour estimer la prime de risque de l’immobilier peut être trompeuse.
Tel que mentionné précédemment, Hoesli, Jani et Bender (2005) modélisent deux primes de risque qui, une fois additionnées ensemble, donnent la prime de risque de l’immobilier : 𝑃𝑃 = 𝐶𝐶1+ 𝐶𝐶2. La prime 𝐶𝐶1 provient de la participation dans le marché des actifs immobiliers. Elle est modélisée par une loi normale tronquée avec une moyenne de 0.075%, un minimum de 0% et un maximum de 1.5%. La deuxième prime 𝐶𝐶2 correspond à un système de classement de l’immeuble utilisant des caractéristiques hédoniques immobilières :
𝑅𝑅𝑃𝑃 = 𝜔𝜔(𝑏𝑏𝑇𝑇𝑌𝑌𝑌𝑌𝑑𝑑𝑌𝑌𝑛𝑛𝑔𝑔 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑎𝑎𝑌𝑌𝑌𝑌𝑟𝑟𝑦𝑦) ∗ 𝑃𝑃(𝑏𝑏𝑇𝑇𝑌𝑌𝑌𝑌𝑑𝑑𝑌𝑌𝑛𝑛𝑔𝑔 𝐸𝐸𝑇𝑇𝑎𝑎𝑌𝑌𝑌𝑌𝑟𝑟𝑦𝑦) + 𝜔𝜔(𝑌𝑌𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟𝑌𝑌𝑜𝑜𝑛𝑛) ∗ 𝑃𝑃(𝑌𝑌𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟𝑌𝑌𝑜𝑜𝑛𝑛) + 𝜔𝜔(𝑎𝑎𝑔𝑔𝑟𝑟) ∗ 𝑃𝑃(𝑎𝑎𝑔𝑔𝑟𝑟)
Où 𝜔𝜔 est le poids et 𝑃𝑃 est le nombre de points attribués à la caractéristique. La prime 𝐶𝐶2 s’estime ainsi :
𝐶𝐶2 = (100 − 𝑅𝑅𝑃𝑃)/100
Cette prime se situe entre 0 et 1%. Ainsi, la prime de risque totale 𝑃𝑃 se situe entre 0 et 2.5%, ce qui, selon les auteurs, est conforme avec la prime de risque exigée pour l’investissement immobilier par les fonds de pension situés à Genève.
Hutchison et al. (2012) tentent de déterminer si les primes de risque immobilières commerciales (ex post) ont des moyennes stables dans leur processus de variation temporelle (time-varying framework) en utilisant un modèle de changement de régime de Markov. À partir des données de l’indice IPD UK Monthly Property Index, les auteurs développent un modèle de prime de risque incluant un processus AR(2), une variable binaire μ du changement de régime (période de contraction ou d’expansion) ainsi qu’une variable de probabilité transitionnelle de se trouver dans une période où la prime de risque est élevée (𝐶𝐶𝑟𝑟𝑜𝑜𝑏𝑏𝑡𝑡) :
𝐶𝐶𝑡𝑡 = 𝜇𝜇 + 𝜑𝜑1𝐶𝐶𝑡𝑡−1+ 𝜑𝜑2𝐶𝐶𝑡𝑡−2+ 𝛾𝛾𝐶𝐶𝑟𝑟𝑜𝑜𝑏𝑏𝑡𝑡+ 𝜀𝜀𝑡𝑡
Les auteurs concluent que même si les changements de régime ne semblent pas aussi pertinents dans l’immobilier commercial que dans les actions et les obligations, ils existent dans certains secteurs. De plus, ils expliquent que l’utilisation de moyennes simples pour