La distribution t de Student multivariée se distingue de la distribution normale multivariée non seulement par la nature des distributions marginales qui la compose, mais également par la méthodologie nécessaire à son application dans un contexte de simulations Monte- Carlo multivariées.
Au niveau de la distribution normale multivariée, les distributions marginales qui composent la distribution correspondent à des lois normales centrées réduites de moyenne 0 et de variance 1 (𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡~𝑁𝑁(0,1)). La variance unitaire de ces distributions marginales facilite grandement la modélisation en contexte multivarié. En effet, pour simuler les termes aléatoires de chacune des n variables, il est nécessaire d’effectuer une mise à l’échelle afin de simuler des termes aléatoires (𝜎𝜎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡) où 𝜎𝜎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡~𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎2). Tout comme l’a indiqué Cassidy (2016), cette mise à l’échelle s’effectue en estimant la matrice [𝑀𝑀], décomposée à partir de la matrice d’échelle (scale matrix) [Σ𝐸𝐸] à l’aide de la décomposition de Cholesky, puis en la multipliant par le vecteur nx1 des nombres aléatoires 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡.
[Σ𝐸𝐸] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑚𝑚21,1 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚2,1 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚3,1 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚4,1 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚2,1 𝑚𝑚22,1+ 𝑚𝑚22,2 𝑚𝑚2,1𝑚𝑚3,1+ 𝑚𝑚2,2𝑚𝑚3,2 𝑚𝑚2,1𝑚𝑚4,1+ 𝑚𝑚2,2𝑚𝑚4,2 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚3,1 𝑚𝑚2,1𝑚𝑚3,1+ 𝑚𝑚2,2𝑚𝑚3,2 𝑚𝑚23,1+ 𝑚𝑚23,2+ 𝑚𝑚23,3 𝑚𝑚3,1𝑚𝑚4,1+ 𝑚𝑚3,2𝑚𝑚4,2+ 𝑚𝑚3,3𝑚𝑚4,3 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚4,1 𝑚𝑚2,1𝑚𝑚4,1+ 𝑚𝑚2,2𝑚𝑚4,2 𝑚𝑚3,1𝑚𝑚4,1+ 𝑚𝑚3,2𝑚𝑚4,2+ 𝑚𝑚3,3𝑚𝑚4,3 𝑚𝑚24,1+𝑚𝑚24,2+ 𝑚𝑚24,3+𝑚𝑚24,4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ [𝑀𝑀] = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑚𝑚2,1𝑚𝑚1,1 𝑚𝑚2,20 00 00 𝑚𝑚3,1 𝑚𝑚3,2 𝑚𝑚3,3 0 𝑚𝑚4,1 𝑚𝑚4,2 𝑚𝑚4,3 𝑚𝑚4,4⎦ ⎥ ⎥ ⎤ [𝑀𝑀]𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛[𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡]𝑛𝑛𝑥𝑥1 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑚𝑚𝑚𝑚1,1 0 0 0 2,1 𝑚𝑚2,2 0 0 𝑚𝑚3,1 𝑚𝑚3,2 𝑚𝑚3,3 0 𝑚𝑚4,1 𝑚𝑚4,2 𝑚𝑚4,3 𝑚𝑚4,4⎦⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡⎦⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡𝜎𝜎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝜎𝜎 𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡 𝜎𝜎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑖𝑖,𝑡𝑡⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑛𝑛𝑥𝑥1
Dans le cas de la distribution normale multivariée, les facteurs de mise à l’échelle 𝛽𝛽𝑖𝑖 (scaling factors) de chacune des n variables qui composent la matrice [𝑀𝑀] correspondent directement aux écarts-types des résidus de chacune des n variables.
𝛽𝛽𝑖𝑖 = �𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑖𝑖� = 𝜎𝜎𝑖𝑖
Ainsi, la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸] est égale à la matrice variance-covariance de nos résidus standardisés [Σ].
[Σ] = [Σ𝐸𝐸] = [𝑀𝑀][𝑀𝑀]𝑇𝑇
Il s’agit d’une propriété de la distribution normale multivariée qui n’est pas partagée par toutes les distributions de probabilités multivariées et qui facilite grandement la modélisation du modèle de simulation Monte-Carlo multivariée.
En ce qui concerne la distribution t de Student multivariée, la modélisation est un peu plus complexe.
Il faut comprendre que les distributions marginales qui composent la distribution t de Student multivariée correspondent à des lois t de Student de moyenne 0 et de variance 𝐺𝐺−2𝐺𝐺 (𝜖𝜖𝑡𝑡~𝑟𝑟𝐺𝐺(0,𝐺𝐺−2𝐺𝐺 )), où 𝑣𝑣 correspond au nombre de degrés de liberté de la loi t de Student. Il est nécessaire d’effectuer une mise à l’échelle afin de simuler des termes aléatoires (𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡) où 𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡~𝑟𝑟𝐺𝐺(0, 𝜎𝜎2). Tout comme c’est le cas avec la distribution normale multivariée, cette mise à l’échelle s’effectue en estimant la matrice (M), décomposée à partir de la matrice d’échelle (scale matrix) [Σ𝐸𝐸] à l’aide de la décomposition de Cholesky, puis en la multipliant par le vecteur nx1 des nombres aléatoires 𝜖𝜖𝑡𝑡. Cependant, la variance des distributions marginales de la t de Student multivariée n’est pas égale à 1 comme c’est le cas avec la normale multivariée.
Cela fait en sorte que les facteurs de mise à l’échelle 𝛽𝛽𝑖𝑖 (scaling factors) de chacune des n variables qui composent la matrice [𝑀𝑀] ne correspondent pas aux écarts-types des résidus de chacune des n variables,
𝛽𝛽𝑖𝑖 = �𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑖𝑖� ≠ 𝜎𝜎𝑖𝑖
et que la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸] n’est pas égale à la matrice variance-covariance de nos résidus [Σ].
[𝐿𝐿][𝐿𝐿]𝑇𝑇 = [Σ] ≠ [Σ
𝐸𝐸] = [𝑀𝑀][𝑀𝑀]𝑇𝑇
Il est donc nécessaire d’estimer la matrice d’échelle (scale matrix) [Σ𝐸𝐸] propre à la t de Student multivariée pour ensuite la décomposer au sens de Cholesky afin d’obtenir la matrice [𝑀𝑀]. C’est cette matrice [𝑀𝑀] qui devra multiplier le vecteur nx1 des nombres aléatoires 𝜖𝜖𝑡𝑡 afin que les termes aléatoires 𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡 suivent bel et bien une t de Student de moyenne 0 et de variance 𝜎𝜎2 (𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡~𝑟𝑟𝐺𝐺(0, 𝜎𝜎2)).
Ignorer cette étape en utilisant directement la matrice [𝐿𝐿], soit la décomposition de Cholesky de la matrice variance-covariance des résidus standardisés [Σ], ferait en sorte que les liens de dépendance entre les résidus du modèle seraient mal spécifiés et que les termes aléatoires 𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡 ne suivraient pas une t de Student de variance 𝜎𝜎2.
𝜎𝜎𝜖𝜖𝑡𝑡 ≁ 𝑟𝑟𝐺𝐺(0, 𝜎𝜎2)
Puisque la loi t de Student a une moyenne de 0 et une variance de 𝐺𝐺−2𝐺𝐺 , il est nécessaire d’associer chaque composante 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑖𝑖2 de la matrice [Σ]31 à la variance 𝐺𝐺𝑗𝑗𝐺𝐺−2𝑗𝑗 qui lui correspond afin de calculer les variances de chacune des n variables, et il est nécessaire d’associer
31 Nous conservons la notation 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑗𝑗 utilisée plus haut dans la présentation de la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸] de la normale multivariée. Le lecteur doit comprendre que pour la normale multivariée, [Σ𝐸𝐸] = [Σ], et il doit comprendre que dans le contexte de la t de Student multivariée, les notations 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑗𝑗 correspondent en fait aux composantes de la matrice L. Le lecteur doit également comprendre que les sommes des produits de 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑗𝑗 et
𝐺𝐺𝑘𝑘
chaque composante 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑘𝑘𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑘𝑘 de la matrice [Σ] à la variance 𝐺𝐺𝑘𝑘𝐺𝐺−2𝑘𝑘 qui lui correspond afin de calculer les covariances entre chacune des n variables. Voyons quelques exemples.
Pour calculer la variance mise à l’échelle (scaled) correspondant à l’élément situé à la première ligne et à la première colonne (1,1) de la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸], il est nécessaire de multiplier la composante 𝑚𝑚1,12 apparaissant à l’élément (1,1) de la matrice variance- covariance [Σ] par la variance 𝐺𝐺1
𝐺𝐺1−2 qui lui correspond. Ainsi, l’élément (1,1) de la matrice
[Σ𝐸𝐸], se calcule selon :
Ε{𝑦𝑦12} =𝑣𝑣1𝑣𝑣− 2 × 𝑚𝑚1 1,12
Pour calculer la variance mise à l’échelle (scaled) correspondant à l’élément situé à la quatrième ligne et à la quatrième colonne (4,4) de la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸], il est nécessaire de multiplier chaque composante de la somme 𝑚𝑚4,12 +𝑚𝑚24,2+𝑚𝑚24,3+𝑚𝑚24,4 apparaissant à l’élément (4,4) de la matrice variance-covariance [Σ] par les variances 𝐺𝐺𝑗𝑗
𝐺𝐺𝑗𝑗−2 qui leur correspondent. Ainsi, l’élément (4,4) de la matrice [Σ𝐸𝐸] se calcule à partir de la somme des produits suivante : Ε{𝑦𝑦42} =𝑣𝑣 𝑣𝑣1 1 − 2 × 𝑚𝑚4,1 2 + 𝑣𝑣2 𝑣𝑣2− 2 × 𝑚𝑚4,2 2 + 𝑣𝑣3 𝑣𝑣3− 2 × 𝑚𝑚4,3 2 + 𝑣𝑣4 𝑣𝑣4− 2 × 𝑚𝑚4,4 2
Pour calculer la covariance mise à l’échelle (scaled) correspondant à l’élément situé à la première ligne et à la troisième colonne (1,3) de la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸], il est nécessaire de multiplier la composante 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚3,1 apparaissant à l’élément (1,3) de la matrice variance- covariance [Σ] par la variance 𝐺𝐺1
𝐺𝐺1−2 qui lui correspond. Ainsi, l’élément (1,3) de la matrice
[Σ𝐸𝐸], se calcule selon :
Ε{𝑦𝑦1𝑦𝑦3} =𝑣𝑣 𝑣𝑣1
1− 2 × 𝑚𝑚1,1𝑚𝑚3,1
Pour calculer la covariance mise à l’échelle (scaled) correspondant à l’élément situé à la quatrième ligne et à la troisième colonne (4,3) de la matrice d’échelle [Σ𝐸𝐸], il est nécessaire
de multiplier chaque composante de la somme 𝑚𝑚3,1𝑚𝑚4,1+ 𝑚𝑚3,2𝑚𝑚4,2+ 𝑚𝑚3,3𝑚𝑚4,3 apparaissant à l’élément (4,3) de la matrice variance-
covariance [Σ] par les variances 𝐺𝐺𝑘𝑘
𝐺𝐺𝑘𝑘−2 qui leur correspondent. Ainsi, l’élément (4,3) de la
matrice [Σ𝐸𝐸], se calcule selon : Ε{𝑦𝑦3𝑦𝑦4} =𝑣𝑣 𝑣𝑣1 1− 2 × 𝑚𝑚3,1𝑚𝑚4,1+ 𝑣𝑣2 𝑣𝑣2− 2 × 𝑚𝑚3,2𝑚𝑚4,2+ 𝑣𝑣3 𝑣𝑣3− 2 × 𝑚𝑚3,3𝑚𝑚4,3
Nous pouvons exprimer ces équations en généralisant pour une matrice nxn, où la variance mise à l’échelle de la variable i correspond à :
Ε{𝑦𝑦𝑖𝑖2} = � 𝑣𝑣𝑗𝑗 𝑣𝑣𝑗𝑗 − 2 × 𝑖𝑖
𝑗𝑗=1
𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑗𝑗2
Et où la covariance mise à l’échelle entre les variables i et j correspond à :
Ε�𝑦𝑦𝑖𝑖𝑦𝑦𝑗𝑗� = � 𝑣𝑣𝑘𝑘𝑣𝑣− 2 ×𝑘𝑘 min (𝑖𝑖,𝑗𝑗)
𝑘𝑘=1
𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑘𝑘𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑘𝑘
Évidemment, les deux dernières équations correspondent à la situation où le nombre de degrés de liberté 𝑣𝑣𝑖𝑖 de chacune des distributions marginales qui composent la t de Student multivariée est différent pour toutes les n variables.
Dans la situation où le nombre de degrés de liberté 𝑣𝑣𝑖𝑖 de chacune des distributions marginales qui composent la t de Student multivariée est identique pour toutes les n variables (𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑣𝑣 ), les calculs à effectuer demeurent les mêmes outre le fait que 𝑣𝑣𝑖𝑖 correspond toujours à 𝑣𝑣. Dans ce contexte, la variance mise à l’échelle de la variable i correspond à :
Ε{𝑦𝑦𝑖𝑖2} = �𝑣𝑣 − 2 ×𝑣𝑣 𝑖𝑖
𝑗𝑗=1
𝑚𝑚𝑗𝑗,𝑗𝑗2
Et la covariance mise à l’échelle entre les variables i et j correspond à :
Ε�𝑦𝑦𝑖𝑖𝑦𝑦𝑗𝑗� = � 𝑣𝑣 − 2 ×𝑣𝑣 min (𝑖𝑖,𝑗𝑗)
𝑘𝑘=1