Afin de simuler les différentes variables macroéconomiques sous étude, nous devons effectuer les régressions qui servent à estimer les différents modèles de prévision.
5.3.1 Taux sans risque
Premièrement, pour le taux sans risque, soit le taux des bons du trésor 3 mois, nous devons effectuer la régression selon les paramètres du modèle de simulation de Cox, Ingersoll et Ross (1985) :
𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝜅𝜅(𝜃𝜃 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑟𝑟 + 𝜎𝜎�𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 (10) Ce processus, qui est une équation stochastique différentielle en temps continu, doit être converti en temps discret dans le but de simuler les taux d’intérêt mensuels. La méthodologie spécifique au modèle CIR est présentée à l’annexe 3.
Le modèle en temps discret s’exprime selon :
𝑟𝑟𝑡𝑡+∆𝑡𝑡− 𝑟𝑟𝑡𝑡 = 𝜅𝜅(𝜃𝜃 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)∆𝑡𝑡+ 𝜎𝜎�𝑟𝑟𝑡𝑡∆𝑡𝑡𝜀𝜀𝑡𝑡 (11)
Et la régression à effectuer afin d’estimer le paramètre 𝜅𝜅 correspond à :
puisqu’il y a présence de multicolinéarité dans le modèle (corrélation trop importante entre Corp. et Gov. 10 ans), nous avons été contraints de retirer l’une des variables dans la régression et avons choisi de retirer
�𝑟𝑟𝑡𝑡+∆𝑡𝑡− 𝑟𝑟𝑡𝑡
�𝑟𝑟𝑡𝑡 � = 𝜅𝜅 �
(𝜃𝜃 − 𝑟𝑟𝑡𝑡)
�𝑟𝑟𝑡𝑡 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (12)
Cette régression nous permet d’estimer notre coefficient de vitesse de retour à la moyenne κ et notre paramètre de volatilité (𝜎𝜎) qui est inséré dans le processus de diffusion.
Bien qu’il s’agisse d’un processus de diffusion où c’est la variable �𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡+∆𝑡𝑡−𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡
�𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡 � qui est
simulée, il faut savoir que c’est 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡+∆𝑡𝑡 qui est directement inséré dans le modèle
d’évaluation immobilière.
5.3.2 Taux de change
Deuxièmement, pour le taux de change, plusieurs modèles de prévision issus de la littérature sont présentés à la section 4 de l’annexe 1. Nous nous basons sur celui de Znaczko (2013) qui conclut que le processus de moyenne mobile MA(1) est le meilleur modèle de prévision pour deux des trois taux de change étudiés.
Cependant, afin de déterminer le meilleur modèle à appliquer dans nos simulations, nous devons tester les modèles ARMA(p,q) et ARIMA(p,d,q) pour différentes valeurs de p, d et q selon la méthode itérative de sélection des modèles de séries chronologiques établie par Box et Jenkins (1970).
5.3.3 Prime de risque immobilière (π)
Troisièmement, pour la prime de risque immobilière (π), le modèle de régression multiple est présenté à l’équation 9.
Le marché du Royaume-Uni est le seul marché géographique pour lequel nous avons accès à suffisamment de données mensuelles sur les Yield. Ainsi, nous devons baser notre modèle de la prime de risque immobilière sur les données du marché britannique. En effet, puisque nous n’avons pas accès aux Yield mensuels des autres marchés géographiques considérés, nous sommes contraints d’utiliser les facteurs de sensibilités estimés à partir des données britanniques pour prévoir la prime de risque immobilière (π) des autres marchés géographiques. Autrement dit, nous devons appliquer les facteurs de sensibilités britanniques aux variables macroéconomiques des autres marchés. Il s’agit d’une des limites liées aux données que nous ne sommes pas en mesure d’améliorer en raison d’un nombre insuffisant de données pour les Yield des autres marchés géographiques.
En vue de simuler avec incertitude la prime de risque immobilière (π), nous devons d’abord estimer les modèles de régression pour chacune des variables contenues dans le modèle de π. En effet, toutes les variables qui font partie du modèle de π sont individuellement simulées avec incertitude, à l’exception de la variation de l’indice du prix des maisons et de la variance des REITs. Les modèles de régression sélectionnés pour les différentes variables correspondent aux modèles qui, au meilleur de nos connaissances, font consensus dans la littérature ou sont les plus pertinents dans notre contexte.
5.3.3.1 Taux des obligations gouvernementales 10 ans (Gov. 10 ans)
Quatrièmement, en ce qui concerne les taux des obligations gouvernementales 10 ans, nous croyons que le modèle de Nelson et Siegel (1987) mentionné précédemment, quoique performant et largement utilisé dans la littérature, soit un modèle un peu trop complexe pour les fins du présent mémoire. En effet, puisqu’il ne nous est pas nécessaire de faire des prévisions sur l’ensemble de la structure à terme des taux d’intérêt, et que nous ne nous intéressons pas à effectuer les prévisions les plus précises, mais bien à étudier la dispersion dans nos simulations, nous n’utilisons pas ce modèle. Ainsi, les taux des obligations gouvernementales 10 ans sont eux aussi simulés à l’aide du modèle de Cox, Ingeroll et Ross (1985) que nous avons couvert précédemment.
Cependant, il faut savoir que les coefficients 𝜅𝜅, 𝜃𝜃 𝑟𝑟𝑟𝑟 𝜎𝜎 pour les taux du gouvernement 10 ans ne sont pas équivalents aux coefficients qui auront été préalablement estimés dans la régression du taux sans risque. En effet, il faut encore une fois estimer la moyenne à long terme (𝜃𝜃) pour ensuite régresser la variable des variations de taux �𝐸𝐸𝑡𝑡+∆𝑡𝑡−𝐸𝐸𝑡𝑡
�𝐸𝐸𝑡𝑡 � sur la variable
de l’écart entre la moyenne à long terme et le taux de la période t �𝜃𝜃−𝐸𝐸𝑡𝑡
�𝐸𝐸𝑡𝑡� afin d’estimer le
coefficient de vitesse de retour à la moyenne 𝜅𝜅.
�𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅𝑡𝑡+∆𝑡𝑡− 𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅𝑡𝑡
�𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅𝑡𝑡 � = 𝜅𝜅 �
(𝜃𝜃 − 𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅𝑡𝑡)
�𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅𝑡𝑡 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (13)
Bien que le modèle CIR soit souvent utilisé pour les taux à court terme (3 mois), et que son utilisation avec des taux à plus long terme comme les taux des obligations gouvernementales 10 ans entraîne des résultats légèrement moins précis, nous croyons qu’un tel modèle convient bien aux objectifs du mémoire.
5.3.3.2 Taux des obligations corporatives Investment-Grade (Corp.)
Cinquièmement, en ce qui concerne le rendement à l’échéance (yield-to-maturity) des obligations corporatives cotées Investment-Grade, bien que les modèles de prévision présentés dans la revue de littérature portant sur cette variable comprennent le modèle de Nelson et Siegel (1987), un modèle basé sur les anticipations des investisseurs ainsi que le modèle ARIMA, nous considérons que ces modèles sont trop complexes ou impertinents pour les fins du présent mémoire. En effet, nous considérons que le modèle CIR sera plus pertinent pour simuler les Corporate Investment-Grade Bond yields que le modèle ARIMA, et que même si ce modèle est surtout utilisé pour les taux sans risque, il est tout de même pertinent pour simuler les yield-to-maturity des obligations corporatives Investment-Grade, relativement peu risquées. Nous devons donc estimer la régression :
�𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶.𝑡𝑡+∆𝑡𝑡− 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶.𝑡𝑡
�𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶.𝑡𝑡 � = 𝜅𝜅 �
(𝜃𝜃 − 𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶.𝑡𝑡)
�𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶.𝑡𝑡 � + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (14) La même méthodologie présentée précédemment pour les taux sans risque et les taux du gouvernement 10 ans est également utilisée pour les taux des obligations corporatives Investment-Grade.
5.3.3.3 Variation de l’IPC (ΔIPC)
Sixièmement, pour ce qui est de la variation de l’IPC, nous nous basons sur les auteurs qui ont travaillé sur la prévision du taux d’inflation. Nelson et Schwert (1977) et Stock et Watson (2007) qui établissent que le meilleur modèle de prévision de l’inflation correspond au modèle IMA(1,1) (integrated moving average).
𝑅𝑅𝑎𝑎𝑇𝑇𝑥𝑥 𝑑𝑑′𝑌𝑌𝑛𝑛𝑅𝑅𝑌𝑌𝑎𝑎𝑟𝑟𝑌𝑌𝑜𝑜𝑛𝑛 =IPC𝑡𝑡− IPC𝑡𝑡−1 IPC𝑡𝑡−1 =
ΔIPC𝑡𝑡
IPC𝑡𝑡−1 (15)
Ainsi, pour prévoir la variation de l’IPC, soit le taux d’inflation multiplié par l’IPC du mois précédent, nous croyons que le modèle IMA(1,1) s’avère pertinent.Cependant, tout comme c’est le cas pour le taux de change, nous devons tester les modèles ARMA(p,q) et ARIMA(p,d,q) pour différentes valeurs de p,d et q selon la méthode de Box et Jenkins (1970) afin de trouver le modèle le plus pertinent.
5.3.3.4 Prime de risque de marché (Ri-Rf)
Septièmement, pour la prime de risque de marché, nous nous basons sur Welch et Goyal (2008) et Harris et Marston (1999) qui indiquent que la prévision à partir de la moyenne à long terme surperforme les prévisions à partir de variables macroéconomiques et que la prime de risque de marché varie dans le temps, respectivement. Ainsi, nous croyons qu’un modèle ARMA(p,q) est pertinent pour prévoir la prime de risque de marché, ce que nous vérifions avec la méthode de Box et Jenkins (1970).
5.3.3.5 Variation de l’indice du prix des maisons (Δindice prix des maisons)
Huitièmement, en ce qui concerne le modèle de prévision de la variation de l’indice du prix des maisons, nous nous basons sur les travaux de Crawford et Fratantoni (2003) qui concluent que les modèles ARIMA et les modèles GARCH performent mieux pour les prévisions hors échantillon (out-of-sample forecasting) des indices du prix des maisons. Ainsi, pour effectuer des prévisions sur la variation de l’indice prix des maisons, soit l’indice intégré d’ordre 1, nous croyons qu’un modèle ARMA(p,q) est pertinent, ce que nous vérifions avec la méthode de Box et Jenkins (1970).
5.3.3.6 Écart de crédit des obligations corporatives (Corp.-T)
Neuvièmement, pour ce qui est du credit spread Corp.-T, nous sélectionnons le modèle ARMA. La littérature financière contient plusieurs ouvrages qui traitent de la modélisation des credit spreads entre des obligations corporatives de différents classements (rankings) et entre des obligations corporatives et des bons du Trésor à long terme. Cependant, la plupart de ces ouvrages utilisent des modèles complexes tels que les modèles structurels (Structural form models) et les modèles à forme réduite (Reduced form models) que nous jugeons impertinents et trop laborieux à implanter pour les besoins du présent mémoire. Bhanot (2005) nous indique qu’il y a un phénomène de retour vers la moyenne dans les séries temporelles de credit spread Baa-T. Ainsi, nous croyons qu’un modèle ARMA(p,q) est pertinent pour simuler les credit spreads Corp.-T, ce que nous vérifions avec la méthode de Box et Jenkins (1970).
5.3.3.7 Variance de l’indice REITs (𝜎𝜎2𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅)
Finalement, en ce qui concerne la modélisation de la variance de l’indice REITs, nous utilisons les modèles ARMA(p,q) dans la prévision la variance des REITs. En effet, puisque nos simulations historiques filtrées et nos simulations Monte-Carlo conditionnelles sont effectuées à l’aide des modèles GARCH et GJRGARCH pour modéliser le deuxième moment, nous croyons que les modèles ARMA(p,q) sont pertinents dans ce contexte de prévision, ce que nous vérifions avec la méthode de Box et Jenkins (1970).
Tableau 3 : Modèles de prévision sélectionnés pour chaque variable macroéconomique
Le tableau suivant résume les modèles de prévision sélectionnés pour chacune des variables macroéconomiques
Variable macroéconomique Modèle sélectionné Avec / Sans
incertitude
Taux sans risque (Rf) CIR Avec
Taux de change ARIMA(p,q) selon
Box, Jenkins Avec Taux de croissance moyen des loyers (g) Maintenu fixe
π
Taux bons du trésor 10 ans (Gov.10 ans) CIR Avec Taux des obligations corporatives
Investment-Grade (Corp.) CIR Avec
Variation de l’IPC (ΔIPC) ARMA(p,q) selon
Box, Jenkins Avec Variation de l’indice du prix des maisons
(Δindice prix des maisons) ARMA(p,q) selon Box, Jenkins Sans Écart de crédit (Corp.-T) ARMA(p,q) selon
Box, Jenkins Avec Prime de risque de marché (Ri-Rf) ARMA(p,q) selon
Box, Jenkins Avec Variance de l’indice REITs (𝜎𝜎2𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅) ARMA(p,q) selon
Box, Jenkins Sans Évidemment, après avoir effectué les régressions pour chacune des variables, il est possible que nous ajustions les modèles si jamais les paramètres d’un modèle ne sont pas statistiquement significatifs. Une analyse des erreurs et de la significativité des variables de la régression est effectuée pour chacune des variables. Par exemple, si jamais la variation de l’indice du prix des maisons n’est pas une variable statistiquement significative dans la régression des primes de risque immobilières (π) britanniques sur les différentes variables du modèle, nous pouvons faire une deuxième régression en omettant la variable de
variation de l’indice du prix des maisons, et si cette seconde régression est plus pertinente au niveau du coefficient de détermination R² et au niveau de la significativité des paramètres, nous retenons cette deuxième régression.
Il faut savoir qu’à chaque prévision effectuée, la régression est estimée de façon à ce que l’échantillon retenu contienne une donnée de plus qu’à la prévision précédente, soit la méthode de la fenêtre croissante. Autrement dit, durant les régressions, au lieu d’avoir une fenêtre mobile qui va ajouter une donnée récente et retirer une donnée ancienne de l’échantillon à chaque mesure, l’échantillon ajoute toujours une donnée récente à l’échantillon sans jamais en retirer une. Ainsi, chaque mois, une régression est effectuée à partir de l’échantillon correspondant à cette itération, et puisqu’il y a une donnée de plus qui est ajoutée à l’échantillon à chaque période, les coefficients de la régression varient légèrement chaque mois. Toutes les régressions sont effectuées de cette manière.
Bien entendu, la prévision correspond au terme de tendance de notre processus de diffusion. Ainsi, la simulation (prévision avec incertitude) des variables macroéconomiques de l’évaluation immobilière est effectuée en additionnant le terme de tendance (prévision sans incertitude) aux valeurs aléatoires.
Cependant, dans le cas de la prime de risque immobilière (π), puisque ce sont les variables explicatives de π qui sont simulées, c’est l’effet combiné de ces variables simulées qui déterminent l’incertitude liée à π.