Périodes d’estimation et périodes de backtesting

Nous conservons la plage de données allant de janvier 1973 (limite inférieure des Corp. américains) à juin 2015 (limite supérieure des Corp. canadiens) pour toutes les variables du modèle. Cette plage de données nous permet d’avoir 510 données mensuelles pour chacune des variables macroéconomiques.

Notre période d’estimation va de janvier 1973 à janvier 2000, soit 27 ans de données mensuelles, et notre période de backtesting ira de février 2000 à juin 2015.

Au niveau des modèles inconditionnels, en raison de problèmes d’échantillon liés à différentes variables du modèle, qui sont expliqués en détail à la sous-section 7.4.6 de la section des résultats, nous avons estimé les modèles en conservant la période d’estimation présentée ci-haut (modèles inconditionnels 27 ans) et avons estimé les modèles en réduisant notre période d’estimation de janvier 1995 à janvier 2000 (modèles inconditionnels 5 ans).

Évidemment, la période de backtesting demeure la même pour tous nos modèles.

Toutes les variables incluses dans notre modèle sont modélisées de cette manière, à l’exception de la prime de risque immobilière.

En effet, concernant l’estimation des paramètres du modèle de prévision de la prime de risque immobilière, nous conservons la plage de données allant de janvier 1987 à juin 2015 afin de respecter les contraintes de données de toutes les variables, et ce pour tous les marchés. Il faut comprendre que notre série de Yield immobiliers britanniques, qui nous sert à calculer la série des primes de risque immobilières (𝜋𝜋𝑡𝑡), débute en janvier 1987. Ainsi, la période d’estimation du modèle de prévision de 𝜋𝜋𝑡𝑡 doit absolument débuter en janvier 1987. De plus, même si la plage de données du modèle de la prime de risque

Estimation Backtesting

immobilière du marché britannique nous permet d’aller aussi loin que février 2016, nous réduisons notre plage de données afin qu’elle se termine en juin 2015 puisqu’il s’agit de la limite de la série des Corp. canadiens. Cette plage de données nous permet d’obtenir 342 données mensuelles pour la prime de risque immobilière (𝜋𝜋𝑡𝑡), ainsi que pour chacune de ses variables explicatives.

Ainsi, pour ce modèle exceptionnellement, notre période d’estimation ira de janvier 1987 à janvier 2000 et notre période de backtesting ira de février 2000 à juin 2015.

6 Données

Il est important de mentionner que pour chacune des bases de données qui ont été utilisées, nous émettons l’hypothèse que les erreurs de mesure de la base de données utilisée sont indépendantes dans le temps et indépendantes à notre mesure.

Une description détaillée de l’ensemble des bases de données utilisées est présentée à l’annexe 6.

Voici un tableau qui résume les données que nous avons collectées ainsi que les détails s’y rattachant.

Tableau 4 : Résumé des données pour les variables macroéconomiques qui sont simulées.

Les tableaux suivants indiquent d’où proviennent les données (base de données), sous quel nom et sous quel sigle (ticker) apparaît la série de données dans la base de données, les dates de début et de fin de l’échantillon ainsi que le nombre de données récoltées.

Variables simulées

Taux de change

CAD/USD Bloomberg USDCAD Curncy 01/1971 à

08/2017 560 taux mensuels CAD/GBP Datastream CANADIAN $ TO UK £ (WMR) - EXCHANGE

RATE 12/1964 à 08/2017 633 taux mensuels

Taux sans risque (Rf)

Canada Banque du

Canada Treasury Bill Auction Average Yields 3 Months 01/1936 à 12/2016 972 taux mensuels US FRED 3-Month Treasury Bill: Secondary

Market Rate, Percent, Monthly, Not Seasonally Adjusted

TB3MS 12/1933 à

06/2017 1003 taux mensuels

UK FRED 3-Month or 90-day Rates and

Yields: Treasury Securities for the United Kingdom©, Percent, Monthly, Not Seasonally Adjusted

IR3TTS01G

Taux des obligations gouvernementales 10 ans (Gov. 10 ans)

Canada Statistique Canada (CANSIM)

Statistiques du marché financier, au dernier mercredi sauf indication contraire, Banque du Canada; Canada; Quelques rendements d'obligations types du gouvernement canadien : de plus de 10 ans

V122487 02/1949 à 08/2017 823 taux mensuels

US FRED 10-Year Treasury Constant

Maturity Rate, Percent, Monthly, Not Seasonally Adjusted

GS10 04/1953 à 07/2017 772 taux mensuels

UK FRED Long-Term Government Bond

Yields: 10-year: Main (Including Benchmark) for the United Kingdom©

IRLTLT01

GBM156N 01/1960 à 04/2017 688 taux mensuels

Variation de l’IPC (ΔIPC)

Canada Bloomberg Canadian CPI index CACPI Index 02/1960 à 07/2017 690 variations mensuelles

US Bloomberg United States CPI Index CPURNSA

Index 02/1913 à 07/2017 1 254 variations mensuelles UK Datastream United Kingdom CPI All Items

Prime de risque de marché (Ri-Rf) (Voir données du taux sans risque)

Rendement des indices (Ri)

Canada Datastream S&P/TSX COMPOSITE INDEX TTOCOMP 01/1970 à 07/2017 571 rendements mensuels

US Datastream S&P 500 COMPOSITE INDEX S&PCOMP 01/1970 à 07/2017 571 rendements mensuels

UK Datastream MSCI UK INDEX MSUTDKL 01/1970 à 08/2017 572 rendements

mensuels Primes de risque de marché (Ri-Rf)

Canada 01/1970 à 12/2016 564 primes mensuelles

US 01/1970 à 07/2017 570 primes mensuelles

Variables de crédit

Investment-Grade yield (Corp.)

Canada Voir Chrétien, Coggins (2017) 02/1949 à

06/2015 797 données mensuelles

US Datastream Barclays U.S. Corporate

Investment Grade USD LHCCORP _(RY) 01/1973 à 08/2017 536 données mensuelles UK Bank of England

(A millennium of macroeconomic data)

M11. Mthly corp bond yields Spliced interpolated series 1854- 2015

01/1945 à

12/2016 864 données mensuelles

Écart de crédit (Corp.-T)

Canada 02/1949 à 06/2015 797 données mensuelles

US 01/1973 à 07/2017 535 données mensuelles

Tableau 5 : Résumé des données pour la prime de risque immobilière

Le tableau suivant indique d’où proviennent les données (base de données), les dates de début et de fin de l’échantillon ainsi que le nombre de données récoltées pour les yields immobiliers. La prime de risque immobilière correspond aux yields excédentaires au taux sans risque (𝜋𝜋𝑡𝑡= 𝑌𝑌𝑌𝑌𝑟𝑟𝑌𝑌𝑑𝑑𝑡𝑡− 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑡𝑡).

Prime de risque immobilière (π)

UK _{MSCI-IPD UK}

Monthly Property Digest February 2016

12/1987 à 02/2016 350 primes mensuelles

Tableau 6 : Résumé des données pour le taux de croissance moyen des loyers

Le tableau suivant indique d’où proviennent les données (base de données), les dates de début et de fin de l’échantillon ainsi que le nombre de données récoltées pour le taux de croissance moyen des loyers.

Variable fixe

Taux de croissance moyen des loyers (𝒈𝒈�)

UK _{MSCI-IPD Digest}

International 2014 1981 à 2013 33 taux de croissance annuels

En ce qui concerne la moyenne des taux de croissance annuels, nous conservons l’échantillon allant de 2000 à 2013, ce qui est l’échantillon se rapprochant le plus de notre période de backtesting, soit de février 2000 à juin 2015.

Tableau 7 : Résumé des données pour les variables qui sont prévues sans incertitude.

Les tableaux suivants indiquent d’où proviennent les données (base de données), sous quel nom et sous quel sigle (ticker) apparaît la série de données dans la base de données, les dates de début et de fin de l’échantillon ainsi que le nombre de données récoltées.

Variables prévues sans incertitude

Variations de l’indice du prix des maisons (Δ ind. Maisons)

Canada MLS-CREA 02/2005 à

01/2017 144 données mensuelles US S&P Case-Shiller National Home

Prices. 02/1987 à 03/2017 362 données mensuelles UK Nationwide House Price Index (HPI) 02/1991 à

01/2017 312 données mensuelles

Variances mensuelles des indices REITs (𝝈𝝈𝟐𝟐_{𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹𝑹)} Canada Datastream FTSE

EPRA/NAREIT CANADA INDEX FECNDAL 01/2000 à 07/2017 211 données mensuelles US Datastream FTSE EPRA/NAREIT UNITED STATES INDEX FEUSAM$ 01/1990 à 07/2017 331 données mensuelles UK Datastream FTSE EPRA/NAREIT UK INDEX FEUTDKL 01/1990 à 07/2017 331 données mensuelles

Nous constatons que nos séries de données sur la variance des indices REITs et sur la variation de l’indice du prix des maisons sont toujours plus courtes pour le marché canadien. Les séries de variances des indices REITs commencent au même moment pour les marchés britanniques et américains alors que les séries de variations de l’indice du prix des maisons commencent toutes à différents moments.

Bien que notre modèle de la prime de risque immobilière ( 𝜋𝜋𝑡𝑡) présenté dans la méthodologie inclut la variance des REITs et la variation de l’indice du prix des maisons, nous préférons enlever ces deux variables explicatives de notre modèle de 𝜋𝜋𝑡𝑡. En effet, non seulement nos séries de données pour ces deux variables sont très courtes comparativement aux autres variables du modèle, mais elles débutent toutes après le début de la période d’estimation du modèle de 𝜋𝜋, soit après janvier 1987. De plus, les séries de la variation de l’indice du prix des maisons et de la variance des REITs pour le marché canadien, qui débutent respectivement en février 2005 et en janvier 2000, posent problème pour la prévision de 𝜋𝜋. En effet, notre période d’estimation débute en janvier 1987 et se termine en janvier 2000, alors que notre période de backtesting débute en février 2000 et se termine en juin 2015. La série de variances des REITs canadiens débute en janvier 2000, soit le dernier mois de la période d’estimation, ce qui ne nous laisse qu’une seule donnée pour effectuer la première prévision en février 2000. La série de variations de l’indice du prix des maisons canadiennes débute en février 2005, soit en plein milieu de notre période de backtesting, ce qui ne nous laisse aucune donnée pour effectuer des prévisions. Nous jugeons que les ajustements nécessaires pour modifier le modèle afin qu’il tienne compte de ces deux variables, qui de toute façon auraient été prévues sans incertitude dans nos simulations, sont peu pertinents et trop complexes dans le cadre du présent mémoire. Ainsi, nous retirons la variance des REITs et la variation de l’indice du prix des maisons de notre modèle de prévision de la prime de risque immobilière (𝜋𝜋), ce qui nous donne le modèle à cinq variables explicatives suivant :

𝜋𝜋𝑡𝑡= 𝛽𝛽0+ 𝛽𝛽1(𝐺𝐺𝑜𝑜𝑣𝑣. 10 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑅𝑅)𝑡𝑡+ 𝛽𝛽2(𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶. )𝑡𝑡+ 𝛽𝛽3(ΔIPC)𝑡𝑡+ 𝛽𝛽4(𝑅𝑅𝑖𝑖− 𝑅𝑅𝑅𝑅)𝑡𝑡

+ 𝛽𝛽5(𝐹𝐹𝑜𝑜𝑟𝑟𝐶𝐶. −𝑅𝑅)𝑡𝑡 (402)