Paramétrique

Dans sa forme la plus simple, la VAR paramétrique est estimée à partir de la moyenne et de l’écart-type de la distribution des rendements passés. La grande hypothèse sous-jacente à la méthode de la VAR paramétrique est que les rendements du portefeuille sont distribués normalement, ou quasi normalement. En effet, bien que la plupart des VAR paramétriques soient estimées en assumant que les rendements du portefeuille sont distribués selon la loi

normale, certains auteurs, que nous mentionnerons un peu plus loin, utilisent d’autres types de distributions dans l’estimation de leur VAR paramétrique. Comme l’a indiqué Fama (1965), les distributions des rendements financiers sont souvent caractérisées par une asymétrie à droite (Skewness négatif) et un Kurtosis plus élevé, c’est-à-dire une distribution légèrement décalée vers la droite et ayant des queues plus épaisses. En testant l’hypothèse de normalité des rendements journaliers des titres du Dow Jones Industrial Index, l’auteur conclut que la distribution des rendements révèle un coefficient d’aplatissement Kurtosis plus élevé qu’une distribution normale, et qui s’apparente davantage à la distribution stable de Pareto (Paretian Stable Distribution) invoquée par Mandelbrot (1961), qui affiche un coefficient d’asymétrie (Skewness) négatif. Plus tard, Blattberg et Gonedes (1974) vont comparer la loi t de Student à la loi stable symétrique (symmetric stable) pour mesurer les rendements journaliers du Dow Jones Industrial Average et concluront que la t de Student a un plus grand pouvoir descriptif. Ainsi, afin de bien tenir compte de ces caractéristiques, certains auteurs vont utiliser d’autres lois de probabilités que la normale. Certains vont même utiliser une combinaison de lois normales ou encore l’approximation de Cornish- Fisher pour estimer la VAR paramétrique.

L’estimation de la VAR paramétrique demeure fort simple, cependant elle doit impérativement respecter l’hypothèse de normalité, ou de quasi-normalité, de la distribution, qui implique l’indépendance sérielle des rendements. Cette hypothèse est rarement validée dans un contexte d’évolution des rendements financiers. Par exemple, Akgiray (1989) indique que les séries temporelles des rendements journaliers affichent de la dépendance sérielle et que le modèle GARCH (1,1) est le meilleur modèle pour prédire le rendement de la période future. Campbell, Grossman et Wang (1993) indiquent qu’il y a de l’autocorrélation sérielle dans les rendements financiers, et concluent que le coefficient d’autocorrélation AR(1) est inférieur lors de jours où le volume de transactions est élevé et supérieur lors de jours où le volume de transactions est faible.

3.3.4.1.1 Simulation historique

La VAR historique, tout comme la VAR paramétrique, nécessite beaucoup de données historiques. Cependant, contrairement à la VAR paramétrique et à la VAR Monte-Carlo, l’estimation de la VAR historique ne nécessite pas la détermination d’une fonction de probabilités expliquant la distribution des rendements. Dans un contexte de VAR historique inconditionnelle, l’objectif est de classer tous les rendements historiques par ordre croissant afin d’obtenir une distribution empirique des rendements passés. La VAR historique est estimée en observant la perte, dans ce cas-ci le rendement négatif (en $), qui correspond au quantile de la distribution empirique des rendements du seuil de signification désiré. Par exemple, si la distribution comptait 100 rendements historiques, et que l’analyste désirait connaître le pire rendement au seuil de signification de 95%, il n’aurait qu’à observer le 5e _{rendement du classement, et 95% du temps, le portefeuille sous étude} n’afficherait pas un rendement inférieur à cette valeur. Bien que très facile à mettre en place, beaucoup d’auteurs critiquent la VAR historique inconditionnelle en raison de sa principale hypothèse, soit que les rendements passés sont parfaitement représentatifs des rendements futurs. Même si l’analyste bénéficiait d’un grand nombre de données, qui lui

procurerait des informations quant aux différentes crises et aux différents changements de cycles à travers les années, bien des experts remettent en doute cette méthode, car il n’est pas certain que les grandes variations du passé, à la hausse comme à la baisse, se répéteront avec la même magnitude dans le futur.

Il existe des corrections que l’on peut apporter à la variance de la VAR par simulation historique, qui forment la classe des VAR historiques conditionnelles. En effet, il est possible d’implanter des filtres à la simulation historique des rendements. Ces filtres permettent de modéliser la variance conditionnelle de la distribution des rendements afin de la rendre plus représentative de la volatilité récente. Ces filtres peuvent être effectués en appliquant le modèle EWMA, le modèle ARCH, le modèle GARCH, etc. Cette méthode s’appelle la simulation historique filtrée. Cette simulation fut introduite par Barone-Adesi, Bourgoin et Giannopoulos (1998) et Barone-Adesi, Giannopoulos et Vosper (1999). L’objectif consiste à contrôler l’autocorrélation dans les rendements pour ensuite tirer aléatoirement des pseudo erreurs qui sont, quant à elles, indépendantes temporellement. Après avoir calculé les variances historiques de la série de données à l’aide d’un modèle ARMA-GARCH, les auteurs déterminent les termes d’erreurs standardisés 𝑧𝑧𝑖𝑖,𝑡𝑡, qui sont indépendants temporellement. Il s’agit des erreurs du modèle ARMA-GARCH à chaque période qui ont été divisées par l’écart-type correspondant à la même période, soit :

𝑧𝑧𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡 �ℎ𝑖𝑖,𝑡𝑡

Où 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡 est le terme d’erreur du titre i au temps t et �ℎ𝑖𝑖,𝑡𝑡 est l’écart-type du titre i au temps t

Parallèlement, les auteurs estiment la variance conditionnelle de la prochaine période (volatilité prévue hors échantillon) grâce à un modèle prévisionnel ARCH, GARCH ou EWMA. Par la suite, les auteurs déterminent les pseudo erreurs, c’est-à-dire les termes d’erreurs standardisés ajustées pour tenir compte de la volatilité prévue hors échantillon :

𝜀𝜀∗

𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝑧𝑧𝑖𝑖,𝑡𝑡∗ �ℎ𝑖𝑖,𝑇𝑇+1= � 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡

�ℎ𝑖𝑖,𝑡𝑡� �ℎ𝑖𝑖,𝑇𝑇+1 Où 𝜀𝜀∗

𝑖𝑖,𝑡𝑡 est la pseudo erreur du titre i au temps t et �ℎ𝑖𝑖,𝑇𝑇+1 est l’écart-type prévisionnel à la prochaine période selon le filtre ARCH, GARCH, ou EWMA.

Au lieu de tirer aléatoirement les termes d’erreurs standardisés 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡, les auteurs effectuent plutôt un tirage aléatoire avec remise sur les pseudo erreurs 𝜀𝜀∗

𝑖𝑖,𝑡𝑡. De cette manière, les auteurs obtiennent une distribution des rendements qui demeure représentative des termes d’erreurs passés, mais dont la volatilité est filtrée par un modèle prévisionnel ARCH, GARCH ou EWMA. L’utilisation de tels filtres permet de rendre la distribution des rendements aux goûts du jour, ce qui permet aux auteurs d’estimer des VAR plus représentatives de la volatilité récente, et donc plus performantes.

En contexte multivarié, la VAR par simulation historique filtrée peut être effectuée en utilisant des rendements de plusieurs titres inclus dans un portefeuille, qui seront filtrés

avec un modèle prévisionnel de la variance multivarié comme EWMA multivarié, CCC- GARCH, DCC-GARCH, etc.

Cependant, lorsqu’une simulation historique filtrée est effectuée en contexte univarié sur plusieurs variables, par exemple sur les rendements des différentes actions qui composent un portefeuille, le modèle prend déjà en compte les liens de dépendance implicites qui lient les différents rendements entre eux. En effet, puisque l’on tire aléatoirement les erreurs provenant d’une date contenue dans l’échantillon, et ce pour tous les rendements simulés, la dépendance est déjà prise en compte entre les différents rendements. Par exemple, en tirant les erreurs d’une certaine journée contenue dans l’échantillon, et ce pour tous les rendements, nous capterons la dépendance entre les différents rendements spécifiquement pour cette journée. Si cette journée correspond à une période où le marché boursier a vécu une forte baisse, les erreurs de chacun des rendements iront fort probablement dans le même sens, alors que si le marché est demeuré relativement stable, les erreurs seront probablement plus indépendantes entre elles. Ainsi, lorsque la simulation historique filtrée est effectuée simultanément sur plusieurs variables en contexte univarié, la dépendance n’est pas modélisée par la matrice des corrélations d’un modèle multivarié, mais elle est plutôt implicite relativement à ce qui s’est passé pour chacune des dates de l’échantillon.